Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда а = О, и мы снова можем написать равенства (5), помня при этом, что С = сова определяет направление теченйя на бесконечности. Наиболее интересен случай обтекания пластинки под ттрлятыят углом; он представляет собой плоское течение, аналогичное изображенному на рис. 10,б. В этом случае равенства (5) сводятся к виду (Т) Выполняя интегрирование, указанное в формуле (2), мы на этот раз получаем следующее соотношение: з = — ~ — + — ~ — — — 1п — ~ + сопз( (8) 1 т ( ! (С'-Г.1)т 2 1 0+1 2 С+1 ) для всех значений ь $ + (т).
Вдоль пластинки величина ь принимает действительные значения и соотношение (8) сводится к виду 1 1 С з = —; — + — ~ —,— + агс!и((, (Р -г 1)' 2 ( т.т+ 1 (8а) детали вычислений мы здесь опускаем. Случай вертикальной струн„рассмотренный Гельмгольцем,соответствует С = соз а = О. 62 Гл. Ш. Струи, следа и кавигация где, очевидно, г(0) = О, н, таким образом, постоянная интегрирования равна нулю. В правой точке отрыва ЗЬ = 1, следовательно, аФ) =-+-~-+-(=— 1 1<1 аэ 4+а 4 212 4( 6 (8б) Давление легче всего вычислить, положив ~ = $ =1нВ вдоль пластинки, так что ь/(ьз+ 1) = з(пВ ° созВ- 1/2з(п26. Следова.
тельно, в силу теоремы Бернулли' ) н формулы (8а), давление на пластинку равно интегралу 1 ! «Е« ~ (1 — Вт)е/х= / 6 ау~ 4 з1пт 26~= ~ 2созт26Е(6= —. е о е-о е о Отношение этой величины к половине длины пластинки, очевидно, представляет собой коэффициент лобового сопротивления, который, таким образом, равен величине 2а Со — — — — — 0,88. а+4 (9) С амп2а 4+выпи $40.
Влияние стенок Метод годографаз) можно также применить с целью получения информации относительно влияния стенок на струю при истечении нз сопла. Рассмотрим, по Гельмгольцу, обтекание пластины, половина ширины которой равна Ь и которая удерживается в симметричном положении в струе из сопла, как показано на рис. 12,а. Так же как и раньше, функции ЯР(а) н 6(г) конформно отображают течение на бесконечную полосу с разрезом и на полукруг соответственно.
') Автор предполагает, что плотность жидкости равна еднпнце.— Прим. рвд. «1 Через Сь обозначен коэффициент подъемной силы. — Прим. рвд, ') См. 1171, гл. !1, $7, 6; а также гж 1, $11. Аналогичные, но более сложные подсчеты для случая обтекания пластинки под острым углом а + — позволяют получить 2 следуюшие формулы '): 2« Ип'а С,= — — --, (9') 4+кипа ' В 'ссО.
Вяияиае стенок Это опять-таки следует из того, что область Уе' ограничена линиями тока, на которых (у = сопз(, включая линию тока, разделяющуюся в критической точке. Область годографа ограничена свободными линиями тока, на которых величина постоянна, и неподвижной пластинкой, вдоль которой величина Ь направлена вертикально. С математической точки зрения удобно так выбрать на- м чало координат и единицы нзмерения, чтобы область (й' представляла собой полосу — к< (у < к, разрезанную вдоль положительной полуоси (ут = = (у > О, а область годогра- и фа — полукруг !ь! < 1* — 2 < < ага~ < 2. Удобно также рассматривать только нижнюю половинц течения.
При этих условиях область значений Т = е"' совпадает с полуплоскостью. Так как преобразование ьт отображает половину области годографа на единичный полукруг О< агд ~< < тт, )Ц < 1„то функция (ьз+ ь а)(2 отображает ее на полуплоскость. В силу основной теоремы о единственности конформного отображения, отсюда следуют соотношения: %'=!и Т, Р ис. 12. Примеры плоскмх течений.
а — пластинка в струе, вытеки~выса иа сопла: у а(ат +" )+2о е — пластинка в канале; е — пластинка в сео.' с(1а+С а)+2П ' болиоа струе. где величины а, Ь, с, с( — действительные числа. Эти действительные постоянные можно связать с геометрическими свойствами течения. Если г < ! — скорость течения в сопле (предполагаемая постоянной) и е '" — скорость в нижней струе, то ь =- и, т л. Ш.
Струн, «кеды н ккентвннв когда йг — сп и Т * еж О, в то время как ь в", когда )рт Т сп. Таким образом, отбрасывая постоянные слагаемые, получим следующее выражение: Ф'= ! и [!Ге — еты) (Гт — е-"')[ — ! и [(Р— ив) ((е — и ')[ =- = !и ["" — 2СС'+1[ — !и[Се — (ее+ и т)У+1[, (11) где С = соз 2к. Поскольку из формулы (2) а = [ Г' Ы!вт, зто выражение можно проинтегрировать элементарным способом и получить з(Ь) в замкнутом виде'). Особый интерес представляют случай С = 1 — пластина в закрытом канале (рнс. 12, б)„для которого можно получить со- отношение а = 4 агс 1!г С вЂ” 2и агс 1!т етС вЂ” — агс гй — „, 2 С (12а) и случай и 1 — пластина ширины я в сзободмэа струе, (рис. 12, в), для которого можно получить соотношение я=2!и — — вге!и, — е-"!и, .
(126) 1+ С 1+ еьс 1+ е-т'С 1 — 1 1 — еткс 1 — е ыс Используя формулы (12а), (126), можно показать, что по- правка на влияние стенок для коэффициента Сэ мала, если нс. ходить нз скорости на свободной линии тока, но она очень ве- лика, если исходить из скоростя вверх по течению. Так, она со- ставляет 30с[т, если (двумерный) туннель имеет ширину в 100 диаметров. В случае свободной струи эта поправка мала, и рассмотренная выше проблема не возникает. й 41. Неустойчивость течений Гельмгольца К сожалению, свободные граняцы струй и следов, рассмотренные Гельмгольцем н Кирхгофом, неустойчивы. Это было известно уже Гельмгольцу ([27), стр.
222), который заметил, что границы струй, вытекающих из духовых труб, закручиваются в виде периодических спиралей. Кроме того, наблюдения показывают, что при числах Рейнольдса Гсе ) 10' линии тока, которые отделяются от плоеной пластинки (или другого препятствия) в движущемся потоке, вскоре прекращают свое существование в турбулентной «зоне смешенияв. Вследствие этого реальный след никоим образом не представляет собой неподвижную полосу «мертвой водыв, простирающуюся в бесконечность, как полагал Кирхгоф. Реальные следы заполнены вихрями, которые наиболее активны 11 Звкеек, рвссмотревкые в $ «О, впервые были ремекы в 1890 т.
Н. Е. Жуковским 115'!. — Прклс ред. 6 4Д Неустойчивость твчвниа Гельмгольца в зоне смешения, и эти вихри непрерывно выносят жидкость вниз по течению за пределы следа. Чтобы объем жидкости, образующей след, оставался одним и тем же, необходимо, чтобы в центре следа поддержийалось обратное течение. В результате этого в потоке появляются два вихря, как это изображено на схеме рие. 13. Эти вихри поддерживаются значительным градиентом давления, они намного уменьшают давление р в кильватерной зоне позади пластинки.
Ввиду такой крайней неустойчивости в реальных следах получается значительное понижение давления: давление в ннх ро Рнс. 13. Обратное теченне а реальном следе. гораздо меньше давления р, в смежных областях. Как следствие этого найденный Кирхгофом теоретически коэффициент сопротивления Сп 0,88 меньше, чем половина действительного значения Св, которое приблизительно равно двум. Для наклонных пластинок значение подъемной силы Сь в модели Кнрхгофа занижено даже в большей меапе, особенно при углах, меньших «крктического угла» (около 15 ).
Если бы зто было не так, то полет самолета был бы крайне затруднен. Это заметил Рэлей ((121, т. 1, стр. 287, и т. П1, стр. 491) уже в !876 г. К счастью, модель Жуковского нз 9 8 является гораздо лучшим приближением действительной картины при малых углах атаки. (Кроме того, отрыв потока можно намного задержать при помощи соответствующей конструкции крыла, как уже было объяснено в % 29.) Эти факты были хорошо известны Кельвину '), который получил более важный результат; он показал, как можно количественно исследовать устойчивость прямолинейных линий тока в плоскопараллельном течении.
Очень большой интерес представляет случай горизонтальной границы в вертикальном поле силы тяжести. Граница разделяет две жидкости с плотностями р и р', которые движутся соответственно со скоростями и и й, как указано на рис, 14. Кельвин показал, что в этих условиях синусондальное возмуще- '1 Иагшв, $9 (16941, стр. $24, $49. $73; см. также Ролей (361, т.
6, стр. 39 Гл. Ш. Струи, следи и иалитааид ние граничном поверхности с длиной волны Х = 2и/» должно возрастать по экспоненциальному закону ехр (/(Х)/), где и'»', т т — т' т»' 1/())1'=(+, (» — ) — + йй —,+, (13) причем т есть натяжение на граничной поверхности, а я — ускоение силы тяжести. Его доказательство приведено в работе 7], и. 266 — 267. В случае следов, когда р= р' и т= О, очевидно, мы имеем /(Х) = 4»' — »!/2 > О. Граничная поверхность в высшей степени неустойчива, скорость нарастания возмущений с очень короткой длиной волны ке огр»к»чена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
