Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Поэтому для таких функций оператор Р эквивалентен дифференциальному оператору на Е, полученному отбрасыванием всех членов, в которых гп„) О. Этим теорема доказана. Сл еде та и е. Если задача Р [и] = О корректна для некотор>го класса краевых условий, инвариантного относительно Р, то корректна и задача Л [и] = О. Хотя при доказательстве локальных теорем существования ') См. такие Могяа и 3. А.. С)ипг. А >Иота., 3 (1952), 250 — 259. Если дифференциальные уравнения линейны н группа б компактна, можно подоатн к вопросу иначе — с точки зрения ннтегрнровання на группах. «) Это означает, что для данных (т, а) и (т, «) в о суп>ествует такое е, что е (т, «) =«[т', «), мы предполагаем, что Г и е — днфференцнруел>ые многообразия, Гл.
У. Теория групп и гпдромехпппко для обыкновенных дифференциальных уравнений аналитичность несущественна'), в теоремах существования для уравнений в частных производных такое условие часто существенно. В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (30) также будет аналитична. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования.
Так, предположим, что все производные но времени входящих в уравнение функций ф;(х; г), х = (кь ..., хя) выражаются через фг и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение дуг г дту ~ (40) Тогда теорема существования Коши — Ковалевской з) утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое решение для данных аналитических начальных условий фг(х; О) при г' = О.
А теперь предположим, что уравнение (40) инвариантно относительно группы сг. Пусть р,(х; 0)=сг,(х) есть множество аналитических начальных условий, инвариантное относительно 6. Тогда единственное локальное решение, которое существует, согласно предыдущей теореме, тоже будет инвариантно относительно сг. Следовательно, мы имеем локальную теорему существования (и единственности) для приведенного дифференциального уравнения, полученного методом поиска симметричных решений, если только таковая теорема имеется для первоначальных дифференциальных уравнений.
Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, иа самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой не- вязкой жидкости или любой вязкой жидкости.
Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных. ') Автор не звучал вопроса, канне требуются условна для того, чтобы нзбавнться от трудностей, которйе могут возникнуть в случае такнх обыкно. венных дифференциальных уравненпй, как уч + ух + 1 О, «степенна выгее первой. х), Набаптаге д, Ее ргоыете бе Сап«ну, Рапп, г932, гл. ! (нлн Стейа нов В. В., Курс днфференцнальныз уравненнй; М.— Л„)960,— Прим.
ред.) э УО. Теория трупп и метод роеделепия перемеиныя 18! й 90. 'Теория групп н метод разделения переменных т' †»ит, х, — илд р, р, ц без изменений. (18) По определению, частные «автомодельные» течения, инвариантные относительно группы (18), можно выразить в виде пт =й (Х). Р = ИХ) Р = р (р) = р (Р (Х) ) (41) где Х=(Х~ Ха Хз)=( ~ т т )= с . (42) Очевидно, (42) есть частный случай соотношения Х= й(т) х. (43) Найдем теперь все нестационарные течения невязкой жидкости, формально допускающие разделение переменных по формулам (41) и (43). Наш первый результат будет отрицательного характера. Оказывается. что всякое такое течение инвариантно относительно группы (18): обобщение соотношения (42) до вида (43) ничего не дает.
Очевидно, что для любой дифференцируемой функции г(Х) из соотношения (43) следуют равенства: дР Л' %ч дР др дР и~а Хе дт а е' е' дте дят дтт ' (44) где суммирование производится по индексу й. Поэтому уравнение неразрывности др/д(+ б(ч(рц) = О эквивалентно уравнению й [(-йт),~~ "е +,~> д„" 1= О, (45) если справедливо соотношение (43). Аналогично, если пренебречь силой тяжести, уравнения движения невязкой жидкости эквивалентны уравнениям ~(Лат)4~а дхе +~Л~~ дт + рд. 1=0. (46) Решения физических задач, обладающие внутренней симметрией относительно некоторой группы, можно математически упростить с помощью связанного с этой группой выбора переменных.
Мы покажем теперь, каким образом это приводит к методу «разделения переменных», который широко применяется в гидродинамике. Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера— Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы Гя. Ю Теория ераяя и гидроиекяиика Если Ь'/Ья — постоянная, ие зависящая от времени и не рав- 1 ная нулю, скажем — С, то ь — — С(/ — /о). Поэтому посредством очевидного изменения начала отсчета и единицы измерения времени можно свести наш случай к случаю течений, удовлетворяющих соотношению (42) и, следовательно, обладающих симметрией относительно группы (18).
В противном случае, как можно показать частным дифференцированием соотношений (45), (46) по времени при фиксированном Х, будем иметь Х)(,др/д)(я=~)(еди/ду»=О. В этом случае, в силу равенств (44) др/д/ = дн/д/ = О и, следовательно, р р(х), и = п(х). Отсюда, частный выбор переменной й'/й' в формуле (45) дает как раз стационарные конические течения из 3 88. Такие течения удовлетворяют соотношениям (41) и (43) при любом Ь(/), в частности при И(/) = !//, как в формуле (42); все они являются автомодельными относительно группы (18). Итак, методом поиска решений, симметричных относительно группы (18), можно получить все иевязкие течения, допускающие (кажущееся более общим) «разделение переменных» вида (41) и (43) .
Для безвихревых течений соотношения (41) и (42) эквивалентны предположению, что потенциал скоростей (/(х, /) допускает разделение переменных «У = /Р ()() = /ео(Х/Ф), (41) что уже сделано в соотношениях (36) и (37). При этом для безвихревых баротропных течений можно применить обобщенное уравнение Бернулли из $4, дО/д/+ 2- р(/«(/+ ) Ыр/р = С(/). 1 Последнее ввиду равенств (44) сводится к уравнению г'(у) — »~Х вЂ” + — игт/е'+ ) р =С. (47') Р В случае несжимаемой жидкости (р = ро) можно получить расширение класса подобных решений, положив С С(/). Дальнейшие обобщения.
Разделение переменных видв (47), хотя и эквивалентно формуле (4!),наводит на мысль, что формально следует рассмотреть вообще все 'течения, которые автомодеяьны по времени в том смысле, что для них справедливо соотношение: и = К(г) т(Х), где у = Ь (/) к. (48) В этот класс течений входят также течения, рассмотренные в $87, для которых [как сказано в замечании после формулы (32)] 4 21. Соучае вязкое «садкости У=(х; г) = — Ч(к) 1 (49) которое соответствует постоянному коэффициенту ускорения. й 91. Случай вязкой жидкости Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия (48), и проверить течение на инварнантность относительно подгрупп группы подобия.
Вместо этого мы в виде компенсации определим несаеимаемые вязкие течения, удовлетворяющие условию (48 . ак и в $ 3, уравнения состояния и неразрывности для несжимаемого течения, взятые вместе, эквивалентны одному условию д)ни = О. Так как л и Ь не обращаются в нуль, то зто равносильно равенству т еу Хе (50) из которого исключено й Остается рассмотреть уравнения движения Навье — Стокса. По теореме 1 из $21 силой тяжести можно пренебречь. С учетом этого и после непосредственной подстановки условия (48) в уравнения Навье — Стокса из гл. П, формула (3), мы полу.
чим соотношения: ') Ааааи а1 Мот., 29 11949), 247 — 249; си. таазсе [171 стр. 249. инвариантность относительно (18) эквивалентна равенству !. В него также входит новый класс несжимаемых безвихревых струйных течений, введенный Карманом '). Последние определяются условием подобия Гл. е'. Теории арузи и аидромехаиили Следовательно, дифференциальные уравнения Навье — Стокса можно записать, разделив переменные, в виде Х Р,(()О,(Х)=О, (51) где Р, = а', Рз = я/з'/й, Рз — — ~к/з, Ра = ез/з, Рз = йй' Ох=А» Оз=Хз — Оз=Л— дте дте Очевидно, что условие (51) эквивалентно требованию, чтобы векторы Г = (Рь Рь Рз, Ра.
Рз) н С (Оь Оь Оз. О». Оз) принадлежалн взаимно ортогональным лодиространствал. В зависимости от числа линейно независимых соотношений, которым удовлетворяет Оь «г-подпространство», натянутое на векторы Ри может. как видим, иметь 1, 2, 3 и 4 измерения. Сначала мы рассмотрим тот невырожденный случай, когда все Рз пропорциональны, так что «г-подпространство» имеет адно измерение. Мы можем сделать Ра пропорциональным Рз, положив а аяз. Как и раньше, наличие равенства зг = Ь (постоянные множители можно опустить) эквивалентно пропорциональности Р~ и Рз. Остается еще условие, что Рз должно быть пропорционально Рз или должно выполняться равенство я' ( — р/2)йз/з для некоторой постоянной р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
