Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если подмножества транзитивности группы 5» И-мерны, то наше утверждение тривиально: В противном случае, поскольку 5»» нормальная (т. е. инвариантная) подгруппа группы 5и множества транзитивности') подгруппы 5, » нетривиально преобразуются подгруппой Г». Выбрав надлежащим образом систему координат, мы можем предположить, что Г» осуществляет переносы у„+,— »у„+,+а; уя+т, ..., у„не изменяются.
Следовательно, как и для системы (64), мы можем свести интегрирование системы (65) к интегрированию системы ву» ,и =От(ул.т ' уя) [у'=И+2 " п1 (65') и квадратуре у*+,— — ~ Па+»(уа+з(1) ..., у„(г))й». Этим завершается доказательство по индукции следующей теоремы. Теорема 2 (Бьянки)з).
Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений Х порядка п инвариантна относительно некоторой разрешимой группы Ли, обладающей т-мерными множествами транзитивносги. Тогда интегрирование системы Х можно свести к интегрированию системы порядка (и — т) и к квадратурам. В $95 Г, зто группа х — »х+а, Гт — группа у-»у+В, à — группа В-»В+и, х- хсоза — уз[пи, у — хейли+усова, Г» †груп )-ь»/)., х-»х, т». Ит» и т.
д. ') По определенякь «множество транзн»явности» группы 5», для неко. торой точки у есть множество У всех ч(у)[я с 5»,1. Так йакт Е Г» н из я Е 5» следует т ЫТЕ5» и то множество всех т(а(у)) =(ат)(у) совпадает с множеством нсех ч(т(у) ), я, следовательно, тоже является множеством транзнтнвностн группы 5» ») См. [761. [34, Ч[. $97.
Заключение Просматривая снова гл. 1Ч и Ъ', мы начинаем понимать, какое большое значение имеет для гидродинамики понятиегруппы. Так, это понятие лежит в основе всего анализа размерностей и моделирования; оно дает также значительное обобщение этих теорий в виде инспекционного анализа. Далее, группы симметрии позволяют уменьшить число независимых переменных, входящих в уравнения в частных производных, непосредственно с помощью метода поиска симметричных решений н метода «отделения переменной времени» и косвенно — с помощью обратных методов. Кроме того, метод поиска симметричных решений в общем случае заведомо дает решения в малом ($89). Даже после того, как число независимых переменных сведено к одному, так что дальнейшее упрощение с помощью предыдущих методов уже невозможно. полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений часто легче всего проинтегрировать, используя теоретико-групповые соображения.
Указанные выше методы применимы к уравнениям как аналитическим, так и неаналитическим, как линейным, так н нелинейным; таким образом, онн свободны от ограничений, накладываемых на обычные методы разложения в ряды илн представления интегралами. Поэтому теория групп играет фундаментальную роль в решении дифференциальных уравнений гидро механики. Наконец, в гл. Ч1 мы попытаемся показать, что теория групп лежит также в основе классических уравнений движения твердого тела в идеальной (т.
е. несжимаемой невязкой) жидкости. Мы надеемся, что в будущем в еще большей мере выяснится связь гидромеханики с теорией групп. Глава И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ 9 98. Присоединенная масса сферы Качественно представление о присоединенной массе общеизвестно. Например, пусть мы опустили легкое весло в спокойную воду н затем сделали гребок. Всем известно из опыта, что кажущаяся инерция (т.
е, сопротивление ускорению движения) весла при движении его в воде значительно увеличивается. Эта увеличившаяся инерция как раз и называется «кажущейся массой» весла, а разность между кажущейся и действительной массой называют «индуцированиой» или «присоединенной массой». Точное математическое определение присоединенной массы впервые дали Грин и Стокс более ста лет назад '). Ход их рассуждений был примерно таков.
Рассмотрим сферу массы т и радиуса а, движущуюся со скоростью о в несжимаемой невязкой жидкости плотности р (на протяжении всей втой главы мы будем рассматривать лишь безвихревые течения такой «идеальной жидкости»). Не ограничивая общности, мы можем считать, что движение направлено по оси сферической системы координат. Потенциал скороатей для жидкости, покоящейся на бесконечности, совпадает с потенциалом диполя, который в сферических координатах имеет вид — а'исоа 0 2га Действительно, легко проверить, что нормальная производная потенциала дЬ/дг ° осоз8 представляет собой нормальную составляющую скорости точек на поверхности сферы (9 4).
Радиальная и трансверсальная составляющие скорости в произвольной точке жидкости равны соответственно а'о соа 0 1 дСС а'о Нп 0 и = —, с!а= — — = ге ' г д0 2га ') 6 гееп С)., Масвегпассса! Рарега, сгр. 310 (1833); [13), т. 1, стр. 17 (1803). Болев полиую библиографии см. и (7), п. 92, Е УУ Приложения Поэтому полная кинетическая энергия жидкости выражается формулой Т=٠— 'Р(и',+из~)гоз1п Ойгйзйт= Ш М оио ~' 8 /'~, ~соя 8+ 81п 81„ а а о '+, ~ —, ~ $1+ 3 созт 01 81п О йО = а-а о = ';*" ~,,'Г( — со Π— соз О]",= ароааз 1 2аРаз 3 2 3 2 Ф = — Лт~о .
Так мы получаем следующий классический результат: кинетическая энергия жидкости равна кинетической энергии частицы, движущейся с той же скоростью, что и сфера, и имеющей массу п8', равную половине массы вытесненной сферой жидкости.
Кроме того, очевидно, что в невязкой жидкости вращение сферы не оказывает на окружающую жидкость някакого влияния; следовательно, момент инерции сферы остается неизменным. Это наводит на мысль, что (если пренебречь влиянием сил тяжести) сфера в такой жидкости динамически эквивалентна более тяжелой сфере в вакууме, кажущаяся масса та т+ п8' которой есть сумма массы сферы гп и присоединенной массы п8', равной половине массы вытесненной воды, но момент инерции которой не изменяется.
Это будет строго доказано в 9 109, где мы покажем, что все динамические характеристики всякого беавихревого несжимаемого течения можно вывести из выражения для его кинетической энергии при помощи общих уравнений лагранжевой динамики. й 99. Приложения Изложенные выше результаты находят себе различные про. стые применения. Одно из них относится к вычислению начального ускорения, получаемого наполненным водородом сфериче. ским баллоном, который сразу освобожден от канатов. Предположим, что масса баллона составляет '/„массы вытесненного им воздуха. Человек, не знающий о кажущейся массе, мог бы проделать следующие ошибочные вычисления. По закону Архимеда, полная подъемная сила равна произведению 9й на массу баллона; поэтому (так можно было бы подсчитать) начальное ускорение должно равняться 9д. А в случае сферического бал- Гл, 'сг'.
Присоединенные мисси лона, наполненного водородом и погруженного в воду, такие же ошибочные вычисления дали бы для ускорения значение, равное по меньшей мере 1000гг. Однако правильное начальное ускорение можно легко найти прн помощи теории кажущихся масс. Кажущаяся масса баллона гп* составляет 0,1+ 0,5 = а/а массы вытесненного воздуха; поэтому в действнтельностн ускорение равно Зд/2. В воде оно составило бы около 2д. Более тонким будет применение понятия присоединенной массы, в случае когда жидкость, в которую погружена невесомая сфера, внезапно получает ускорение а.
Чему равно ускорение а* сферы относительно наблюдателя, находящегося вне жндкостнр Эту задачу можно решать так. Для наблюдателя, связанного с жидкостью, ускорение а эквивалентно фиктивному гравитационному полю напряженности а. Рассуждая, как н в предыдущем случае, получим, что начальное ускорение а* — а сферы относительно наблюдателя, связанного с жидкостью, удовлетворяет уравнению аи — а = 2а, т, е. аа За. Такой расчет был подтвержден Т. Е.
Кейвудом и автором ') для малых воздушных пузырьков в воде, н этот вывод существен для истолкования опытных данных относительно различных течений жидкости, подобных изображенным на фото 1 н И. Укажем еще одно применение — к часам с маятником (]13], т. 3, стр. 1 — 141). Из-за присоединенной массы инерция сферического маятника в воздухе увеличивается примерно на 0,02%; часы с таким маятником отстают примерно на 10 сек в день, в зависимости от плотности воздуха (давлення н температуры). Можно было бы привести множество других приложений (см. $103 — 104), но, по-виднмому, целесообразнее сначала рассмотреть теоретические основы вычисления присоединенной (нлн «нндуцированной») массы для тела произвольной формы.
И, как мы увидим, это составляет замечательную главу классической лагранжевой динамики. Ее создали Кельвин [85] н Кнрхгоф ]81]; ей в основном посвящена гл. У! «Гидродннамики» Ламба 17]а). й 100. Инерцнальные лагранжевы системы Рассмотрим динамическую систему, состоящую нз твердого тела Х н идеальной жидкости без свободных поверхностей, ограниченную снаружи и (нли) изнутри телом Х. Очевидно, что Х имеет шесть степеней свободы, которые можно описать с помощью координат г]!, ..., (га. Далее, если дано с](1), то прн весьма общих В ! г )г Ь о ! ! Сг, С а у м а о б Т Е., У.
Арр!. Р)гус., 29 (!949), 646 — 659. См. также работы 17'], [25'], [26'1, [!'1 и [9"].— Прим. ред. Е /00. Инерчиильные лигринжееы системы условиях существует один и только один потенциал скоростей (см. $4 или [4[, стр. 217, 3!1) (/ = »/»(/»(»1), который на бесконечности стремится к нулю («регулярен»). удовлетворяет уравнению Ча(/ = 0 и на поверхности Я тела Х принимает значения д(//дл, определяемые движением Х.
Следовательно, кинетическая энергия жидкости определяется равенством Т= — Щр(Ч(/Ч(/) /7= — ~, Т„(е() Ч,Ч/. »,/ 1 Кроме того, суммарная кинетическая энергия жидкости и твердого тела определяется аналогичным равенством, но с другими коэффициентами. Симметричная матрица (2) Т»/(0))=,~~~(Ч(/' Ч///) йа (2') входящая в равенство (2), называется тензором «присоединенной массы»; если учитывается и кинетическая энергия тела Х, то получающуюся в результате матрицу называют тензором «кажущейся массы». Динамическая система, только что определенная, неголономна н имеет бесконечное число степеней свободы, если учитывать деформацию жидкости. Тем не менее естественно рассматривать ее как обычную лагранжеву систему ([76[, стр. 36) с шестью степенями свободы н считать, что конфигурация жидкости определяется ее границами, движущимися прн наличии «идеальной связи» вЂ” несжимаемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
