Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Достижение успеха в этом случае будет зависеть от использования гипотез (А) — (г) из 5 1 и других подобных эвристических предположений. Однако довольно обобщений! Теперь, не связывая себя строгой программой, мы перейдем к изучению трех различных концепций гидродинамнки, чтобы получить более глубокое представление о том, какого рода соображения характеризуют существо вопроса, Мы имеем в виду теорию струй, подобие к присоединенные массы. ') Р о ! п с а ге Н., Ргос. Г)га! 1п1.
Ма!Ь Сопягсна, 79псц 1897, стр 81— 99 Подтверждения втой точки зрения си Н а г) а гп а г г) 3, ).ес!пгев оп Сансиу'в ргсыып, т'а)е Бп)т Ргеаь 1923, стр 23 н Сон ге и! ц., Ргос. Е1етеп!!г 1п!. З!и!1!. Сопхгевв, СагпьгЫКе (1/8Л), 199ц т. 2, стр 278. Глава 111 СТРУИ, СЛЕДЫ И КАВИТАЦИЯ $36. Разрывные течения При движении реальных жидкостей с малой вязкостью обычно можно заметить, что поток стремится отделиться от твердых стенок, особенно у острых углов.
Это было уже отмечено в $8, где на рис. 2, в изображено такое течение, а также в $ 29. Пяяоящаяся жсбкссвь даясящиясе жсбяссп(ь Рис. 9. а — прямая струя идеальной жидкости; б — след иояеди полу- цияиидре в идеальной жидкости. Математические модели подобных течений с отрывом можно довольно легко построить, используя уравнения движения Эйлера для неалзкой жидкости.
Основная идея состоит в том, что допускается скачкообразное изменение скорости при переходе через линию тока, что является грубым нарушением гипотезы (Е) из $1, Простые примеры таких течений схематически изображены на рис. 9. В этих течениях все линии тока параллельны друг другу, а области равномерного течения отделены от областей стоячей воды линиями тока, при переходе через которые скорость изменяется скачком. На рнс. 9,а изображена идеализированная бесконечная струя; поступаюшая в область неподвижной воды из трубы произвольного поперечного сечения, а на рис.
9, б изображен равномерный поток, отрывающийся от полуцилиндра со стороны среза и обтекающий застойный след позади этого полуцилиндра. В обоих случаях давление можно считать гидростатическим. По определению, в идеальной неви:кой жидкости усилие сдвига равно нулю; следовательно, необходимое и достаточное Е Зб. Разрывные течения условие равновесия на линии тока, являющейся линней разрыва, — это непрерывность давления при переходе через нее.
Если линия тока ограничивает идеализированный след или какую-либо другую область, заполненную неподвижной жидкостью («мертвая вода»), а сила тяжести учтена согласно теореме( из й 21, то условие непрерывности давления равносильно условию постоянства давления в рассматриваемой области. Поэтому ввиду непрерывности давления на лиш1ях тока, ограничивающих след, давление должно быть постоянным. Линии тока, на которых скорость изменяется скачком, а давление постоянно, называются свободными линиями тона. Раз л Р ос.
1О. в — круглая струя; б — след позади диска. В силу уравнения Бернулли (8«) гл. 1, если все еще прене. брегать силой тяжести, скорость остается постоянной вдоль любой свободной линии тока при стационарном течении, и наоборот: ос(в = — йр/р = О. Это дает чисто кинематическое краевое условие для стационарных течений, ограниченных свободными лнииямн. Вместе с формулами $5 оно определяет следующую краевую задачу теории потенциала. 3 а д а ч а Г е л ь м г о л ь ц а.
Для заданного препятствия 1«' найти потенциал скоростей, удовлетворяющий 1) уравнению 7тУ О вне препятствия 11 и вне области «мертвой воды» В; 2) условию дИ)да О на границах препятствия )с и области И~ и 3) условию 1ч01» = сопз1 на границе области Иь Заметим, что последнее краевое условие нелинейно. Заметим также, что топология течения осталась неопределенной; на практике ее задают исходя из интуитивных представлений илиэкспериментальных данных (гипотеза (0) из з 1). Две такие топологии течения схематически изображены на рис.
1О. На этих рисунках показаны «струя», вытекающая из круглого отверстия в плоской стене, и «след» за диском. Течения, удовлетворяющие указанным условиям 1) — 3), т.е. решения задачи Гельмгольца, в последующем мы будем называть течениями Гельмгольца. 7В Гл. П!. Струн, следы и каватацал В действительности же никто еще не сумел дать точную математическую трактовку указанных выше двух течений Гельмгольца, см. 3 49. Однако аналогичные течения для плоского случая, т.
е. струя, вытекающая из щели, и след позади плоской пластинки, можно построить довольно легко. Теория этих плоских течений Гельмгольца будет предметом исследования в $37 — 39 ') . й 37. Годографы в виде полукруга В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов Ф' = 0+ (У. Здесь У вЂ” потенциал скоростей, а У— функция тока. Комплексный потенциал ЯУ есть аналитическая функция комплексной переменной г = х + (у, характеризующей положение точки, а ее производная НФ' — =ч=и — 1п дл представляет собой сопряженное значение комплексной скоро.
дл ду сти') и+ (о ~«, где и= —, и= —. де ' дт ' Если известен потенциал Мт = 1(Ь) как комплексная анали. тическая функция Г, то, следовательно, можно определить г в виде аналитической функции от ~, т. е. г = / Г'7'(Г) Ж= ~ Г'с(Ф', (2) ') В русской литературе крннкт термин «теорин струй», в зту теорию входит изучение всех течений со свободиымн поверкностпмп, из которых дввленне постоянно. — Прим, ред. ') В русской литературе комплексной скоростью ивзыввется сама величина дю!дв и — йк — Прим.
ред. н следовательно, можно (в принципе), исключивЬ, найти Ж'(г), Итан, для определения стационарного плоского течения Гельмгольца достаточно знать функциональное соотношение яу =1(ь). Каков вид этой функции в случае плоских течений, приведенных на рис, 1О, можно догадаться по годографам рассматриваемых течений. Годографом плоского течения называется геометрическое место тех значений Ь, которые действительно достигаются в этом течении.
Из рис. 1О легко видеть, что годографы соответствующих плоских течений (если они сушествуют) должны быть полукругами. Это следует из того, что агн ~ (направление течения) — величина, постоянная на плоских пластинках (фиксиро- 79 4 д7. Годографн в виде аолукруеа ванных границах), в то время как (ь( (скорость течения) постоянна вдоль свободных границ, как показано в $36. С другой стороны, область йУ, или геометрическое место значений, принимаемых в данном течении величиной 11г, ограничена линиями (7 сопз1 (линии тока), параллельными действительной оси (7.
На рис. 10,а — это бесконечная полоса. Для случая на рис. 10, б — это полуплоскость, разрезанная вдоль положительной оси У (если выбрать постоянную интегрирования в Же= ) 1г(я так, чтобы в критической точке было йУ = 0). А п п а р а т к о н ф о р м н о г о о т о б р а ж е н и я. Пусть теперь Ф вЂ” любое течение, имеющее годографом полукруг (следовательно, ограниченное свободными линиями тока и прямолинейными стенками).
Мы можем так выбрать оси координат, что величина ь будет принимать действительные значения на неподвижной границе, и так выбрать единицы измерения, что на свободной границе будет 1Ь1 = 1. Затем с помощью преобразования о = (Ь + ь ')/2 отобразим область годографа на нижнюю полу- плоскость 1т(а) < О. Конформное преобразование наиболее общего вида, отображающее область годографа на нижнюю полу- плоскость, задается формулой аг+Ь а(йл+1)+2ой т=,+, — „,,+11+ —,„—,, и(> Ьс, (3) где а, Ь, с, л( — действительные числа.
С другой стороны, область 1»о любого односвязного течения, ограниченного линиями тока, есть обобщенный «многоугольник», одна или болыпее число вершин которого расположены на бесконечности и все стороны которого параллельны действи. тельной оси. Следовательно, можно отобразить область Т, определяемую соотношением (3), на область )Уг при помощи подходящего (конформного) преобразования Шварца — Кристоффеля: СП (т — В71 Й (г — г»1 ' (4) где С и Вь Ти — действительные параметры ((4), стр.
370). Мы видим, что для любого односвязного течения Ф, у которого область годографа есть полукруг, можно записать йу в виде ~ А(й)Ж, используя формулы (3) и (4), где А(ь) — рациональная функция, Рассмотренный выше метод можно легко обобщить на случай, когда область годографа есть круговой сектор с углом, Гл. Ш. Струи. саади и кааитаиия при вершине равным к/и ((171), гл. И). В этом случае преобразование Ья отображает область годографа на полукруг и, следовательно. соотношение а ((ЯЯ+ 1) + 2Э(Я Т (("+1)+2и(" представляет собой отображение области годографа на полуплоскость. А дальше мы действуем, как в предыдущем случае.
$38. Истечение струн нз щели Гельмгольц 127) первый применил в 1868 г. описанный выше аппарат к случаю плоской струи, вытекающей из щели, см. рис. 11, и. В этом случае, выбрав единицу длины так, чтобы скачок т' яри переходе через отверстие был равен к, мы можем в формулах $37 положить ЯУ =!пТ, Т = етт, 6"ту(г(Т = )7Т. О 5 юввювв~ ~ и в Рис. 11.
Плоская струя, вытекающая ия щели. Для выбора величин а, Ь, с, б рассмотрим зависимость между ь и ((у в физической плоскости. Очевидно, что предел Ь О в области годографа на рис. 11„б достигается тогда, когда ЯУ вЂ” оо в области ЯУ на рис. 11. в или, что эквивалентно, когда Т = О. Из этого следует а = О в формуле (3). С точностью до подобия мы можем теперь написать равенства Т= ( — 2сс+, ' (Р =(п Т, С= — Ф(с. (5) Точка струи, лежащая на бесконечности, где йг = + оо, оче- видно, соответствует значению Ь = е", (ь + ь ')/2 = о = С = 81 й Зз.
схема обтекания Кияяеофа сова. Следовательно, уравнения (2) и (5) определяют струю, вытекающую из тт(ели в бесконечной пластинке и образующую с этой пластинкой угол а. Так как подинтегральное выражение в формуле (2) представляет собой рациональную функцию, мы можем произвести интегрирование в замкнутом виде и получим, учитывая равенства (5), следующее соотношение: Ж'= 1п ! — 1п ((Р— 2С(. + 1); (6) й 39. Схема обтекания Кнрхгофа В !869 г. Кирхгоф (31) выполнил аналогичные расчеты для следа позади пластинки. В этом случае преобразование В' - Т' отображает нижнюю полуплоскость на плоскость с разрезом, являющуюся областью я)т; таким образом, К(Т) 2Т в формуле (4), если направить действительную ось вдоль пластинки. Для того чтобы определить постоянные о, Ь, с, Ы в формуле (3), мы снова рассмотрим зависимость между Я7 н Ь в физической плоскости. Точка (Р О, в которой начинается разрез, соответствует критической точке течения, в которой ~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
