Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если рассматриваемые стационарные течения являются единственными, то при больших числах Рейнольдса они физически неустойчивы; это явно следует из парадокса турбулентности (ф 23) з). й 24. Течение Пуазейля Уравнения Навье — Стокса, как и уравнения Эйлера во времена Лагранжа, удалось пока проинтегрнроватьлишь в нескольких случаях. Поэтому согласование с экспериментзхт в этих немногих случаях имеет принципиальное значение. Одним из таких случаев является течение жидкости в длинной прямой трубе, поперечное сечение которой есть круг постоянного радиуса с. Пусть х обозначает расстояние, измеряемое вдоль трубы, а г — расстояние от оси трубы.
В этих цилиндрических координатах и„ и„ и и, пусть обозначают соответственно осевую, радиальную и трансверсальную составляющие скорости. Т е о р е м а 3. Единственно возможными решениями системы (3), (4), (6), обладающими предполагаемой симметрией (ста- ') !.ег а у Ю., У. зге Млй,, 12 (1933), 1 — 82; там же 13 (!934), 331 — 418; Ас!о Май., 63 (!934), 193 — 248; Нор 1 Е., Мо)И.
зчеслг., 4 (1951), 2!3 — 231. См. также Д ол и две Д. Е., ПММ, 12 (1948), 165 — 180 и 19 (1956), 761. ') Н о р1 Е., Д йег. Месл. Ало!., 1 (1952), 107, з ) Зиачптельиые результаты относительно сучиествоваиия и устойчивости еитеиий стаииоиариых и иестаииоиариых краевых задач для уравнений авье — Стокса получены в ряле работ О. А. Ладыхсеиской и ее сотрудии.
ков. См. Л ад ижевск а я О. А., Математические вопросы дииамики вязкой иесжимаемой жидкости, Физматгиз, М., 1961, — Прим. верее, Гл !Г иаяадоксы еяякоге течения иионарные течения вязкой жидкости в круелой трубе), являются течения /1уазейля, определяемые формулами (12) и,=ив=О. и,=а (с' — г'), Л о к а з а т е л ь с т в о. Предположение о стационарности течения означает, что функция и = н(х, г, 8) не зависит от времени 1. Кроме того, условия задачи инвариантны относительно отражения в любои плоскости, проходяшей через ось трубы; течение имеет эту симметрию тогда и только тогда, когда ив = О, и„= /(х, г), и„= й(х, г).
Согласно нашим условиям, должна быть также инвариантность относительно произвольного переноса вдоль оси трубы. А так как в предполагается не зависящим от давления, то это же относится и к уравнениям (3) и (4). Симметрия относительно переноса эквивалентна соотношениям и, = /(т), и, = й(г). Из этих соотношений и из условия (6) следует, что 6(чп = й[гй(г)]/йг = О, откуда й(г) = С/г= О, так как на оси й(г) = О. Теперь, полагая и О, согласно теореме 1, мы используем уравнение (3).
Поскольку ив = и, = О, имеем р = р(х), Рассматривая случай 1 = 1 (с одной координатой х), получаем соотношение р (х) — р7 и — и[у (г)+г /(г)[. Так как левая часть не зависит от г, то правая часть также не должна зависеть от г. Таким образом, (г/')' = г/" + /' = нг для некоторого постоянного Й, и г/ = — йг'+ К. Это дает конеч- 1 ное значение и, = /(г) при г = О, только если К = О; следовательно, / = йг/2 и /(г) = 4 йг' + Ь. Для того чтобы удовлетворялось условие прилипания (6) на границе, должно быть и„= а(с' — гв), что завершает доказательство теоремы.
Подставляя полученные выражения в уравнение (3), мы получаем классический результат, что градиент давления равен дх =4Р~~ = —.', (13) где Я пас'/2 есть объем жидкости, протекающий за единицу времени через поперечное сечение трубы. й 25. Парадокс турбулентностн Экспериментальные данные в этом случае в высшей степени замечательны. Хотя формула (13) (закон Г!уазейля — Хагена) подтверждается при движении жидкости в капиллярных труб- 57 0 25. Парадокс турбулентности ках, она полностью теряет силу для обычных гидравлических труб.
Точнее, мы можем сформулировать следующий общий парадокс. Парадокс тур 6 у лент ности. Для течений в прямых трубах гипотеза симметрии (С) из й 1 выполняется, если число ргйнольдса йе (1700, и обычно не выполняется при Ке > 10«. Когда йе > 10', наблюдаемое на опыте течение не обладает ни пространственной, ни временнбй симметрией и является турбулентным. 0,007 0006 0005 ск 0004 0005 0,007 50 55 54 56 5,6 40 4Я 44 46 46 5,0 [40 у0!ч Рис. 8. Подобие течений воалуха и воли в трубах по числу Не. Оговорка «обычно» в предыдущем утверждении относится к тому, что можно избежать появления турбулентности, добиваись полной обтекаемости входного отверстия, полируя стенки и обеспечивая на входе трубы ламинарное течение. При чрезвычайной тщательности можно было таким путем избежать появления турбулентности при значениях Ке вплоть до 40000.
Но если не принимать специальных мер, то течение в трубках при ахе > 2000 будет турбулентным. Это хорошо иллюстрируют классические экспериментальные )) с и '), р *т р д р . с. ') Б ) ) , Р ) ), Ррч. Тг , А2 4 )) 9))), ) )9-) И; ) ионробное нссчелованне турбулентного течения в трубах си. в [31, гл. ЧП1, Гл.
П Парадоксы вязкого течения Они своеобразно подтверждают уравнения Навье — Стокса, показывая, что критическое число Рейно годса ггенр, при котором имеет место переход к турбулентности, одно и то же для воздуха и воды и равна приблизительно !700.
Теоретически этот вывод можно было бы получить из теоремы 2, Большинство современных специалистов считают, что течение Пуазейля является просто неустойчивым при гсе > Кенр, а турбулентное течение все-таки удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса, Хотя из принципа подобия (7) теоремы 2 не следует справедливость уравнений Навье — Стокса, их пригодность в случае турбулентного течения подтверждается опытными измерениями скорости затухания однородной турбулентности ').
Кроме того, гипотеза (С) из $ 1 все-таки выполняется статистически. Обозначая черточками средние значения, мы можем выразить симметрию посредством следующих формул: и„= Р(г), гг, = йг= 0, й' = С(г), ггт= Н(г) и т. д. Таким образом, рассмотрение экспериментальных данных подсказывает нам концепцию статистически определенных решений уравнений в частных производных как новую и увлекательную область для математических исследований. Изучение таких «стохастических дифференциальных уравнений» открывает теперь новые горизонты в математическом анализе. Несмотря на доблестные усилия математиковт), наблюдаемая неустойчивость течения Пуазейля не получается в результате исследований средствами математического анализа, Предполагали ') даже, что в идеально гладких круглых трубах течение Пуазейля является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений.
Однако в настоящее время даже для случая двумерных возмущений совершенно достоверно установлена неустойчивость плоского течения Пуазейля между двумя параллельными пластинками при гсе > 5300. Поэтому подобное предположение представляется маловероятным. ') 5 ! ете а г1 й, ВГ., Ргос. Селга. Р)гг!. Вос., 47 (195!), 146 — 157. (С)тносительно изотропной турбулентности см.
[!4«], 19*1 и приведенную там лите. ратуру. -- Прим. Ред.) г) См 5упде Д Е., Нудгодупапг(са( МаЫЯу, 5егп!сеп1епп!а! рпЫ. Апг. Ма!(г. 5ос., г938, т. 2, стр. 227 †2; [361, особенно $ 3.2. ') См. 1!1], т. 2, стр 32 — 33; С о гп о ! е ! )г., Сослргег )(елг(кз. 228 (1948), 2049 (также !.о Носнле В!олене, лилгФго грег!о( В (1949), 673). Теоретнче.
ские аргументы см, ре !ге г(а С. 1., Ргос, Мо(. Асог(. Ясс, ()5А, 34 (!948), 285 — 295. 6 26. Другие пар«диким ги.иметрии 59 $26. Другие парадоксы симметрии Весьма любопытно, что склонность к симметрии проявляется лишь в ограниченной области Гхе ( 1700. Любопытно, что и предполагаемое стремление к наименьшему действию, по-видимому, имеет примерно те же границы, поскольку расход энергии в течении Пуазейля меньше, чем в турбулентном течении '). Для того чтобы хоть немного разобраться в этих фактах, рассмотрим другие примеры из гндродинамики, в которых необоснованное применение гипотезы (С) нз $ [ также приводит к неправильным результатам. Один из интересных примеров представляет собой течение в трубах с некруговым поперечным сечением.
При малых Гхе в этом случае опять-таки наблюдается параллельное течение, для которого можно вычислить профиль скоростей ((7), 3 332) и н котором принцип наименьшего действия остается в силе. При больших [хе течение снова становится турбулентным и даже статистически не является параллельным: существуют значительные «вторичные течения» ') в углах трубы. Другой случай был изучен Дж.
Тейлором в его классической работе'). Рассмотрим вязкую жидкость, находящуюся между двумя длинными сооснымн цилиндрами, которые вращаются в противоположных направлениях с постоянными угловыми скоростями от и ы' соответственно. Описанное течение является (приближенно) симметричным относительно переносов вдоль и вращения вокруг осн цилиндров, а также не зависит от времени. Имеется в точности одно решение системы (3), (4), (6), обладающее такой симметрией; оно носит название «течения Куэтта». При малых от, го' такое течение Куэтта наблюдается экспериментально.
При больших числах Рейнольдса вместо течения Куэтта появляется несимметричное, однако нетурбулентное течение. Грубо говоря, сохраняется симметрия во времени, но не в пространстве. Далее, рассмотрим маленький пузырек воздуха, поднимающийся в стоячей воде под действием собственной плавучести. Влагодаря поверхностному натяжению он принимает форму, близкую к сферической, н, во всяком случае, на него не действует ни одна сила, которая не была бы симметричной относительно вертикальной осн, проходящей через центр пузырька. Следовательно, в силу симметрии, пузырек должен был бы м ) По поводу специальных теорем отиогтельно минимума расхода энергии см.
[7], й 344. ) [З[, и. !61, где нриводятся результаты Ннкурадзе. ) РЧ!. Ттанз., А223 (1922), 269 — 293; см, такзке [36[, гл. 2. Гл. П. Парадокса вязкого течения подниматься вертикально, Однако, и это поразительный факт, при гче ) 50 такой пузырек прокладывает себе путь вверх по вертикальной спирали!') Аналогичное явление имеет место в следе за круговым цилиндром, который движется в потоке параллельно своей образующей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
