Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если твердое тело движется с единичной скоростью параллельно оси хс, то скорость любой частицы тела равна (1, О, 0). Поэтому если Р(х,, х„ ха) есть произвольная функция, определенная во всем пространстве, то скорость изменения значения этой функции по отношению к такой частице равна дР/дх,. Оператор д/дх,, определенный таким образом, называется символом Лагранжа и выражает бесконечно малое преобразование, связанное с поступательным движением твердого тела в направлении, параллельном оси хс.
Если твердое тело вращается с единичной угловой скоростью (один радиан за секунду) вокруг оси хс, частица с координатами (хс, х,, ха) будет иметь скорость (О, — ха, х,). Скорость изменения функции Р(хс„хе, ха) относительно денной частицы равна хадР/дха — хадР/дха. Поэтому бесконечно малое преобразование, связанное с вращением относительно оси хь выражается ') О аяя см.
а следующем параграфе. — Прим. перев. Гл. $Ч. Присоединенные массы символом Лагранжа (линейным дифференциальным оператором) хзд/дхз — хзд/дхз. Итак, в соответствии с шестью степенями свободы движения твердого тела мы будем иметь шесть бесконечно малых преобразований, которые можно записать в виде д д д Е=— дх,' ч здх з дх,' Е=х — — х— д д д Е = —, Ез=х — — х— дх,' з — здх, ' дх,' (30) д д д Е = —, Е,=х — — х,—,. дх дхз дх~ Им соответствуют векторные поля (поля скоростей) (1, О, О), (О, 1, 0), (О, О, 1), (О, — хз, хз), (хз, О, — хт), ( — хз, хь 0).
Результат действия поля скоростей (бесконечно малого преобразования) Ет в течение времени г обозначается через ехр(ГЕт); таким образом, ехр(2Еч) обозначает поворот околооси х~ на два радиана. Если 1 ( О, то ехр(1Е,'1 будет обозначать преобразование, обратное преобразованию ехр( — ГЕт). Таким образом, для всех действительных й и имеем тождество ехр (гЕ ) ехр (пЕ,) = ехр ((с+ и) Е ).
(3!) Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления «твердых» движений при 'помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор с = (Гь..., са), представляет собой конечное преобразование ехр(стЕт+ ... +~аЕз), (32) которое выражает полное перемещение тела при воздействии на него поля скоростей ОЕ, +... + сзЕзвтечениеединицы времени.
Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор [Еь Е11 двух бесконечно малых преобразований Е» и Еь определяется как двойной предел 1 1пп ~ — ехр ( — гЕ,) ехр ( — иЕ ) ехр (сЕс) ехр (дЕу)1. (ЗЗ) Известно, что этот предел представляет собой дифференциальный оператор ') ЕсЕу-- Е1Ет =,~Е ~Еу д - — Ег — '/ —, (34) длз длз / длз ы з ') Запаса о,от всюду означает, что сначала прзяепяется оператор Еи а потоп Ет Е 1!2. Силы и коммутаторы который можно легко вычислить. Так, например; в случае евклидовой группы получим тождества: [Е„Е,[=[Е,, Е,[=О: [Е! Ез! ЕЗ' !Еы Е5! Еб' (35) С помощью очевидного тождества [Еь Е1! = — [Еь Е![, нз.которого, в частности, следует [Еь Е!! = О, и циклических перестановок индексов в тождествах (35) можно вычислить также и асе другие скобки Пуассона Еь ..., Ее.
Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений Е4, Еи Еи скобка [Ео Е![ есть просто внешнее, или векторное, пРоизведение Е, Х Еь ОпЯть-таки, если Е! и Е! (илн эквивалентные ехр (1Е;) и ехр (иЕ1)) пересгииоеочны, такчтоЕ1Е! = = Е;Еь то [Еь Е1! = О, и наоборот. Заметим. что в тождествах (35) всегда справедливо соотно- шение (36) й 112. Силы и коммутаторы Пусть теперь 6 — произвольное г-параметрическое римаиово групповое многообразие, и пусть С вЂ” любая одиопараметрическая подгруппа группы 6, порожденная бесконечно малым преобразованием Е, В группе 6 вблизи тождественного преобразования всегда можно ([78[, стр.
47) так ввести канонические параметры с базисом из бесконечно малых преобразований Еь Еь ..., Е„, что если и = (!7ь ..., и„) — л1обой достаточно малый векторныйэлемент группы О, то (1 ехР(4У,Е,-[- ... + 7„Е'е). (37) С помощью этого обобщения формулы (32) можно подучить следующее обобщение тождества (31): "ч ' 'гч = ("+ р) й~ (33) [Е~ Е [ = ~~!~ саЫЕы ь где се! — соответствующие постоянные, Основная теорема Ли заключается в том, что соотношения, аналогичные (36), справедливы для любой конечно-параметрической группы. Постоянные сь называютсЯ стРукг(1Рными постолнными гРУппы и опРе- 1! деляют группу с точностью до изоморфизма.
Мы надеемся, что приведенные только что объяснения позволят понять излагаемые ниже результаты, даже несмотря на то, что их доказательства может понять лишь тот. кто уже знаком с теорией групп Лн. 224 Тл. Л. Присоединенные массы где г.г обозначает («групповое») произведение г и х в группе О, Теперь рассмотрим геодезическую кривизну подгруппы С при с) = 0 в метрике ссзт=- ~~~~ ТпсУдсе(др В силу $ 108, ее величина пропорциональна следующей величине: дТ!е ° 1 ЙТне ° ° дТп 1 дкн =Т Ч+Ч вЂ” Π— — — ЧО = — — — — —, (39) м» едчн в 2 дрп ее=дч, 2 дВ' так как д! = 1, чд 0 при 1'= 2,..., г и де = О при всех й.
Зто— видоизмененный тензор Кристоффеля (13'); согласно $ 110, ко. эффициент пропорциональности о' = Тп подходящим выбором масштаба времени можно свести к единице. В конечном счете в действительности нас интересует не геодезическая кривизна, а величина 44, так что вопрос о коэффициенте пропорциональности не должен нас занимать. Вычислим теперь частные производные, входящие в последнюю из формул (39). Для этого заметим, что, по определению, бесконечно малый вектор ЫО' с началом в ехр(1Е!) эквивалентен при левом сдвиге бесконечно малому вектору а!О с началом в тождественном преобразовании О тогда и только тогда, когда Екр(тЕ,+~Ч')=( р((Ес)) й1 (40) Но правую часть выражения (40) с помощью разложения в ряд Шура — Кэмпбелла — Хаусдорфа ') можно представить в виде (ехр(ФЕ!)) ° сй)=ехр~1Ес+сйу+ 2 Ф!Ер с(О)+ ...), (41) где опущены члены, содержашие 1 во второй степени.
Поскольку с(9 и Щ эквивалентные бесконечно малые, отсюда следует соотношение сй) = сеч' — 2 г (Ео ей1'1+,... (41') Теперь, записав, что о!О ° с(4!!Е, +... + с(с)„Е„не(41' = с(4!!Е! + +,, + Йу,Е„, получим, по определению„подобно формуле (36) следующее равенство: ~Ен сй)'] = егс),'.~Е„ Е ) — — гЦсв!1Ен. '! Этв классическая фоРмула Аоквввкв прв весьма общих условиях кв стр. 92 статьи автора «Апв!у!1св! ягоорв» (теореме 14), Тсоне.
Аоь Маис, Бос., 43 11939), 6! — 191. 6 112. Силн и аоииугаторы Подставив его в векторное уравнение (41') и приравнивая соот. ветствующие компоненты, получим основное соотношение гуда г(ба — —,Ма ац. + ..., ! (42) где отброшены члены со степенями 7 выше первой. Но, по определению риманового группового многообразия, гЬе инвариантно относительно левых переносов.
Поэтому, в силу условия (40) и соотношения (42), можно записать следующие равенства: а4а Т„„(1Е,) гуд, '= 174„таа(0) 174, = = (Йу» — 2 1с'1Йг)') Таа (0)~йр' — — 1сп йу') = = (д„т„,(0)ад,'— — ,'1) '„1 74,.Т„(0)ад',+ г,'ад„т„(0)(4',) с точностью до членов выше первой степени относительно 1. Переставляя енемые индексыв суммирования ), Ь и (, й в фигурных скобках, чтобы приравнять козффициенты, получаем соотношение Т„„(1Е,) = Т„е (О) — — 1 (е'" Т „(О) -+- с'," Т„, (О) ) + ....
Теперь, продиффереицировав по 1 и обозначив оба индекса суммирования через ), получим формулу (43) Далее, подставив формулу (43) в выражение (39), получим ра- венство 4Я = — 2снТ1,— 2спТ -+спТ +спТ . 1г Кроме того, в силу известной антисимметрии (Е„Е ) = = — (Е1, Ег) получаем для структурных постоянных — сун = с," .и с" =О. Подставляя эти выражения в предыдущую формулу и сокращая на четыре, мы получаем окончательную формулу' ) Ц,=-с" Т, (44) ') Формула (44) была получена в 1945 г. Джоном Бреануаллом н автором неаавненмо друг от друга. См. Аьа1гае1, 52 — 7 — 242, Ви)1.
Аа. Мо1а. Яоо., 62 (1946), 617. Гл. $Ч. 7)расоеданениые массы Очевидно, что в случае стационарного движения вдоль оси Ел соответствующая формула будет иметь внд г) ~~ му 'У песу с, с ес — ., с ес (44е) Следовательно, для суи!есгвования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии 6 вдоль Ел требуется внешняя сила (44е) . Другими словами, с'" Т„ ~Тел (суммирование по 1', но не по й) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (1Еь) на группе 6. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Ес, ..., Е, в метрике ссзт при О, то эта кривизна будет равняться просто есь 2 113. Приложения Пользуясь только обшей формулой (44*) и соотношениями коммутативности (35) евклидовой группы, можно вывести выражение для внешней силы, которая необходима, чтобы поддерживать стационарное поступательное или вращательное движение в идеальной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
