Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так, например, иа расстоянии в и длин волны, )»' — и)/ = л)ь 2кп/»,скорость нарастания определяется множителем е'"" в относительном движении'). Р— и— Р в с. 14. Неустойчивость по Гельмгольпу н Кельвину. Волны, вызываем ые ветром. Кельвину мы обязаны классическим применением его формулы (13) для расчета минимальной скорости ветра, требующейся для возникновения ряби на поверхности спокойной воды.
Вероятно, каждому доводилось наблюдать, что при достаточно легком бризе поверхность прудов остается зеркально гладкой. Теоретически можно показать, что для равномерно дующего ветра при обычном отношении плотности воздуха к плотности воды, равном р'/р = 0,00126, иэ ормулы (13) следует, что возмущения всех длин волн будут езразлично устойчивы тогда и только тогда, когда )»' — ») < <646 см/сек. В действительности волны возникают прн ветрах со среднейскоростью, меньшей чем Чз этой величины; простое н убедительное объяснение этого парадокса еще предстоит найти '). $42. Кавнтация Когда твердое тело движется в жидкости с большой скоростью, его след обычно заполняется газом.
Такой заполненный ') Миогве струйные течения при.р' 0 обладают еиейтрвльиой устойчи. востьюв, см. К ох Л. 1... Мотал п О. 1Ч., Яиаг» Арр/. Иа1».. 11, 4, 1954„— Прим. реб. з) 11 те е11 Р. недавна дел обзор втой звдлчв в работе 129), стр. 21б- 249; резюме иеиетормх зиспериментвльнмх двиямх см. тлм же нв стр. 249. 6 вй Кааигпкил газом след называют каверной, и решения задвчн Гельмгольца описывают обтекзняе каверны гораздо лучше, чем они описывают самый след. Естественным образом каверны возникают прн рззличиых условиях. Так, можно сфотографировать (38] заполненные воздухом каверны позади сфер, падающих в воду с высоты двух метров и больше.
Заполненные паром каверны образуются позади подводных снарядов, скорость которых превышает, скажем, 30 м/сук. Подобные каверны также обычно образуются на лопастях судовых винтов при давлении нз поверхности винта, превышающем примерно 1,5 кг/смт, и в таких случаях опасаются разрушения маленьких пузырьков, сопутствующих «возникновению кввитвциив квк причины эрозии винта.
Подобная эрозия (и по той же причине) может происходить при перегрузке гидротурбин. Парвдоксально, что «суперкзвитзционныев винты, работаю. щие при гораздо ббльших дзвлеииях и притом в болыпих кавернах, можно сконструировать твк, чтобы избежать втой эрозии. Впервые практическое значение кзвитации было отмечено примерно в 1900 г. Математический знзлиз этих явлений основан иа правдоподобном предположении, что звполненные паром каверны образуются благодаря испарению, квк только дзвленяе в жидкости падает ниже вполне определенного значения — «давление испарения> р,. Математически это эквивалентно условию р р, в каверне; р~р, в жидкости. (14) (В кавернах, заполненных воздухом, конечно, возможно р)р,.) Руководствуясь этой идеей, Тома ввел ') в 1924 г. широко применяемый в настоящее время параметр кавигации (кзвитационное число) (1бз) 'кс рп где р,— давление во внешней области.
Вскоре после этого Аккерет и другие авторы т) показали, что теория течений Гельмгольца применима к кавернам больших масштабов поведи твердых препятствий. Но в первую очередь рззвятяю теории кввитацин, какой она является в настоящее время, способствовали работы по применению подводных снарядов во время второй мировой войны. ') Тьота О., Тгапа. Р(г«1 ЦГог!4 Рамат Соп(. (1%4), т. 2. 636-661; см. тавке Та 71ог Н. В.. Моо4 у Е. Р.. З(вся.
для(лссгвгя. 44 (1922), 633-640; см. 5 72. а) л с(гег«1 Л., Тесы Мвсд ит( Тксгтояунатми ! (!930), 1 — 21 н 63-72. В 1932 г. юе! п( я впарвме прнменнл мол«ль Рвбуинвского ва к 7 к кавнтакноннмм тат«внвм. Га Ш. Струи, следы и наентанлл $43. Параметры р'/р н (е Определенные выше эмпирическим путем параметры р'/р н Я, время от времени упоминались в ннженерной литературе, но в учебниках теоретической гндродннамнкн ') отсутствовали вплоть до 1945 г. В настоящее время этн параметры дают ключ ко многому прн нсследованнн течений Гельмгольца. Например, прн помощи параметра р'/р можно объяснить, почему стационарные кавнтацнонйые течения н струи жидкостей в воздухе (т. е. двухфазные течения) опнсываются по Гельмгольцу гораздо лучше, чем следы нлн, скажем, газовые струи.
В случае скоростных торпед члены, содержащне д н 7 в формуле (!3), относительно малы. Следовательно, если р'» р, то в первом приближении получим равенство/(А)=(й!и' — и!/2) т/р'/р. Это приводит к выводу, что расстояние !и' — и!1 от точки отрыва до зоны перемешнвання, где модель Гельмгольца теряет силу прн данной длине волны Х, будет пропорцнонально р'р/р'. Для каверн, заполненных воздухом, р/р' 750, а для каверн, заполненных паром, р/р' 30 000; следовательно, в обоях случаях, согласно аналнзу Кельвнна, надо ожидать, что неустойчнвость свободных линий будет невелика. Этим теорегнческн объясняется эмпнрнческое утверждение Бетца н Петерсона з), что теория струй применима, если р'/р » !. Этн авторы основывалнсь на работе Аккерета н на более ранних работах Мизеса, проверявшего теоретнческне расчеты для струй воды в воздухе.
Напрнмер, хотя влнянне стенок, описанное в $40, не сказывается в реальных следах, для которых оно первоначально было рассчитано '), оно весьма существенно прн налнчнн реальных каверн. Практическое применение теории струй эавнснт также от второго параметра, который совпадал бы с выражением (15а), если бы условия (!4) были точными. Если предположить, ато условна (14) н уравненне Бернуллн выполняются для теоретического двухфазного течения Гельмгольца, то выражение ((ба) принимает внд (е, (ог/о,)з — 1, где о!в скорость на свободной линии тока, а о,— скорость во внешней ') См. 17), п. 73-80 п гл. ХП первого издании (8!.
Контраст с даннымв книги 121, гл. П, поразвгелев; см. также Ргос. Зечеп!Ь !п1. Сопвгевв Арр!. Месь., (лпаоп, 1948, т. 2, стр. 7-16. в! 1ляелгеиг йгсаго, 2 (198Ц, 190-2!1 Относительно данных Мизеса, подтверждаюпгнх формулы, выведенные з й 40, сы. Хеик И!1. 61 (1917), 447 — 452, 467-473 н 493-497. з! Чо(с о чгс! Ч„1папвпга( 8!ввег1ацоп, Соеввпяеп, !913. Относительно праложепва к кавитании см. В ! г Ь Ь о ! 1 О., Р 1 е в в е1 М а па $ ! ю гл о и в !4„ флаг.
Лрр(. Мо(А., 8 (1960], !6! — 168 и 9 (1962), 413 — 421, 4 за. Параметрзз р'/р и О области (аскорость свободного потоказ). Поэтому теоретический параметр кавитацин для течения Гельмгольца мы определим выражением (156) Ясно, что для идеальной жидкости из условий (И) следует Я > О. Для каверн, заполненных воздухом, эмпирический коэффициент падения давления также всегда положителен н определяется формулой рз Рз с ~1 оз (15в) где ре — давление в каверне.
Наконец, эмпирически найдено, что падение давления а следе (рв — р„), упомянутое в $41 н выраженное в безразмерной форме через коэффициент падения давления в следе (! 5г) заключено между нулем и единицей. Таким образом, за плоской пластинкой значения Я близки к единице. Принимая величину Я в качестве эмпирического параметра, теорию струй можно плодотворно применить даже к следам. Так, если ввести поправочный числовой множитель (1 + 1',1о), для того чтобы учесть наблюдаемое падение давления в следе за наклонной плоской пластинкой, то формулы теории Кнрхгофа хорошо согласуются с получаемыми на практике функциямн распределения давлений на передней поверхности ((з7), стр. 28, рис. 3) — по крайней мере если а > 15', т.
е. больше критического угла. Условие () > О, очевидно, легко отождествить в случае не- вязкой жидкости со следующим чисто кннематическнм условием, введенным в 1911 г. М. Вриллюэном (19] в связи с исследованием следов '). Ус л о в и е Б р и л л ю э н а. Скорость принимает максимальное значение иа свободной линии тока. Хотя во всех известных нам практических приложениях выполнено условие Я > О, было бы неправильным предполагать, что условие (14) строго выполняется прн любых обстоятельствах. (См. работу (!7), гл. ХУ,) ') Что условие Брвллзззиа вмвохвтев вз 4юрнул (14), указаво в работа [21, етр. ЗО сн.
также 4 45. Гл. И, Струе, алади а аааатааая й 44. ййоделн теченнй прн (е чь О В случае обтекания пластинки в канале, формула (12а). можно счнтать Я положительной велкчнной, вводя в рассмотрение скорость вверх по течению (равную единице, что достигается выбором еднннц нзмеренкя) в качестве скорости свободного потока. Прн таком условии Я и е — 1 > О н 1+ Я = и-т. Таким образом, предположение о том, что прн определении коэффициента Си нужно использовать скорость на свободной линии вЪая лииия мака иа иирмалсеиия Всь симмемрии деаделиаииаа ее яиаия та Рве, 1$. а-течеаае Рабушаиеаато; б — еезератиаа струя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
