Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Прямая задача Теорема 1 позволяет решить обратную задачу — найти класс всех плоских течений бесконечного потока, разделенного на симметричные части криволинейным препятствием. Теперь мы обратимся к прямой задаче: найти, какова функция Я(/) для данного двумерного препятствия Р, симметрично расположенного в бесконечном потоке. Мы покажем, что эта задача эквивалент. на решению нелинейного интегрального уравнения.
В принципе можно очень просто выразить все свойства течения с помощью функции 11(/). Так, вдоль неподвижной границы Р (/ = е" в плоскости /) для (э = 6 + (т запишем равенства 6=а,соза+аэсозЗа-)- а,сов 5а+..., (22а) я=а,з!и а+а з)п За+ааз!и 5а+.... (22б) Нам будет удобно рассматривать также производную Х(а) = — Ф6/с(а а, з(па+Заза!и За+аз з!и 5а+ ..., (22в) предполагая в соответствии с гипотезой (Е) из З 1, что выписанные ряды Фурье удовлетворительно сходятся в случае достаточно «гладких» препятствий. а Мы покажем теперь, что 0 отличается на величину — от напра- 2 аления ф касательной к препятствию, Так как агп г/г/ЛТ = ° аги ь ' + агат!Ю/г!Т и аги г/г/г/Т = ф (исключая критическую точку С), то очевидно, что агиь ' равен ф — я на участке АС и равен ф на участке СВ, С другой стороны, в силу формулы (19) и сделанных перед этим замечаний относительно величины аги[(1+ И)/(1 — И) значение агд~-' равно 6 — я/2 на участке АС н равно 6+ я/2 на участке СВ.
Оба эти соотношения показывают, что вдоль участка АСВ 6 = ф — к/2. Длину дуги препятствия ! можно найти при помощи соотношения (21), из которого следует равенство сУ 1" 1 )ИФ'/дТ! |г///г1/~ ~й на я=в". Применяя формулу (!9') и элементарную тригонометрию, получаем соотношение 1! — ~ ~ .
)вм-я) ~ + ! в-" Аналогично, так как сЛ(у/с// (/ — / '), как и в формуле (21), находим соотношение а'!а — ~=М !совая!па), М=сопз!. Гл. ПЛ Струи, следи и еаеитичия Сравнивая предыдущие формулы, окончательно получаем следующий результат: сс/=Мч(а)в-туч~с/а, ч(а)= [з(па(1+з(па)[. (23) Поэтому для кривизны. определяемой равенством х — йр/а/ — сЮ/Й, получаем формулу А(т)е'ьа к= —, Мч (е) (24) что можно сравнить с ормулами (22в), (23).
Пусть теперь Р— любое гладкое симметричной формы препятствие, имеющее кривизну постоянного знака (т. е. без точек перегиба), и пусть х = К(а) выражает кривизну как функцию угла 6 = а — х/2, на который касательная поворачивается за точкой С. Тогда, преобразуя формулу (24), получим выражение Л(а) = Мч(а)е-чьаК(й) =Мч(а) е-щК(/Л), (25) Теорем а 2. Для того чтобы течение, описанное в теореме 1, соответствовало препятствию, имеющему кривизну х = К(9) постоянного знака, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотноисение (25). При малых значениях константы М интегральное уравнение (25) можно разрешить прямой итерацией функцяонального преобразования ,(а)=5[Л (а)[=М (а)в о' К(Л„).
(26) При больших значениях М сходится «усредненная итерация» относительно соответствующим образом выбранного «весового» множителя а, т. е. можно итерировать по формуле Ле+,(а) = (1 — е) 1.«;а, + е5 [~а (а)[, (26') где линейные операторы Р и / определяют функции т(о) и8(а) че- рез Л(о) по формулам (22а) — (23в). (Действительно, /Л = ~ Л(а)с/а, тогда как 0Л является «преобразованием Дини» функции Ца) при соответствующем сингулярном интегральном ядре 0(о, а'); см.
работу [171, стр. 136.) Итак, нами доказана следующая теорема. б Е7. Неопределенность точки отрыва Таким образом, используя современные быстродействующие вычислительные машины, можно эффективно разрешить интегральное уравнение (25), при заданном положительном значении М; подробности можно найти в литературе'). $47. Неопределенность точки отрыва Соответствие между интегральными уравнениями (25) и препятствиями Р не является взаимно однозначным нз-за наличия параметра М. Поэтому возникает основной вопрос: в каком смысле (если о нем можно говорить) корректно поставлена задача Гельмгольца, рассмотренная в 9 36? Этот трудный вопрос еще не разрешен полностью даже для плоских течений, имеющих ось симметрии.
Таким образом, как показал в 1911 г. А. Вилла 122], даже течение Кирхгофа, описанное в $39, не является единственным решением задачи Гельмгольца для плоской пластинки в бесконечном потоке. Для конфигурации, изображенной на рис. 17, появляется однопараметрическое семейство других, топологически отличающихся возможных решений' ) (см. (0),$1). В случае круглых препятствий возникает еще более существенная неопределенность, даже если предположить, что топология течения обусловливает наличие единственной бесконечной каверны позади препятствия. Еще до того как удалось доказать строгие теоремы, М.
Ьриллюэн установил, что положение точки отрыва является неопределенным. Этот факт тесно связан с неопределенностью постоянной М в соотношении (25): вообще говоря, константа М соответствует «смоченной длине», равной расстоянию от точки раздела С до точек отрыва А н В, и возрастает с увеличением участков СА = СВ. Поэтому задача Гельмгольца для круглых препятствий не является корректно поставленной, даже если задаться топологией течения. 1» Работа [171, гл. (Х, 4 З; Е1г(гьо(1 С..
По1бз1(пе Н. Н, Е а г я п( о и е(1о Е. Н., )(елг(. Вель А(аг. Томно, 13 (19бч», 35 — 213. [Переев конкретязя задача об обтекпппн с отрывом струй крнволннеаного йй и епятствня (дуге круга прп првмом ударе) была решена А. И. Некрасовым 1 методом последовательных прпблпжекпз с доказательством сходнмостп в едннственностя. Затем появнлся еще ряд работ, продолжающих н обобщяю. щнх псследовзння А. И. Некрасова, см. [17'). Метод Н. Е. Жуковского был обобщен на случзз струвного обтекзпня произвольного чпслз крнво.
лпвейных дуг Л. И. Седовым [ук). Шнрокпе теоремы сущестяовзнкя н еднпстпенвостн для струганых течения были доказвны М. А. Лзвреятьевым [21»)в »урна. реб.[ зу См. работу [171, гл. т', 4 3. Е е ге п( оп е11о Е. Н., А ае А(ай., ЗЗ (»епе», '9 — 80, покзззл, что другнх позможностез не существует. Гл. Вд Става, следы и калитачил Однако если предположить, что выполняется условие Бриллюэна 1$43), то задача бесконечной каверны становится корректно поставленной, по крайней мере в некоторых случаях.
Следуя Лерэ 135], определим «скобку» как препятствие Р, кривизна которого и(0) возрастает '), как показано на рпс. 18. Лерэ доказал, что всякая симметричная скобка Р имеет единственную пару «точек Бриллюэна» Ао, Ве, обладающих следующим свойством: кривизна свободных линий тока в точках отрыва А, В при любом симметричном обтекании части Р равна +ею, конечна или равна — оо в зависимости от того, происходит ли от- Рпс, 11.
Обтекание плоской пла- Рис. 18. Обтекание «скобки» по Гельнстппкп, по Вилла. гольцу. рыв перед точками Ае, Ве, в точках Ао, Ве или позади точек Ао, Ве соответственно. В первом случае ввиду бесконечной кривизны свободные линии тока должны проходить сквозь скобку, что невозможно. В третьем случае, очевидно, нарушается условие Бриллюэна. Следовательно, если мы определим задачу Гельмгольца в Бриллюэна, как задачу нахождения Эйлеровых течений, которые ограничены неподвижными препятствиями и свободными линиями тока, удовлетворяющими условию Бриллюэна, то получим следующее утверждение. В случае бесконечной симметричной каверны позади скобки задача Гельмгольца — Бриллючна поставлена корректно и отрыв происходит в точках Бриллюэна Ао, Во.
Интересно было бы точно определить класс симметричных препятствий, для которых задача Гельмгольца — Бриллюэна поставлена корректно. Мы показали выше, что в случае скобок условие Бриллюэна эквивалентно условию конечности кривизны свободной линии ') По теореме о четырех вершинах, круг есть едпкствепкаа «скобка», ограничвваююаа гладкую выпуклую область. 1 /д / / / / / / 1 ! 1 ) й 4Д Осесимметричиые течении Гельмгольца тока. В литературе не раз встречалось утверждение, что последнее условие («гладкого отрыв໠— см.
работу (17), гл. Ч1, 9 6) представляет собой «физически разумную» замену условия Бриллюэна. Однако в силу условий (14) и особенно в силу того, что прн обтекании по Кирхгофу плоской пластинки нарушается условие «гладкого отрыва», условие Бриллюзна кажется нам предпочтительным '). й 48. Осесимметрнчные течения Гельмгольца Впервые осесимметричные течения Гельмгольца были строго математически проанализированы в 1946 г., когда Левинсон' ) дал строгое нсследование асимптотическнх очертаний каверны. Предполагая, что для них удовлетворяется условие у=хля(х), где Иш "а (") =О, (27) Левинсон доказал, что з = '/з н что С(1пх) '" ' <д(х)<С(1пх) '"+' для некоторой постоянной С, при всех е ) 0 и при достаточно больших х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
