Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 8
Текст из файла (страница 8)
!па!. Тесйпо1ояу (1947), особенно стр, ХЧ1, ХЧП. Экспернментальиые данные приводят Н о)1 М. н В) а с1г1е Д, /. Аег. Юс(., 23 (195б), 931 — 938. е) По.внднмому, впервые зто показал Е12Ь ! Ь! !1 М. Д, )гера. Мега. Аег. )7ез. Солил., МОЗ (1945); см. также Вгобег!ск Л. В., сгУя(А8(, 2 (1949), 98-120 н [101, стр. 307. з) У гее!! Е. апд Магд 6. )Ч., ОЛИАД(, 3 (1950), 328 — 348; Оо)да(е(п $, Ргос. 1и!. Майи Сопягева, СатЬг(ряс, 1950, т.
2. особенно стр. 288 — 289: А 4 а в з М. С., 5 е а г з %. П., I. Ае . Ясд, 20 (1953), 85 — 98 37 6 72. Парадокс Эрчшоу в случае закругленных тел вращения, таких как сфера, линеаризованная краевая задача, определяемая посредством уравнений (14») и (15'), дает несуществующие особенности в критических точках (т. е. на оси симметрии). Но самый существенный дефект теории «тонкого крыла» заключается в том, что она не в состоянии предсказать существование ударных волн. Ударные волны легко наблюдаются в виде четких линий на мгновенных фотографиях движения снарядов, таких, как снимок, изображенный на фронтисписе.
В случае конусов и других остроконечных тел при достаточно больших числах Маха эти волны «присоединены» к вершине подобно характеристикам решений линейных гиперболических дифференциальных уравнений. В других же случаях онн «отходят» от вершины и оказываются при атом впереди снаряда — там, где по линеаризованной теории не должно быть никакого возмущения. й 12. Парадокс Эрншоу Понятие «ударной волны» можно также вывести теоретически, отправляясь от простого парадокса, которым мы обязаны Эрншоу '). Наш орган слуха свидетельствует, что звук проходит большие расстояния почти без искажений и с постоянной скоростью, зависящей от температуры воздуха. Этот опытный факт делает правдоподобным предположение, что плоские звуковые волны распространяются в идеальном невязком газе, не искажаясь и не затухая.
Однако зто не так, что показывает парадокс Эрншоу. П а р а до кс Э р н ш о у. При адиабагических колебаниях газа плоские звуковвге стационарные волны конечной амплитуды магелшгически невозможно!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что форма звуковых волн неизменна и что волны распространяются с постоянной скоростью, нормальной к волновому фронту. Тогда, если мы перейдем к осям координат, движущимся вместе с волнами, то увидим, что движение жидкости не только одномерно, по и стационарно.
Выбрав в качестве направления движения ось х, мы можем написать р = р(х), и = и(х) и т. д., и (без учета силы тяжести) уравнение Бернулли (8) сведется к аиду иди + ар)р = О. КРоме того, уравнение неразрывности (1) перейдет в равенство ') Е а г п»Ь а то 5, РЫ!. Ггоо«. 150 1!850], 133 — 148; си. также 51о"ек РЫ!. Мох., ЗЗ !1848). 349; к а и )г) п е %, Х М., РМ!. Тгапк, 16011870). 161, $51. 277: (12), т. 5, 573 (ноя Ргос. йоу. $ос, А84 (1910', 274 — 264); [71, 6 283; Гя. Д Парадоксы невязкого течения ри = сопз( = С, или и = С/р.
Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем уравнение се ар др С др — + — =О. или с/Р= Р* Р Р (17) Следовательно, подобное волновое движение возможно только в случае„если жидкость удовлетворяет уравнению состояния (3) частного вида: се Р =Ро (18) Р Но нам не известен ни один газ, для которого адиабатическое ') уравнение состояния имело бы такой вид. $13. Возникновение ударной волны Р= Ь '( — ) =//(о)=// —. (19) Следовательно, если не учитывать силу тяжести, то формулы (1) — (3) эквивалентны уравнению дех, дх дех — = — О' —— дге да да' (2О) ') действительно, если принять (16), то получим Птр/дрт(0, что противоречит второму началу термодинамики, Как и многие другие парадоксы, парадокс Эрншоу содержит в себе зерно существенной истины.
Прн более тщательном исследовании соответствующих уравнений можно установить, что для адиабатического течения газа более плотные части волны конечной амплитуды нагоняют менее плотные и в конечном счете перегоняют их. Показывается это следующим образом. Пусть и обозначает всю массу жидкости слева от данной точки, так что х(а, Г) представляет собой положение частицы а дх 1 в момент времени /, а — есть удельный объем о = —. Тогда ди 11/О/ из 9 3 заменяется на (д/д/)„(дх/д/) = и и (дех/дс/в), есть субстанциональное ускорение; здесь индекс а означает, что величина а остается постоянной. Уравнение неразрывности ( Г) удовлетворяется автоматически, поскольку Рр/0/ = †ред/деда и д!чи = рд'х/додй Кроме того, можно использовать уравнение состояния (3), для того чтобы исключить р посредством соот- ношения 39 б !4. Термодинамика нгалзкиг зсидкосгей Пуассон открыл важный класс решений уравнения (20), задаваемый формулой и = С (х — (с + а) /), (20') где С(г) — произвольная функция.
Эти решения были названы простыми волнами ((6), стр. 92); они характеризуются свойством: и= ~ с(о)г/%, где с' = гтр/ггр = — огг/р/г/о есть квадрат г скорости звука, которая является функцией удельного объема о. Как показал Адамар, любая плоская волна, только с одной стороны вступаюшая в жидкую среду (обычную жидкость или газ), в начальный момент находяшуюся в состоянии покоя, должна быть простой волной.
Так как и = ~ с(о)г/о/о, то формула (20*) дает функциональное соотношение между и н о, а следовательно, и между и и с. Делая снова подстановку в (20'), при р = Йр т (т ) 1), легко показать, что более плотные части газа нагоняют менее плотные ([61, стр. 96), причем с постоянной скоростью. Следовательно, в течение конечного промежутка времени неизбежно возникает разрыв плотности или «ударная волна», что находится в самом явном противоречии с гипотезой (Е) из 9 1. $14.
Термодинамика невязких жидкостей Для того чтобы объяснить явление ударной волны, необходимо привлечь некоторые важные термодинамические понятия '); одних механических концепций для этого недостаточно. Так, например, необходимо рассматривать внутреннюю энергию жидкости Е(р, Т) даже тогда, когда ее можно исключить из окончательных уравнений, как в случае адиабатического течения. Эта 'величина входит в закон сохранения энергии согласно формуле г/гс' = г/и + Р г/)г. (21) Здесь рг/)/ есть дифференциал работы при отсутствии внешних сил.
Совергиеипый газ можно определить посредством уравнений Эйлера, термодинамнческого уравнения состояния р = р/т'Т, где ') Превосходное изложеиие териодииаиики сжимаемых жидкостеа си. а 1191 или Л и им а и Г. В., Рою ко А., Элементы газовое дииаыики, М,, ИЛ, 19бо. (На русском из.: Зол ьдоаич Я Б., Теории ударных воли и введение а газодииаыику, М., изд, АН СССР, 194б; 3 а у эр Р., Введение в газовую дииаиику, М, Гостехизлат, !947. — Прим. игрек.) Гя.
!. Парадоксы невявкоео течения /т — газовая постоянная, и формулы для внутренней энергии Е = = СтТ, где Со — еще одна постоянная (удельная теплоемкость при постоянном объеме). Для изотермического течения Т = сопз1 и из соотношения р = р/(Т следует формула (За) при т = 1. В случае адиабатического течения предполагается, что теплота переносится только посредством конвекции (нет ни теплопроводности, ни излучения); при этом имеем с((г = 0 в формуле (21).
Для единичной 11 массы ~так что е'= — т1 имеем тогда рр - /(Т и Е = СоТ = = (СгЯ)рК Тогда формула (21) дает в результате уравнение О=дЕ+р И =(С,/я)1 /Р+(1+С,/Врд(. Полагая 1 = (!(+ С1)/С1, получаем соотношение с(р/р = = †(Ю~ = тс(р/р, из которого следует чполитропное» уравнение состояния (За):р = крт. Соверисеннцю жидкость можно определить посредством уравнений Эйлера и условия несжимаемости У = сопя( (уравнение (Зб)).
Уравнения Ран кина — Гюгонио. Используя законы сохранения массы, количества движения и энергии, можно также найти соотношение между значениями давления, плотности и температуры рь рь Т| перед ударной волной и значениями тех же величин рь йь Т, за ударной волной. Например, для совершенного газа эти величины зависят только от одного параметра — отношения давлений Р = ра/р! или интенсивности скачка Р— 1. Тогдг получим (110), стр. 30) следующие равенства; йе Р+р т — 1 Г1 'еР+1' г т+1 ' 1 (т+ 1) (Р— 1) с=с, 1+ — ~+ 2 Парадокс обратимости, в силу которого можно было бы поменять местами индексы 1 и 2 в предшествующих формулах и принять Р < 1, можно избежать, если привлечь второе начало термодинамики. (В $ 13 принцип, согласно которому более плотные части баротропных течений нагоняют менее плотные, приводит к такому же заключению.
Это следует из неравенства т = (/к + Сг)/Ст ) 1, которое в свою очередь следует нз положительности величин Я и Сг в силу физических соображений.) Соотношения для косых ударных волн можно легко вывести из соотношений для нормальных скачков уплотнения, используя подвпжные оси 5 67), 9'!5. Буруна и бари $ !б. Буруны и боры Между длинными безвихревылш гравитационными волнами в жидкости постоянной малой глубины и волнами сжатия в адиабатическом газе при 7 = 2 существует замечательная аналогия.
Длинные гравитационные волны бесконечно малой амплитуды распространяются с постоянной скоростью с = ~/дИ без изменения своей формы, совсем как при линеаризованном приближении сверхзвукового течения в 9 10. Длинные гравитационные волны конечной амплитуды распространяются со скоростью г' Кй, которая возрастает с увеличением местной высоты волны. Следовательно, гребень всякой длинной волны на мелководье нагоняет впадину так, как это описано в 9 13. Наклон фронта волны постепенно становится все круче, пока он не станет вертикальным, и волна, наконец, «обрушивается» под собственной тяжестью. Рэлей ') использовал эту аналогию, чтобы качественно объяснить превращение в «боры» приливных волн при нх распространении в устьях рек.
Подобные «боры» получаются чаще всего в постепенно сужающихся устьях со ступенчатым дном: относительная высота приливных волн увеличивается вследствие получающейся концентрации всей энергии волны в меньшем поперечном сечении и на меньшей длине волны [равной произведению (12 часов) Р дЦ Нового математического успеха удалось добиться благодаря замечанию Рябушинского см. прим. !) на этой стр.), который указал, что формула с = д(И + у), где у — локальная высота волны, соответствует выбору 7 = 2 в соотношении (За).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
