Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Эта значительно более подходящая модель была недавно предложена Бэтчелором '), однако до сих пор при конкретных расчетах не удалось преодолеть вычислительные трудности. Кроме того, в виду неустойчивости по Гельмгольпу, реальные следы при больших Гсе дают в высшей степени нсстационарное ') У. ПиЫ Месм, 1 (1956), 177 — 190 и 388 — 398; см. также Гт и о О Гт. %., там же, 2 (1957), 77 — 87, 114 Гл. Ш.
Струи, следы и кавитаиив течение, и, следовательно, модель является нереальной. Для диапазона 6 < Ке < ЗО, по-видимому, более приемлемой является модель вязкого течения Озеена ($31) '). 9 56. Вихревые дорожки Наиболее заманчивой вихревой моделью для следов является «вихревая дорожка», состоящая из двух параллельных рядов точечных вихрей, размещенных на одинаковом расстоянии, причем эти периодические ряды расположены «в шахматном порядке», так что вихри каждого ряда приходятся посредине между вихрями другого ряда. Эта модель была предложена Карманом ') для представления периодических следов за ци.
линдрами, наблюдаемых в основном в интервале 30 < Ке < 300. Для нее комплексный потенциал [Гс = У + 1)/ записывается в следующем виде: <ч < и С [6'= — <)аз)п — — (дз(п — [к — — — И) ~. 2к< а а ч (36) Таким образом, потенциал включает три параметра: интенсивность вихря х, продольный размер а и поперечный размер й. В любом конкретном случае определение этих параметров, очевидно, является основной задачей, а любой набор значений и, а и й задает равновесное расположение.
Карман показал, что в невязкой жидкости такое расположе. ние имеет неустойчивость первого порядка (т. е. отклонения от положения равновесия растут экспоненциально), если только й/а не равно 0,281 (приближенно). Он показал также, что аналогичное размещение вихрей, прн котором вихри в обоих рядах остаются параллельными [величина а/2 опускается в формуле (36)), всегда неустойчиво. Кроме того, исследуя скорость К, с которой завихренность распространяется в пограничном слое по обе стороны, Гейзенберг и Прандтль з) получили соотношение «+а ' 4 откуда х= (1+ О)поз/4.
Хотя сам вывод весьма приблизителен, результат является надежным с точностью до множителя 2. ') Литература приведена в [171, стр. 263, прнмечанне 13. Отличный нсторнческнй обзор вихревых систем в следах дал Р о»вахед Л., сб. Проблемы механики, ИЛ. М., 1955, стр. 446 — 454. з) Сот<. Р)асйт., Ма<а:Рйуз. К<. «9!2), 547 — 556. з) Н е< а е и Ь е т д Ф., Рйуз. Яелз., 23, (1922), 363 — 366 н комментарнн Прандтла на стр.
366; см. также 131, стр. 555, 564 н [111, т. 2, стр. 132. р 57. Количество данг«ения в следе Наконец, легко догадаться, что величина )г не должна намного отличаться от диаметра цилиндра д; в $57 мы сможем в большей мере обосновать это теоретически. Учитывая все приведенные выше соображения, можно построить приближенную априорную модель периодических следов. Очевидно, что зта модель вихревой дорожки возникла не из решения математической краевой задачи: остроумная идея Кармана не принадлежит к «рациональной гидродинамике» всмысле $ !. Так, в этой теории обтекаемое препятствие не является неким реально существующим геометрическим объектом. Было высказано предположение, что вихревые дорожки естественно возникают прн закручивании вихревых слоев, представляя, таким образом, асимптотические решения задачи Коши.
Однако приближение в виде модели сосредоточенных точечных вихрей является нереальным как теоретически, так и экспериментально '), даже несмотря на то что, как иногда говорят, вихревые слои закручиваются, причем «завихренность все больше и больше сосредоточивается в закрученных участках». Эти замечания имеют своей целью подчеркнуть, насколько далеко ушла современная гидродинамика от простой и догматической идеи Лагранжа. Все стационарные вихревые течения нз $55 н асе решения задачи Гельмгольца удовлетворяют уравнениям Эйлера для несжимаемой невязкой жидкости; это показывает, насколько далека от «корректной» постановки задача стационарного течения для этих уравнений.
В действительности же само понятие «стационарного течения» ошибочно с физической точки зрения для жидкостей малой вязкости! $57. Количество движения в следе Однако тот факт, что идеи Лагранжа оказались ошибочными, не означает, что теоретический подход в гидродинамике следует отвергнуть, Как мы видели в гл, Н, есть большие основания считать уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости заслуживающими доверия. Наше рассмотрение теории следов мы закончим кратким обзором результатов„полученных к настоящему времени при помощи этих уравнений.
Как и в случае кавитацнонного движения ($49), многое может быть объяснено при помощи законов сохранения. Возможно, что наиболее полезной является интерпретация количества движения следа. В эксперименте позади всякого ') Теоретический разбор см, а работе В ! г К)т о ! ! чг., Р ! а н е г )„ Келд 5ог. Мат.
Ра!егто, 8 ()959), 77 — 90, относительно зксйеримеитальнмк лаинмк см. [3), гл. Х)ць !гагата азата из той же работы. !16 Гл. Ш. Струи, следы и кавигация движущегося в жидкости твердого тела мы наблюдаем движущийся вперед «след». Таким образом, для двумерного случая можно определить количество движения следа, приходящееся на единицу длины, на расстоянии х от препятствия, по формуле ((17], стр. 266). М(х) = р ~ и (х„у) >>у, (38) ') Длн периодических нли турбулснтных следов — среднее значение втой скорости по времени. т) Чтобы придать таким гипотезам математическу>о рсспсктабсльность, можно называть нх «таубсровымн» з) [17], гл.
Х11, э Я. Более раннее тп>ательнос исследование провел Тат!о > СЬ У., РЬЙ. 7галз., А225 (!925), 238 — 245, см. также бо10. з(е ! п 5., Ргос. >(оу. 5ос., А!42 (!933), 563 — 573 ') [3), 4 115. Первоначально чту технику разработал В с 1х А., хв>» Р(иу! Могог>пйвсЫЦаяг(, 16 (!925), 42 — 44; см. также Р а 2 с А 3 оп аз В. М., Ргос. Роу. 5ос., А>11 (1926), 592 — 603. где ось х выбрана параллельно направлению движения твердого тела, а величина и обозначает поступательную скорость') движения жидкости. Если мы принимаем эмпирический факт, что вне следа завихренностью можно пренебречь и поэтому здесь применимы приближения классической гидродинамики, то это приводит нас к предположению, что количество движения М(х) фактически не зависит от величины х — небольшого расстояния позади препятствия '). Эта гипотеза подтверждается экспериментально.
Далее, естественно предположить, что количество движе>шя в следе создается давлением тела на жидкость (второй закон Ньютона) и что оно равно по величине и противоположно по направлению сопротивлению (), которое жидкость оказывает движению тела (третий закон Ньютона). В частности, сопротивление 0 должно равняться возникающему за единицу времени количеству движения в следе, которое в свою очередь должно равняться произведению и М, где М вЂ” количество движения в следе в расчете на единицу длины.
Эти интуитивные догадки можно сформулировать математически и вывести из разумных предположений относительно течения жидкости '). Еще более интересно то обстоятельство, что некоторое уточнение таких формул дает наилучший способ измерения фактического лобового сопротивления крыла в полете,— по давлениям в трубках Пито, определяемым позади крыла на расстоянии от него, составляющем небольшую долю ширины крыла '). Для нас еще более интересно применение закона сохранения количества движения следа к модели «вихревой дорожки» из 8 бУ. Количество движения в следе $56. В очень длинном вихревом «хвосте» с ограниченной ско. ростью среднее продольное расстояние а между вихрями не может изменяться со временем. С другой стороны, количество движения следа в расчете на единицу длины легко подсчитать по формуле Йх/а, где й — среднее поперечное расстояние между вихрями. Теоретически иэ этого следует, что в невязкой жидко.
сти, когда х постоянно во времени, значение Ь (а следовательно, и отношение среднего продольного расстояния к среднему поперечному) должно быть постоянно во времени: здесь нет тенден. ции к единственному «устойчивому» ') отношению протяженностей. В вязкой жидкости сосредоточения эавихренностн ч-и противоположных знаков диффундируют и взаимно уничтожаются; следовательно, можно ожидать возрастания величины Й что и наблюдается в эксперименте, С научной точки зрения приведенные выше результаты интересны тем, что онн помогают выяснить асимптотическую структуру реальных следов.
Однако для получения конкретных выводов нужно ввести еще одну гипотезу подобия. Подобие и относящиеся к этому идеи будут основной темой последующих гл. 1Ч и Ч. Относительно же применений к теории следов см. работу [17), гл. Х!1 и Х[Ч. '1 Фактически даже отиошеиие поотяжеииостеа Кармана Л/а 0,281... дает иеустоачиасстм хотя и низшего порядка, см, [!81, [это было устаиоеаеио Н, Е Кочииым и работе [24'1. — Лрин. рео.[ Глава 1Ч МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ й 58. О моделях Применение моделей при изучении механики жидкостей на.
ходит отклик у каждого, кто не лишен естественной любознательности. Какой мальчик не играл с моделями кораблей и самолетов и с упрощенными моделями плотин и водосливов? Но даже в наиболее развитых областях современной техники такие модели незаменимы и имеют существенное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
