Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если принять правдоподобную гипотезу (Е) из $ ! (игнорируя молекулярную структуру вещества!), то легко показать, что закон сохранения массы эквивалентен следующему уравнению ') См. Пой а Д., Математика н правдоподобные рассуждения, ИЛ, М.. 1957. Парадоксы возникают даже в чистой математнхе; см. Х о г! Ь гор Е. Р., ПЫ6)еа Гн Ма)ьешапск Чап Моа)гапб, 1944. ') Этим термином автор пользуется в более широком смысле, чем ато обычно принято, применяя его для поля массовых (или объемных) сил.— Прим. перев. й 8.

Ураанелил Эйлера в частных производных: 6)т(рп)+ — у 0 (уравнение неразрывности). (ц Если обозначить «субстанциональнуюа производную по времени для наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью, через Р/Ру д/д/+ Еиад/дка, то можно переписать (1) в виде — ~+рб)чп=О. Ву 0у Случаю несдсимаемосги соответствует Рр/Р/ = О, и, следовательно, 6(ч и = О. При и = О, когда жидкость находится в состоянии покоя, напряжение в жидкости на любой элемент поверхности дей.- ствует по нормали к нему. Это — физическое определение жидкости; экспериментально проверено, что ему удовлетворяют многие реальные вещества. Эйлер предположил, что этот закон гидростатики применим также к движущимся жидкостям, т.

е. в гидродинамике. Этот закон приближенно удовлетворяется во многих случаях движения жидкостей (исключая области вблизи границы). Например, изменение скорости на 50 м/свк в слое воздуха толщиной в четверть миллиметра вызывает усилие сдвига, составляющее примерно 1/2000 атмосферного давления ((3), стр. 2). Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими ').

Как показал Коши, напряжение в иевязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным); получающаяся скалярная функция р(х, г) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравиенню в частных производных: — + — йтаб р д (уравнение движения). елв 1 РУ р (2) Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений в частных производных, в которой все производные но времени могут быть выражены через производные ло пространственным координатам т), к уравнениям (1), (2) нужно добавить еще одно соотношение. В теоретической механике однородных иевязких ') В соответствии с твпотеаоа (В) иэ $ ! воадух и волу можно рассматрявать как кеааакие жидкости. а) Так, что начальные условия будут определять задачу Коши в оаычиом математическом смысле.

Гл, I. Парадоксы кеаязкого течения жидкостей обычно вводится соотношение, связывающее плотность и давление: й =й(Р) (уравнение состояния). (3) Баротропные течения. Невязкие жидкости, удовлетворяющие условию (3), могут быть названы баротропными, а движения жидкости, удовлетворяющие уравнениям (1) — (3),— «баротропными течениями».

Эти течения встречаются в (приближенно) однородных жидкостях при условиях, которые являются термодинамически обратимыми. (Под «однородной жидкостью» мы понимаем жидкость, имеющую однородное строение, например чистую воду или воздух.) Именно такие жидкости обычно рассматриваются в акустике и в аэродинамике больших скоростей. Быстрое сжатие и расширение — типичные адиабатические процессы ') в том смысле, что можно пренебречь теплопроводностью. Кроме того, пренебрежение теплопроводностью логически не противоречит пренебрежению вязкостью в уравнении (2), поскольку как теплопроводность, так и вязкость представляют собой молекулярные явления.

В случае идеального газа с термодинамическим уравнением состояния р = РЙТ и постоянным отношением теплоемкостей Ср/С, = 7 элементарные рассуждения дают для адиабатического течения соотношение ййт (За) — так называемое полптропное уравнение состояния для идеального термодинамически совершенного газа. Предельный случай 7 = 1 соответствует нзотермическому течению (бесконечная теплоемкость или в бесконечном изотермическом резервуаре бесконечная проводимость). Уравнение (За) достаточно точно для многих задач газовой динамики; для воздуха т = 1,4. Однако для жидкостей уравнение (3) необходимо брать (приближенно) в виде (р — р») = йрт, где Р„есть давление паров при кавитации (см. $42).

Соотношение вида (3) является также приемлемым для жидкостей, которые только незначительно сжимаемы [т. е, при ско- ') Напомним, что Ньютон («Рмпс!р[в Мащегпа!гса», Книга И, отдел 8, предложение 48; русский перевод — в «Собрании трудов А. Н.

Крылова», т. Ч![, М вЂ” Л., [936; см. там же, с~р. 480) ярняк»1ал для изотермического течения закон Бойля, что привело к неправильному выводу скорости звука. Ошибка Ньютона была исправлена Лапласом [[71, стр. 477; в русском издании стр. 596; см. также указанный том «Собрания трудов А. Н. Крылова», стр. 485, прим. [75). 21 р 4. Потенциал скорости ростях гораздо меньших скорости звука, особенно в обычных жидкостях). В этом случае можно просто писать Р=РО (Зб) и говорить об однородной несжимаемой невязкой жидкосггг.

Однако в этом случае уже нельзя выразить все производные по времени через производные по пространственным координатам. % 4. Потенциал скорости Основные уравнения Эйлера (!) — (3) позволяют получить различные фундаментальные следствия, имеющие много важных приложений. Самым существенным следствием является теорема Гельмгольца, справедливая для баротропного течения в консервативных гравитационных полях (т. е, при и = — т 6). Эта теорема 1(7), стр. 54; (1«) ') ), т. 1, стр. 149) утверждает инвариантность циркуляции Г =у издха по любому замкнутому контуру, даик т жущемуся вместе с жидкостью, т.

е. во всякий момент времени состоящему из одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, если в начальный момент жидкость находится в покое (например, вытекает из неподвижного резервуара) и если контур остается все время замкнутым, то циркуляция всегда должна равняться нулю. Это значит, что должен существовать локально однозначный скалярный потенциал скорости У(х, 1), т. е. такая скалярная функция точки, что и (х, г) = Иl = пгаб У. (4) Течения, обладающие таким свойством, называются (локально) безвихревыми'). Следовательно, в односвлзной области, такой, как область вне некоторого твердого тела в пространстве или половина симметричной области вне кругового цнлиндра,на плоскости, скорость У должна быть однозначной функцией во всей области.

В случае баротропных течений при отсутствии внешних гравитационных снл для безвихревого движения 1т. е. если выполняется уравнение (4)) можно получить интеграл уравнений движения, так называемое уравнение Бернулли Чиуи —, р=й(р). вр 1 дУ 2 (4') г) Звездочка обозначает ссылку на дополнительную литературу, — Прил.

ред. 'зъ ) В русской литературе чаше используется термин «потенциальные тс чеиияз. — Прилг перев, Гх 1. Парадоксы нееяекого течения Действительно, уравнения движения (без гравитационного слагаемого) представляют собой в точности градиент соотношения (4'). Несж им а ем ы е те ч е ни я. В случае однородных несжимаемых жидкостей можно обобщить уравнение Бернулли (4') так, чтобы учитывался эффект гравитации. Действительно„для безвихревых несжимаемых течений градиент соотношения р=РЯ вЂ” р,~ — ПУЧУ-' — + 6~ (5) эквивалентен уравнениям движения с гравитационным членом.

Более того, в этом случае уравнение (! ) сводится к виду б(ч и О, откуда получаем уравнение Наконец, очевидно, что на любой непроницаемой твердой границе производная — „=Р(х, г') дйс (7) определяется нормальной скоростью движения этой границы. Для однозначных во всей области функций (7(х) уравнения (6) и (7) представляют классическую задачу теории потенциала, так называемую задачу Неймана.

Как мы увидим в $ 5 и гл. Ъ'1; эта задача имеет большое значение для теоретической гидродинамнки. Но прежде отметим, что здесь подразумевается выполненной гипотеза (Р) из $1: предполагается, что задача Неймана должна иметь одно и только одно однозначное решение У(х, с) для разумным образом определенных границ. Примечательно, что для строгого доказательства этого математического предположения, возникшего из гидродинамических рассмотрений, потребовалось более чем 50 лет. В настоящее время это основная теорема обшей теории потенциала ([4), р.

5 10 — 511; (й*)). Эта теорема показывает, что если несжимаемая невязкая жидкость в начальный момент находится в состоянии покоя, то поле скоростей в любой момент времени зависит только от мгновенной скорости границы и ие зависит от предшествующих состояний. Приведенные теоремы показывают также, что движение любой части границы мгновенно оказывает воздействие иа весь обьем жидкости: скорость сигнала равна бесконечности (это согласуется и с физической интуицией). а 6, Стационарные деееинреене тененин 223 $ $. Стационарные безвихревые течения н т. д.

— для осей координат, жестко связанных с телом, относительно которых жидкость движется с постоянной скоростью а. Ясно, что такие правдоподобные выводы основаны на гипотезе (В) $!. Если исходить нз этих правдоподобных заключений, то далее можно действовать следующим образом. Для стационарных течений при У = У(х) уравнение движения (2) после однократного интегрирования по пространственным координатам становится эквивалентным уравнению ') --УУУУ+ ~ +6 = —, или ~1и,ди,+ — „+е(6=0, (8) Это уравнение называется уравнением Бернулли для стационарного течения; в случае несжимаемой жидкости оно принимает известный простой вид: Р=р,— р,( — тУтУ+6), /1 (8') Подобным образом условие того, что скорость тела относительно жидкости на бесконечности равна — а, может быть записано в виде Вш йтаб У=а (9) и для несжимаемого, и для сжимаемого течения. Наконец, поскольку течение стационарно, то должны быть стационарны и границы течения.

Отсюда условие непроницаемости (7) сводится к условию дгг — „=О на границе. (7*) ') Если спрвведппво соотпоптепве (За), то ~ иР1т тР1(1 1) Р ее1(1 — 1). Случай стационарных (нли установившихся) течений, когда и = п(х), очевидно, имеет особое значение. Исходя из результатов $4, гидродинамики Х1Х века считали правдоподобным, что для твердого тела, проходящего с постоянной скоростью достаточно большое по сравнению с его размерами расстояние в неограниченном объеме жидкости, вязкость которой достаточно мала н которая первоначально находилась в покое, можно написать равенства: У=У(х), р=р(х), д=д(х), Гл У.

Парадоксы неелзкого течении (9 ) где Х вЂ” фУнкциЯ, обРатнал фУшсции 2Ре/Ре — 2 ~ 4'/Ь'(/т)Р«т). С другой стороны, из уравнения (1) при др/д1 = 0 следует р ' б1у (рц) = О, или рэц 1 дб' дУ да// сэ дху дха дхудхе ' (10) Другая форма уравнения (10) имеет вид -ч и/на дЧ7 уэ(/=М ~„—,, — —, (10«~ где локальное «чнсло Маха» М = с//с есть отношение локальной скорости течения с/ к локальной скорости звука с, а все коэффициенты изин/с/э меньше или равны 1. Подставив в уравнение (10) выражение для 1/с', взятое из формулы (9«), мы получим ((10), стр. 240) уравнение ~'/=~(~(/'~'/) Х дх д.

Характеристики

Список файлов учебной работы