Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Теперь мы обсудим возможности применения этого понятия к интегрированию дифференциальных уравнений гидромеханнки и, конечно, уравнений математической физики вообще. Большая часть того, что мы намерены высказать в связи с этим, в том илн ином виде уже имеется в других работах, Но если, как мы полагаем, применение понятия группы в теории дифференциальных уравнений только начинается, то, по-виднмому, целесообразно свести воедино относящиеся к этому вопросу соображения. Сначала мы опишем то, что можно назвать методом поиски симметричных реисенай уравнений в частных производных.
Предположим, что система уравнений в частных производных г. инвариантна над группой ст, элементами которой являются входящие в систему зависимые н независимые переменные. Метод состоит в отыскании решения, инвариантного над некоторой подгруппой группы 6. Другими словамн, он состоит в отыскании ивтомодельных решений, обладающих внутренней симметрией относительно 6. Этот метод так часто применялся при решении отдельных физических задач, что удивительно, почему он пе был более Г.г. )л.
Теория грулн и гидрол~гхаиико отчетливо сформулирован гораздо раньше '). Мы покажем сей- час его зффективность на нескольких частных примерах. й 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности Метод «поиска симметричных решений» применим к континуальной физике вообще. Совсем просто его применение к уравнению диффузии; и это мы рассмотрим прежде всего.
Для плоско-параллельного течения уравнения Навье — Стокса сводятся к уравнению диффузии '), но наиболее известно применение уравнения диффузии в теории теплопроводности. Ввиду того что переносу тепла и переносу количества движения в вязкой жидкости соответствует одна и та же группа симметрии, в некоторых задачах, относящихся и к теплопроводности и к конвенции, можно применять аналогичные рассуждения.
Например„можно рассматривать задачи с изменением фазы на подвижных границах (задача Стефана) или задачи о росте сферических пузырьков пара в равномерно перегретой воде. Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью х. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид а би з к ах[7 -х)--— хЧ'У=,7 —,, (п=[, 2 или 3), (1) где [7 — температура в точке х = (хь ..., х,) в момент времени й Ввиду сферической симметрии задачи будем искать решение а вида [Т(г,(), где ге=,У, хт. Этим исчерпывается использование г ! в задаче чисто геометрической симметрии явления.
Но тут еще имеется физическая симметрия в том смысле, что дифференпиальное уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований пространства, времени и температуры У = аг, 1' = азу, сл". = р(Т+ 7, (1') зависящей от трех произвольных параметров а, р, 7. Этой группой обобщается классический закон времени, согласно которому ') Впервые он был высказан Бехертом [б21.
Более полная формулировка была дана Л. И. Седовым [721 и [57), гл. 1т', $1; см. также К. Т). Станюкович [73) н [74). х) [7), п. 345 — 347. Результаты »того параграфа были опубликованы в [33), прежде чем нам стало известно о работах, названных в примечании 1. Относительно применения к исследованию роста пузырьков пара см. В1гкпо11 О., Нотп1пд тч'. А., Матам!)еа м., Рлуг1сг о[ Р)и1гуа, 1 (1963), 201-204. 161 6 ВО. Симметричные рви~ения уравнения теилояроводноеш время, требующееся для распространения тепла, пропорционально квадрату расстояния.
При любом положительном числе яз трехпараметрическая группа (1*) содержит однопараметрическую подгруппу, определяемую соотношениями г'= — аг, г'=азу, у'=а' у. (2) Так как т = О, то эта подгруппа сохраняет следующее краевое условие (/(оо,г) = О. Л(ы будем искать решения (l(г, В) уравнения (1), инвариантные относительно подгрупп вида (2).
В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить П-теорему. Переменные Х = гз/1 и 011 " инвариантны относительно преобразований (2). Поэтому, согласно П-теореме, всякое решение (!), инвариантное относительно преобразований (2), должно иметь вид (3) В $89 мы покажем, что уравнение (1) всегда имеет решения симметричной формы (3) (автомодельные), по крайней мере локально.
Пока мы ограничимся исследованием одного частного случая. Подставляя соотношение (3» в уравнение (!) и деля па подходящую степень величины й получаем уравнение 4кХУ +(2ктз+у)У' — — 2-,У'=О. (4) Переход к переменной $ = гз/4к! (которая безразмерна и обычном смысле, т. е. инвариантна относительно группы преобразований (22) из гл. !Ч) дает более простые выражения: У = В Г(!), где !Рп+(!+ — ) Р! — — Р=О.
(4 ) После подстановки х = — $ последнее уравнение переходит в конфлуэнтное гипергеометрическое уравнение '). Однако не это главное; главное то, что решения уравнения (1) можно найти, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение, по всегда можно проделать численно. !!е все «симметричные» решения уравнения (1) [т. е. (4)) представляют одинаковый физический интерес. Преимущественно интересны решения, для которых У- О при г«оо, так что 11ш,т (Х) = О х-« '1 К а м ке Э., Справочник но обыкновенным дифференциальным уравнениям.
нзд. 2-е, М., Фнзмятгнз, 1961, уравнение 2.1!3, !б2 Гл. У. Теория ерукл и гидроиекииики Нас также интересует полное количество тепла, которое пропор. ционально интегралу 1 се'(г, у)г"-' еуг, а следовательно, и велне чине апик аи»к Или ееатекуз В частности, интересен случай, когда полное количество тепла постоянно, что соответствует распространению ограниченного количества тепловой энергии из начала координат.
Тогда нт = — н; если положить п = 26, то уравнение (4') после приведения подобных членов сводится к виду О = ЕРц+(Е+ Ь) Р;+ йР= Е(Рс+ Р)с+ й (Рс+ Р), й = .у. (4о) Уравнение (4*) можно проинтегрировать в замкнутом виде. Чтобы получить (е'(оо, У) О, функции Р и Р; должны стремить. ся к нулю при $-» + оо, и, следовательно, Р(Е) е-й. й4ы получнлн решение Лапласа Ц=Су ""е '"' (5) которое в большинстве учебников выводится с помощью преобразования Фурье. Другой интересный случай — это случай точечного источника, выделяющего тепло (за счет химического нли радиоактивного процесса) с постоянной скоростью начиная с момента у О. Здесь нт + и 2, т. е. ит 2 — и, вследствие чего уравнение (4') принимает вид ЕРц+ (Е+ й) Ре+ (Š— й) Р = О, й = к —— — — .
Интегралы такого вида конфлуэнтного гнпергеометрнческого уравнения (оии были получены другим путем) могут быть выражены в замкнутом виде '). Однако это не столь важно, как то обстоятельство, что полученное дифференциальное уравнение является обыкновенным. й 81. Спиральные течения вязкой жидкости Теперь мы пронллюстрируем метод «поиска симметричных решений» на классическом примере «спиральных течений» несжимаемой вязкой жидкости.
Впервые окончательные формулы ') Си. Сага!ап» впд У в еяег, «Сипак«поп о$ Неа» 3п бопйз». Осо. беппо прост случай л 2. так квк тогда (1-В) О. (На русск яз. Кар. с л о у, Теория теплопроводиости, М.— Л. ° ГТТН, трйу, — терпи. перев.) Р' ВЛ Саара.гение течения нязлна чндногги были получены Джеффри и Хамелем '). Наибольшее значение для приложений имеют частные случаи вырождепня: радиальное течение в канале и круговое течение Куэтта. Все же мы рассмотрим общий случай, так как он представляет интерес с математической точки зрения. Хорошо известно, что в случае плоских несжимаемых потоков уравнение неразрывности эквивалентно введению ефункции тока» У= ) (ит/у — тгс(х).
так что (дУ/ду, — дУ/дх) есть вектор скорости. Тогда выражение — 7»У = до/дх — ди/ду дает завихренногть. Кроме того, уравнения движения Навье — Стокса для таких плоских течений эквивалентны ') уравнению д(ттУ, У) 1 д(ттУ, У) тучУ =- — — ' д(х, у) г д(г, О) 1 ( г)У д(т'У) дУ д(ттУ) 1 г ( дэ дг дг дв где д(р, д)/д(х, у) = рнув — днр„— обычное обозначение яьобиана, а т, как обычно, ки)гематическая вязкость )т/р. Анализ размерностей показывает, что прн геометрически подобных условиях поведение несжимаемых вязких жидкостей зависит только от безразмерного параметра )хе.
Теперь мы будем искать ивтомодельные плоские течения для однопараметрнческих подгрупп группы подобия г'=е'г, 8'=8+у. Это значит, что мы будем рассматривать течения, инварнантные относительно некоторой спиральной подгруппы г'=е'г, б'=О+ах, (7) где параметр с характеризует спираль. Преобразования (7) переводят плоскость саму в себя. Так как р постоянно, формулы (7) дают автомодельное движение при постоянном числе г(е тогда н только тогда, когда значения ги, и гит в соответствующих точках одинаковы.
Но дифференциалы значений функции тока У пропорциональны произведениям расстояний на скорости, так как Л' = (дУ/дх)Ыт + (дУ/ду)гт)л Поэтому дифференциалы У будут инвариантны относительно спиральной группы (7). Итак, при заданном в полярных коорди- ') з с((е ту 6. В., Ргас. Еолд. Ма(И. Зос., 14 (1915), 327 — 338; )( в пз. гас) ст., уаьг. Оеа!зсьс Ма!И Уек, 25 119!81, 34 — ОО т) Это можно вывести кз гл. И (11), твк квк го( и = О в консерввтивиом поле и 5 ° Х -О в силу того, что;", =се д/де=О. Этот результат можно пвйтп также в (8), стр. 573, пример 7, Гл. и Теория грели и аидрояяяоиияо 164 натах соотношении (г, 6) (е", 6) посредством преобразования (7) при и = — Х получаем соотношения 1/(е', В) — У(е', сХ)=(/(1, 6 — сЛ) — )/(1, 0)=Р(т) э= — сХ.
(8) $l(г, В) = ах+ Р(Х), х = 1п г, Х = 6 — с~. (9) Согласно этой формуле, течение определяется произвольной постоянной а и функцией одной переменной Р, Наиболее интересен случай, когда линии тока — спирали, т. е, когда а 0 в формуле (9). Как и раньше, мы сделаем подстановку в дифференциальное уравнение общего вида (8); далее следуют выкладки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
