Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Хотя этот идеал пока еще не достигнут, он явился стимулом для многих важных работ (см. $29). Наконец, из парадокса обратимости следует возможность того, что область «мертвого» воздуха, или «след», может образоваться впереди цилиндра. Наличие такой области сделало бы возможным обтекание конечного цилиндра таким же потоком, как и известное обтекание Тейлора — Маккола ($85) для конического снаряда. Такое течение характеризуется тем, что на боковой поверхности конуса всюду постоянное давление. Согласно теории «следов» (гл.
1Н), твердый конус можно было бы, не нарушая равновесия, заменить идеальным невязким воздухом при постоянном избыточном давлении. Математически это означает, что в идеальной жидкости возможно обтекание плоского диска сверхзвуковым потоком, при котором невидимый конический воздушный барьер защищает диск от давления воздуха, намного уменьшая лобовое сопротивление. Здравый смысл и интуиция немедленно отвергают возможность подобного течения как до нелепости неустойчивого. Логическая основа здесь такая же, как и в том случае, когда отвергают возможность существования «следа» в области вверх по течению.
Кажется в высшей степени правдоподобным, что наличие препятствия дает себя знать лишь в области, расположенной вниз по течению '). И все же в данном случае, по-видимому, скорее ошибается здравый смысл, чем математический вывод! Снимки, сделанные в Абердинской научно-исследовательской баллистической лаборатории (см. фронтиспис), показывают, что очень тонкая игла, помещенная перед диском, действительно способна создать нечто вроде подобного «абсурдного» течения. Ввиду этого и других примеров мы считаем, что у матема. тиков нет оснований думать, будто в гидродинамике снижается значение дедукции (при сопоставлении ее с «физическими выводами»), если учитываются те гидродинамические парадоксы, которые выявились в эксперименте.
') Те же самые интуитивные догадки были использованы в $ !О, чтобы выделить более предпочтительное «проетое обтекание» тонкого крыла. Глава ]! ПАРАДОКСЫ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ $ 19. Уравнения Навье — Стокса Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера — Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье — Стокса, вывод которых лты сейчас кратко изложим. Впервые эти уравнения были выведены Навье (1822 г.) и Пуассоном (1829 г.), применившимч упрощенную молекулярную модель для газов, что привело к введению положительной вязкости р > О, которая, как предполагалось, описывает молекулярную диффузию количества движения. Однако в настоящее время общепризнано, что простые законы для межмолекулярных сил, принятые обоими учеными, безнадежно не соответствуют действительности, особенно в случае реальных жидкостей.
Поэтому принципиально более предпочтительным в настоящее время считается континуальный подход Сен-Венана (1843 г.) и Стокса (1848 г.), который позволяет избежать указанных предположений '). Мы начнем с изложения этого континуального (нли <макроскопического») подхода. Такой подход основан на фундаментальной гипотезе, заключающейся в том, что к напряжениям давления, которые рассматривал Эйлер, нужно добавить вязкие напряжения, линейно зависящие от скоростей дефорлтаг(ий.
Ниже приводится краткое резюме применяемых при этом аргументов. Задача заключается в том, чтобы найти связь между матрпцей (вязких) напряжений Р = ]1рг)]~ и матрицей скоростей деформации ]] ди,/дк; ~]. Коши показал, что для любой среды, если считать недопустимыми бесконечно большие угловые ') Поти в [13, т. 1, ) Полную библиографию см. в [7], стр. 793; исследоваиия Стокса см. 1. т. 1, стр.
73 и дальше; стр 132 и дальше. Хорошее соврсмеииос птло,жение см. 3 е гг)п 3, /. Мам,14<сц, В (1959], 459 — 470. (См. также 11'] (13в] — Прим. переа.) Гя. П, Парадокса вязкого гевеник ускорения (гипотеза (Е) из $ 1), матрица напряжения должна быть симметричной: рп = рп. С другой стороны, матрица скорости деформации есть сумма кососимметричной составляющей 11 ди~(дх~ — ди~/дх~ 11 2 соответствующей вращению абсолютно твердого тела, и симметричной составляющей Н дит/дх~+ ди~/дхз 11 5= 2 Так как при вращении твердого тела физическая деформация отсутствует, то симметричная матрица 5 выражает истинную скорость деформации. При наличии изотропности главные оси матриц Р и о должны совпадать (мы напоминаем известную теорему алгебры, согласно которой всякую симметричную матрицу можно свести к диагональному виду путем вращения, приведя ее к соответствующим «главным» осям координат).
Далее, нз наших предположений о линейности и изотропности нетрудно получить, что относительно главных осей справедливо соотношение 'и Р д 2и дит (1) дхт при надлежащих постоянных Х н р. Кроме того, с учетом симметрии относительно главной диагонали, можно записать равенство ди~ дит РП= — + — = О, если д Ы* ~. дху дхс Возвращаясь к общей системе координат, мы получим следующие основные уравнения: ( дит дохл Рп — — РЬц — Лб1ч и — р( — + — ), Лдхх дхт)' которые будем применять ниже. Если не вводить предположения о несжимаемости, то очень трудно получить для системы уравнений Навье — Стокса корректно поставленную краевую задачу, условия которой были бы физически состоятельными. Прежде всего часто бывает неизвестна величина Х (см. $33).
Стоке пробовал предположить, что «вторая вязкость» р' обращается в нуль: „=л+ф =о. (2) и 20. Реальные газы и жидкости Это может быть выведено из кинетической теории для одно- атомных газов '). Можно и ошибочным способом вывести условие (2), определив давление р в виде (ры + Рм+ Рвз)18. Ло вушка состоит в том, что не известно, определяет ли это «давление» плотность согласно термодинамическому уравнению состояния р = 9(р, Т), в котором р и р берутся из статических измерений. Если это так, то условие (2) имеет место ((7), стр.
718); в противном случае, мы не знаем, как связать термодинамическое давление с тензором напряжения !! Рм !!. 6 20. Реальные газы и жидкости Помимо сказанного, в реальных жидкостях величины Х и !в изменяются вместе с температурой Т и давлением р; например, изменения температуры имеют большое значение для смазки. В лучшем случае можно надеяться, что 7»(р, Т) и 1в(р, Т) — однозначные функции. Для того чтобы эту зависимость учесть математически, уравнения Навье — Стокса необходимо дополнить по меньшей мере уравнением теплопроводности.
Это делает краевую задачу совсем не поддающейся решению; яо даже и дополненная система физически не точна, так как мы пренебрегли излучением. (Такое пренебрежение весьма правдоподобно в силу гипотезы (В) из 9 1,) Однако движение реальных жидкостей связано и с другими физическими эффектами, которые не учитывались ни Навье, нп Стоксом. Так, в реальных газах прн гиперзвуковых скоростях течения важную роль играют эффект релаксации, молекулярная диссоциация и ионизация'). Будущий специалист по гидромеханике, которому придется иметь дело с задачами, связанными со спутниками и их возвращением, должен дополнительно к уравнениям Навье — Стокса хорошо ознакомиться с химической кннетикой. Подобным образом бичом первых сверхзвуковых аэродинамических труб были ударные волны, возникавшие из-за конденсации водяных паров в воздухе — еще одна «скрытая переменная», которую игнорируют при постановке задач по Навье и Стоксу; см.
[16, гл. 5). Экспериментально было обнаружено, что затухание звука в жидкостях и газах — явление, которое определенно предска- '1 М в хъ.е!1 Д С., РЫ!. тганв., 157 (18671, 49 — 88; Чс пиен С., К в ул н нг Т» Мзтемвтическвя теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1961. дюгем показал, что из второго начала тсрмодинзмики следует !г'> О. Р в) См. Ь! кЬ1Ь !11 М. Д, в «аист«уз 1и МесЬзи1св», СвюЬгыдс 11идк гсвв, 1956; 250 — 351; Хейз У. Д, н ПРобстин Р. Фт ТеоРиЯ гипсР- внуковых тсчсний, М., ИЛ, 1962.
!и, П. Породокгм вязкого течения зывается любой точной теорией сжимаемых вязких жидкостей,— в значительной мере зависит от молекулярных эффектов (релаксации), см. $33. Ввиду упомянутых выше трудностей, по-вндимому, разумно ограничиться рассмотрением неслсимаемык вязких жидкостей, но и в этом случае известны различные аномалии. Так, многие жидкости, состоягцие из длинных молекулярных цепочек илн содержащие глинистые взвеси, называются «неньютоновыми»вЂ” таков употребляемый в настоящее время рабочий термин для жидкостей, которые не удовлетворяют уравнениям Навье — Стокса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
