Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 30
Текст из файла (страница 30)
там же, гл. т]П. (См. также Курош А. Г., Теория групп, М.— Л., 1963; Мальцева А. И., Осколы линейной алгебры, Л1.— Л., 1943.— Прим. ргд.1 з] Это аоложеняц хотя я широко используется математякамя к фкзккамя, редко формуллруатся явно; см., однако, Воц!16апб й., Твйог]а Огата!в баз Отпорол, Раг]з, 1936, атр. 3, ординат — известный принцип, который весьма существен при математическом исследовании большинства физических задач. В некоторых частных случаях можно воспользоваться инвариантностью относительно ионформных н афинных преобразований (см. $74).
Вообще говоря, инспекционный анализ применим к любой зруппе преобразований '). Под группой преобразований мы разумеется, понимаем (см. прим. 1) на стр. 122) множество преобразований, содержащее тождественное и все обратные преобразования и произведения любых двух своих злементов.
Наше утверждение основывается на логической аксиоме, о которой шла речь в 9 1, гипотеза (С) и в 9 26, а именно: если гипотезы теории инвариантны относительно группы С, го инвариантны относительно С и ик следствиях). Обратно, множество всех взаимно однозначных преобразований, оставляющих бвз изменения какуе-либо систему уравнений, образует группу. Самой важной группой в механике после «группы подобияэ преобразований вида (22) является десятипараметрическая группа Галилея — Ньютона. Эта группа порождается трехпараметрической подгруппой 5 пространственных переносов х,'=*х,+с, (1=1, 2, 3); Гл. т'[т.
Моделирование и анализ ризмерностеа преобразования не изменяют определений таких физических параметров, как плотность, вязкость и т. д. (предполагается, что масса остается неизменной). Следовательно, теоретическая ме«анака Ньютона инвариантна как относительно еруппы Галилея — Ньютона, так н относительно группы преобразований (22) динамического подобия. Этот принцип был подтвержден на опыте многими способами с очень большой точностью„ за исключением тех случаев, когда скорости движения сравнимы со скоростью света ').
$ 6В. Теория моделчровання Мы указали два основных преимущества инспекционного анализа: он дает нам возможность оправдать предположение 1Ч анализа размерностей, позволяя проверить инвариантность уравнений, определяющих данную краевую задачу, относительно вреобразованнй (!); а также позволяет рассматривать «подо. бне» не только такого простого вида, как (!). Инспекционный анализ имеет и третье преимушество: он дает в принципе рациональный метод проверки справедливости предположения П1. Хотя, как мы видели, предположения 1, П и 1Ч, по-видимому, в общем допустимы в механике жидкостей, с предположением П[ дело обстоит иначе. Кроме того, анализ размерностей не дает основания а рг[ог! решить вопрос о том, определяют ли переменные Яь ....
[,т„величину 9о достаточно точно. Так, Бриджмен') замечает вскользь, что этот кардинальный вопрос «не может быть разрешен философом на кафедре>, а его можно решить только на основе физического опыта. Мы проиллюстрируем это затруднение большим экспериментальным материалом. Для того чтобы проверить справедливость предположения П[ с помощью инспекционного анализа, в принципе можно действовать следующим образом. Пусть известно, что некоторое течение жидкости можно приближенно рассчитать, решив соответствующую краевую задачу в смысле $ !. Тогда можно попросту проверить инвариантность дифференциальных уравнений и краевых условий относительно преобразований некоторой груп. пы (скажем, преобразований (22)), Если они инвариантны н краевая задача корректно поставлена, то предположение 1П справедливо. Таким образом, инспекционный анализ имеет то преимущество, что он укладывается в общую схему теоретической гидро- ') Кежтшнйся передние Любке не янзяется контрпрнмером; см.
й 28. ') [461, ств 13 — 14; см. тем же, стр. 50. б бр. Часглмд нлспелялоннмд алнлнл динамики. Основное ограничение, накладываемое на его применимость, обусловлено, как мы уже выяснили в гл. 1 — П, тем обстоятельством, что все еще слишком мало задач теоретической гидродинамики сведены к таким краевым задачам, корректность которых доказуема.
$69. Частный инспекционный анализ Мы приведем сейчас пример, иллюстрирующий применение как инспекционного анализа, так и способы устранения затруднений, возникающих при этом. Рассмотрим уравнения Навье — Стокса (23) для несжимаемой вязкой жидкости. Согласно Руарку (561 их можно привести к безразмерному виду следующим образом. Пусть У, /. н Р соответственно скорость, длина и давление на модели, измеренные, по предположению, на границах течения жидкости.
Если умножить уравнения (23) на /./Рт, чтобы придать этим уравнениям безразмерный вид, н ввести безразмерные переменные и,'=и,/К б'= 'н///., х,'=хг//.. р'=/г/Р и безразмерные постоянные Ке [///т, Рг = Ъ~/Ад и (б'=2Р/рот, то получим уравнения Внг 1,«, 1 / б 1 1)~бр (28) 111' йе г Рг 1, б,/ 2длг где аг/д — направляющие косинусы силы тяжести. Безразмерные дифференциальные уравнения (28) находятся в замечательном соответствии с техническим опытом: мы можем отсюда вывести трн наиболее важных ориентирующих правила, используемые при моделирования'). Так, мы видим, что если влияние силы тяжести, сжимаемости н кавитацни незна.
чнтельно, то модель должна иметь то же самое число Рейнольдса Ке. Если не имеют значения сжимаемость, кавитация и вязкость, то моделировать надо по числу Фруда Рг. Если можно пренебречь сжимаемостью и вязкостью, ио надо учитывать гравитационные и кавитационные эффекты, то следует сохранять неизменным как число Рг, так и «число кавнтации» Яе (см. $72, 78). Инспекционный анализ делает правдоподобным предположение, что те или нные величины не играют роли как разтогда, когда малы соответствующие коэффициенты в уравнениях (28), ') См.
[11[, т. 2, гл. 1, по поводу аналогнчного вмвода. Рецепт там тавов: нужно сохранять ненаменнымн «отноглення снл»; нн велнянна 1Г', нн днфференцнальные уравненяя не рассматриваются в явном виде. 140 Гл. 1й'. Моделирование и анализ размерностей и, таким образом, по-видимому, он дает хорошее теоретическое обоснование моделирования по числам гг, Ке и Яа. Хотя только что приведенное рассуждение весьма содержательно и его стоит запомнить, оно страдает тем недостатком, что учитывалось только одно из трех фундаментальных уран. пений гидромеханики, а именно уравнение движения. Итак, при этом остались в стороне уравнение неразрывности — "+~~н ('т",") =О, или б(тт ц+ ~е) =0 (29) слт н уравнение состояния, которое можно записать в виде (30) р =У(р).
По этой причине мы будем называть его «частным инспекционным анализом», а соответствующий процесс, когда рассматриваются корректно поставленные условия, полностью определяющие течение, будем называть «полным инспекционным анализом ж й 70. Инерциальное моделирование На практике соображениями удобства экспериментирования и экономии часто руководствуются не только при выборе используемой жидкогти (например, воздуха или воды), но н при выборе размеров моделей н скорости течения. Использование малых моделей для представления действительной картины ббльшего масштаба обычно обосновывается с помощью анализа размерностей.
В частности, обычно считают приближенно выполненным следующее условие. Принцип инерциального моделирования. Ьезразмерные величины остаются без изменения при всех преобразованиях вида (22). Так, если Š— характерная длина и )т — характерная скорость, то считают, что У ц(Е х) инвариантно по отношению к преобразованиям (22).
В качестве следствия можно получить, исходя из значения величин на модели ц(х), действительную величину ч(у) посредством соотношения у(у) =-',- ц (-',~), где Г и т" — характерные длина и скорость полного масштаба. Подобным же образом допускают инвариантность относительно преобразований (22) коэффициентадавления Ср — — (р — р т( 2рттп, где р,— давление в окружающей среде. В случае невязкой у 70, Инврниольнов моделирование 141 жидкости из этого следует инварнантность коэффициента Са —— /)/ 2 р$"'А, где 0 — лобовое сопротивление и А — площадь 11 поперечного сечения. Заметим, однако, что неизменность вели- 1 чины р/ кл-рое не предполагается (см.
$72): анализ размерностей охватывает не все. В действительности метод инспекционного анализа поэзо. ляет нам обойтись без всех предположений анализа размерностей. В частности, принцип инерциального моделирования можно строго вывести из стандартных уравнений для несжимаемой невязкой жидкости при условии отсутствия свободной поверхности. Так, почти тривиальные выкладки показывают, что преобразования (22) в сочетании с преобразованиями и' ин/у, р' ° Тр/н' и р' (Т/нр')р сохраняют неизменными как уравнения движения Эйлера и уравнение неразрывности, так и условие отсутствия вихрей «.Х и О.
Этим доказана следующая теорема. Теор е ма 5. В случаенесзсимаемоготечения к уравнениям донесения Эйлера, уравнению неразрывности и нгзавихренносги и к краевым условиям Эйлера на твердых стенках применим принцип инерциального моделирования. Поскольку сформулированные выше условия определяют корректно поставленную краевую задачу (задачу Неймана, см. й 4) для стационарного течения при заданном р„отсюда вытекает следствие. Следствие. Если справедливы уравнения Эйлера для безвнхревого несжимаемого течения, то измеренное значение Со не должно зависеть от размеров, скорости движения и плотности жидкости. Фактически, ввиду парадокса Даламбера, этот результат менее интересен сам по себе, а интересен в качестве иллюстрации важного метода. Однако приведенные рассуждения равным обазом применимы к течениям Жуковского ($8), к «следамь') ирхгофа ($39), к течениям Гельмгольца — Бриллюэна ($47) н к теории вихревых дорожек Кармана (5 56).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
