Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В диапазоне чисел Рейнольдса 50 < гче ( 500 эта зона содержит чередующиеся вихри противоположных знаков (вихревая дорожка Бенара — Кармана); это явление будет проанализировано в 9 56. На первый взгляд может показаться, что подобные примеры противоречат метафизическому принципу Лейбница достаточного основания '), а именно нашей гипотезе (С). Более глубокий подход состоит в том, что, хотя симметричные причины обусловливают симметричные явления, почти симметричные причины не обязательно г!риводяг к почти симметричным явлениям: симметричная задача может не иметь ни одного устойчивого симметричного решения.
Такая возможность и является действительным источником «парадоксов симметрии» (наблюдаемых нар шений гипотезы (С) из 9 1). алее отметим, что проанализировать устойчивость решения гораздо труднее, чем получить само решение, поэтому почти наверняка решения будут получаться задолго до того, как будет устаноглена их неустойчивость. В силу этого можно предвидеть, что и н будущем поток парадоксов симметрии не прекратится.
й 27. Теория пограничного слоя Фундаментальный вопрос механики жидкостей состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между решениями уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости и решениями уравнений Навье — Стокса для жидкостей с исчезающе малой вязкостью. Математически речь идет об асимптотическом поведении решений системы (3), (4) при (ь- 0 (т. е. при гче- + сю). Поскольку обычно для кораблей и самолетов числа Рейнольдса лежат в интервале 1Оа — 1Оэ, то для того же интервала огромное практическое значение имеет задача расчета лобового сопротивления.
'] См. (Ч ! а! Н. апб Рог(ег А. Ц/., РЬи. Мак., 46 (1923), 754; [171, стр 294; 5 а 1 1т а и Р. 3., Ь Р/аЫ Месй., 1 (1955), 249 †2. «) Современную формулировку этого принципа пал В ! г(«но(1 Сь Р., /(/се /аа/ии/е Ратрые/, 28 (!94!), № 1, 24 — 50; Сопес1еб Рарегэ, т. 3, стр. 778 — 804. Любопытно, что формальные системы математической логики игнорируют этот принцип, применимость которого к физике была аамеченз н 1894 г. Пьером Кюри («Оенчгеа 5с!епш!Чцеан Раиэ, 1908, особенно стр 119 — 215). 61 9' П. Теорня пограничного слоя Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче ие применима, так как член, учитывающий вязкость ««ап, вуравненни (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости « относительно значения « = 0 есть сингулярное возмуи(ение '). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка.
Такимобразом, пренебрежение членами высшего порядка ведет кстиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как гу" + у = О, с краевыми условиями у(0) = а, у(1) = Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли в-н + 0 или в — О. Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихреиность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела.
Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера. Для собственно пограничного слоя Прандтльа) построил модель, согласно которой некоторые члены в уравнениях отбрасываются. Для двумерного потока он получил (пренебрегая силой тяжести) уравнение дт + и д + тт д + Р (х) = д ' ' Р Р (х) (!4) ди ди ди 1, даи дх ду р дуа ' плюс обычное условие несжимаелюсти (4) ди/дх+ до/ду = О. Уравнение (14) — уравнение параболического типа, и его можно интегрировать численно, пока и > О, с учетом краевых условий и(х, 0) = о(х, 0) = 0 на неподвижной стенке и и(х, оо) = и (х) вне пограничного слоя, причем предполагается, что и (х) выражено через давление по уравнению Бернулли: риа/2+Р(х)=сопв1. Предполагается также, что в первой же точке, в которой и(х, у) < 0 при положительном у, происходит отрыв потока ').
Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14); вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано ') Это поачеркнваан Оаееп ([9й стр. 211) и вр. ) Ргос. Тыгд !п(. Ма[к. Сопягеаа Не(бе!всгя (1904), стр. 484 — 491, перепечатано в (37]. а) Попсе подробна тч. в [3], гл. 1«'; вян в [431. стр 94 — 99 н 222 — 224, Гл. 11. Пароооксы вязкого теченья Мизесом '). Однако многие результаты теории еще далеко не ясны.
Кроме неразъясненной сингулярпости у передней кромки, к ним относится также следующий парадокс. Парадокс пограничного слоя. Теоретически при выводе уравнения (14) предполагается, что отношение 51х голи(ины пограничного слоя 5 к длине х стремится к нулю. Экспериментально ясе показано, что если 5/х (0,01, то пограничный слой становится турбу.ггнгным и уравнение (14) не удовлетворяется т). Например, пограничный слой остается ламннарным вдоль корпуса корабля и вдоль крыльев самолета во время полета всего на расстоянии нескольких сантиметров! Эту турбулентность пограничного слоя можно связать, как мы сейчас увидим, с турбулентностью в трубах, 9 28. Парадоксы Эйфеля и Дюбуа Представление о том, что сопротивление снаряда Р должно быть плавно возрастающей функцией скорости снаряда и, весьма старо.
Так, во многих учебниках можно найти «доказательства» (с помощью анализа размерностей, см. 9 б!) того, чтосопротивление Р должно быть пропорционально о при малых скоростях и пропорционально вепри больших скоростях. Поэтому в высшей степени удивительным показался открытый в 1912 г. Констанци и Эйфелем ') следующий парадокс. Парадокс Эйфеля. При числах Рейнольдса, близких к критическому числу [(еьр ! 50 000, сопротивление сферы фактически убывает с возрастанием скорости.
Два года спустя Прандтль показал, что это падение сопротивления зависит от возникновения турбулентности в «пограничном слое» около сферы и эта турбулентность может быть вызвана путем увеличения шероховатости сферы или же при помощи дополнительной турбулизации потока. Действительно, ') ЛАММ, 7 (!927), 425 †4 Эвристическое нсследованке сннгулярностн для течения вблнзн передней кромки плоской пластинка см, С а г г ! е г С. Р., е ! и с.
с., Сдпг, Арр!, могй., а (!945), 63 — 66. т) Ср. [431, стр. 32 — 33. Другие трудностн, возннкаюшне прн наивном прнмененнв тесрнн, упомянуты там на стр. ! 10 — 112. По поводч дальнейших затруднеьчй см. также 5 ! е тч а г ! кои К., 1, Мо!Ь. Рйуз.. М!Т. 36 (!957), 173 — 191. а) Е! ! ! е ! С., Согнргеа )7«поит, !5о (!92!), !597 — !599.
Обьясненне Прандтля см. в [1!1, т. 2, и. 63, нлн Со!!. Хасйг, Ма!!ь.рйуа, К1. (1914), ! 77 — 190, 4 й!. Рггу.юроаачпс погроппчного слоя можно связать число Реке -.160000 парадокса Эйфеля с йекр — 1700 для турбулентности в трубах посредством сопоставле11ия толщины лалщнарного пограничного слоя о диаметру трубы й. Если Ке = и х/» есть число Рейнольдса основного течения на расстоянии х от передней кромки, то из уравнения (14) следует й(х) 4 рг»х/и .
и тогда число Рейнольдса для пограничного слоя определяется выражением йег =и Я» 4 р'и х/». Отсюда о/х 4/ргйе. а число Рейнольдса из парадокса Эйфеля Ке„р = 150000 приближенно соответствует числу Вез 4 )ггйе„р — 1600, что вполне согласуется с Кеар для турбулентности в трубах. Это открытие объясняет также следующий более старый парадокс.
П а р а д о к с Д ю б у а. Сопротивление палки, которую удерживают неподвижно в потоке, имеющем скорость о, обычно меньше, чем сопротивление той же палки, которую тянут с той же скоростью о в стоячей воде. Этот парадокс особенно интересен потому, что на первый взгляд кажется, будто он противоречит основному принципу механики Ньютона — инвариантиости всех законов при переходе к равномерно н поступательно движущимся осям координат. Вероятно, потому что Леонардо да Винчи ') признавал этот принцип, он утверждал равносильность двух указанных выше случаев — хотя это сразу опровергается наблюдением.
В настоящее время объяснение парадокса Дюбуа считается известным. Потоки жидкости всегда более или менее турбулеитны; это приводит к понижению сопротивления по той же (не объясненной математически) причине, по которой понижается сопротивление прн обтекании сферы, как было показано Прандтлем. Выражаясь современным языком, свободная турбулентность потока вызывает переход к турбулентному движению в пограничном слое.
Это в свою очередь задерживает отрыв потока, сужая таким образом «след» и уменьшая связанное с этим лобовое сопротивление. $29. Регулирование пограничного слоя Первоначально (см. прим. 1) на стр. 61) Прандтль считал свою теорию пограничного слоя мостом, связывающим классическую теоретическую гидродинамику и динамику реальных 1) МасСп го у Е, ТЬс Ио1еьоокз о1 1.еопагоо па Ип«1, Ые»г уоНс, 1941. стр. воз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
