Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(Сила, с которой жидкость действует на тело, конечно, равна этой силе по величине и противоположна по направлению.) Так, при стационарном переносе Ес, вдоль оси х! эта сила равна (О, О, О; О, Тсз, — Тп). (45) Аналогично при стационарном вращении Ес с угловой скоростью в один радиан за секунду вокруг оси х! требуется сила (О Тсеэ 7 4$ О Т4е~ (46) Это классические формулы Кирхгофа и Кельвина '); заметим, что формула (45) сводится к О (стацнонарное движение при отсутствии внешних сил), если тензор кинетической энергии ~~, 'Тссу;ус поступательногодвиженияднагонализирован, Иначего. с,/ ! варя, стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил (теоретически) возможно вдоль главных осей тензора кинетической энергии поступательного движения и ни в каком другом случаев).
') Относительно формулы (45) см: (7), п. 124, формуле (4); в $ !25 ив (7) формула (46) дана неявно; см. также приведенную тем библиографию. ') Устойчивость таких поступательных движений исследовал 1) ге е! 1 Н. 1)., Ргос. Спись. Ра!а оос., 37 (1941), !50 — 167. 1!3. Приложения Несмотря на то что предшествующие формулы сугубо теоретические и что стационарное поступательное движение при отсутствии внешних снл физически невозможно, формула (45) дает классическое объяснение стремлению плоской пластинки стать широкой стороной перпендикулярно к течению.
Нетрудно показать с помощью (45), что устойчивым будет стационарное поступательное движение вдоль главной оси, соответствуюшей макси.иальному компоненту тензора кинетической энергии. Этот вывод качественно согласуется с экспериментом. В качестве другого приложения общей формулы (44*) мы можем отметить, что составляющая обобщенной силы равна нулю в любом направлении, соответствующем бесконечно малому преобразованию, первстановочному с рассматриваемым стационарным движением. Это следует из того, что если '1Еь Ег) = О, то Я; равно нулю. Указанное свойство дает теоретико-групповое обоснование парадокса Даламбера. Стационарное поступательное движение вдоль любой оси не вызывает (теоретически) никакого противо- давления, а только врашательный момент, поскольку все поступательные движения перестановочны. Так как поступательные и врашательные движения относительно одной и той же оси перестановочны, поступательное движение не вызывает и никакого вращательного момента вокруг оси переноса, — ось момента перпендикулярна оси поступательного движения.
То же самое рассуждение непосредственно приводит к тому. что можно назвать парадоксом пропеллера. Прн винтовом движении вокруг осн (в классической теории) нет ни противодавления в направлении этой оси, ни врашательного момента относительно нее! Поэтому для винта самолета или для какого-либо другого предмета, обладающего п-кратной вращательной симметрией относительно этой оси (и > 1), все компоненты силы (теоретически) равны нулю '), Как показано в 12), гл. Ч, 9 14, приведенные результаты можно обоб!цить на случай воображаемых абсолютно твердых тел в идеальной жидкости, заполняющей неевклидово пространство.
Однако мы не будем приводить этого здесь, поскольку физическое значение таких результатов далеко не ясно. Основное же состоит в том, что классическую теорию движения абсолютно твердого тела в идеальной жидкости можно рассматривать как часть теории Ди однородных пространства). ') Тан как область вне пропеллера олносвяана, то зто положение нельзя исправить введением «пиркулянниь вокруг лопастей пропеллера — без значительных оговорок. «> Ш е в а л л е К«Теория групп Ли, ИЛ, М., т. 1 — 2„1948 — !988. 228 Гл.
Л. Присоедииеииые массы й 114. Стоксово затухание В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г.
При этом Стокс пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил «логарифмический декрементэ (определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений. При обычной трактовке подъемной силы линеаризованные уравнения движения сводятся лишь к уравнению — = — — + «утп.
дя 7р дт (47) (48) В случае авшужденных синусоидальных колебаний постоянной амплитуды н угловой частоты са уравнение (48) эквивалентно уравнению (48м) При этом мы придерживаемся обычного соглашения, что физический вихрь скорости есть действительная часть комплексной функции пространственных координат и времени, аналитической по времени. В случае плоских и осесимметричных течений (т. е. в случае поперечных колебаний цилиндров и продольных колебаний тел врашения) величину Ь можно выразить через стоксову функцию тока )е. (Так, для плоского течения (.
= т'у). Это намного упрощает краевые условия. Детали довольно длиняых вычислений ((13), т. 3, стр. 22 — 54, или 17), й 345 — 354) мы опускаем, Для сферы радиуса а пол- Мы можем исключить р, применив к обеим сторонам (47) опе- рацию ротор.
Обозначив вихрь у Х и через Ь, получим следую- щее уравнение 6 !И. Торможение иогроничиого слоя ной динамической характеристикой является сила (17), 9 354, (28)) 11" 03 01 8 — Х=р объем (г)( — д+ — й+ — ( — + 5'~д 1 (2 2р2 2(12 ' ~ 1 (19) Е=-,' ~à — '. Это значит, что помимо находящейся в той же фазе силы инер- 1 ции присоединенной массы — р ° объем (л) (согласно 398), имеется еше синусоидальная сила с амплитудой в 98 раз большей н со сдвигом фазы на 135'и другая синусоидальная сила с амплитудой в 95» раз большей и со сдвигом фазы на 180' по отношению к фазе колебаний. Последняя сила — это просто сопротивление стационарному «ползущему обтеканию» сферы, движущейся с постоянной скоростью (9 30). Первую же силу можно истолковать как силу торможения пограничного слоя, н ~акую схему мы рассмотрим сейчас в общем случае.
$1!5. Торможение пограничного слоя В 1850 г. Стокс ((13), т. З„стр. 21) предположил, что «воздействие жидкости можно вычислить с весьма большой степенью точности, если рассматривать каждый элемент поверхности твердого тела как элемент некоторой бесконечной плоскости, колеблющейся с той же линейной скоростью». Хотя Стокс предложил это только для крутильных колебаний твердого тела вращения вокруг его оси, то же самое приближение было предложено и для малых поступательных колебаний ').
Посколькуэта идея вытекает из теории пограничного слоя Прандтля (9 27), если пренебречь конвекцией, та вычисленную выше силу мы будем называть силой пограничного слоя. Для синусаидальных продольных колебаний ее можно легко вычислить. Эта сила сдвинута по фазе на !35' относительно движения ((71, стр. 620). Поэтому если Р есть максимальное значение силы и — Е есть усредненная скорость рассеяния энергии, то, очевидно, — Е = Рд/2У 2, где д — максимальная скорость колебаний твердого тела л.
На средняя скорость рассеяния энер- ') Во из»1пе»Ч Л., У. ое Мо16., 4 (1878), 335 — 376. С еге)ег Си Р., Рг)со а к. С„Д Арр1. Месм, 23 (1956), 601 — 605, предложили поправку второго порядка. Гл. РД Присоединенные масси гии в расчете на элемент поверхности площади 05 равна ((7], стр. 620, (9)) величине — с/Е = р )/ — '~,'(х) с/5, (50) где о,(х) есть максимальная локальная тангенциальная скорость в течении Эйлера. Зная ог(х), можно вычислить — Е и, следовательно, силу Р, проинтегрировав выражение (50) по поверхности тела. Так, если Х вЂ” сфера радиуса а, то о,(х) = (Зг)/2) з(п6. Интегрируя, получаем — Е=Зпр )' гш/2 два'.
Следовательно, сила, действуюгцая на сферу со стороны пограничного слоя, равна — г9 т/ )Гн Р= бирс/)/ = ~ — р объем (Х)) ! — ) =9т'5. (51) (2 Аналогичную формулу можно вывести для синусоидальных колебаний твердого тела произвольной формы '). Применив к уравнению (48) преобразование Фурье, можно также вычислить результирующую силу в случае малого движения прн любом его протекании в прошлом ').
Однако основной вопрос таков: применимое ли полученные таким образом формулы. и его мы сейчас рассмотрим. 9 1!6. Колебания с большой амплитудой .'~отя часы с маятником сейчас имеют куда меныпе значения, чем в 1800 г., однако было выполнено много опытов с тем, чтобы проверить правильность формулы Стокса (49) в). Очевидно, что множитель присоединенной массы й и коэффициент затухания являются функциями как относительной амплитуды а, так и числа Стокса 5. К сожалению, при снободном затухании величина и — переменная, и в большинстве опытов она не замерялась; по этой и по другим причинам значение многих опытов остается неясным. Пожалуй, наиболее важными для случая больших амплитуд и малых 5 являются опыты Кейлегаиа и Карпентера' ) с ци- ') 1.18 Ь15111 М.
3., Ргос. )7оу. Яос., А224 (!954), 1 — 23. с) Я еу(е ! 8 !г, РЬД. Миу., 21 (1911), 697 — 7!О; еше раньше такие формулы получили Вопле(пе вя и В виве!. '1 Мерет О. Е., Х. /. Миш., 73 (1871), 31 — 68; Мог15шеу М. У„ М е с)геп е1, Р)гус, /7ео., 13 (1901), 145 — !64; М сЕ тле п О. Р., твм же, 33 (1911), 492 — 511; М а г1у Е., А де Раув.
ег /(ид!ит (Рвг!и), 8 (1935), 373 — 382; Ув(епв! Л., С!вг(оп С., Вин, 5ос. Ргапсе Мес., 38 8; й(- с 5 е г 4 в о п Е. С., Т в(1 Н. 1., Овь /лдуАгсаю, 8 (!954), 200 — 207. Другие ссылки лены ниже и в $103 — !04; см. также $31 — 32. ') К еп)еив и Сг. Н., С в г р е п1ег Е Н., У. /(еи Л'и!.
Ви. 3(впдвгав, 60 (1958), 423 — 440. 231 б Пб. Колебания с большой амллитудой линдрами и пластинками, помещенными в колеблющуюся жидкость. Полученные в этих опытах данные показывают любопытную зависимость присоединенной массы и затухания от относительной амплитуды, чего нет в формуле Стокса. Пусть х = А ейп 61 обозначает зависящее от времени смешение, так что Т= 2ктр есть период,$ = 61 — фаза им =Ар — максимальная скорость, Сила Х(6) измерялась как функция фазы; ввиду симметрии, Х(6 + к) = — Х(6). Обозначим диаметр тела л через Ф, так что относительная амплитуда равна а = 2АЖ Для измеренных значений функции Х(6) оказалась подходящей полуэмпирическая формула — Х(О) = сх ~ х ~+ Мх. (52) Гз основе этой формулы лежит предположение, что сила — Х(6) должна быть суммой силы лобового сопротивления 1л = 2 = — рс(хаСхч пропорциональной квадрату скорости, и инерцнальной силы Мх = (крап/4) Смх, пропорциональной ускорению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
