Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вскоре после этого Джеффри (см. прим. 1) на этой стр.) применил идею, аналогичную идее Рэлея прн исследовании разрушения волн на отлогих отмелях. По мере того как волны переходят на мелководье, их скорость уменьшается. Из-за этого энергия волны сосредоточивается на более коротком участке, что еще больше увеличивает высоту волны и ее крутизну. Если отмель достаточно полога, гребень волны снова попадает во впадину, образуя «бурун» прибоя. Стокер з) и другие авторы пытались объяснить количественно образование «бурунов» и «боров» при помощи вышеприведен- ~) Ргос.
)(оу. Бог., А99 (1914), 324 — 328; 171, стр. 175 — 177, 182; см. также й 1 а Ь о и с Ь ! и з Ь у )у., Соглргез )7епбиз, 195 (1932), 988 — 989; [61, етр. 32 — 35. Результаты Джеффри см. Сагп)зь Ч., Осеап ччачез, СагаЬпд е, 1934, отр. 154 — 159. з) С такер Дж., Волны на воде, Ми ИЛи 1959, гл. 1О, $7, й !О и приаеденван там литература, т" т. д Пареде«ем нее»злого течения ных соображений. Это значит, что они пытались рассматривать эти явления в рамках рациональной гидродинамикн Лагранжа. Однако представляется сомнительным, что движение жидкости в действительном прибое и в приливных волнах является безвихревым настолько, чтобы такая модель была реалистичной.
В настоящем прибое и в настоящих приливных волнах всегда имеется значительная завихренность из-за откатывания предшествующих волн («подмыв»), из-за течения всей массы жидкости и т. д. и, возможно, из-за «расслоения» (стратификации), вызываемого наличием взвешенного песка, Вследствие этого реальные буруны могут «нырять», «перекатываться» нли «расплескиваться», а реальные боры могут продвигаться л виде изолированной стены воды или в виде ступенек '). Кажется маловероятным, чтобы безвихревые гравитационные волны давали такое разнообразие явлений.
Кроме того, следует вспомнить, что в абстрактную теорию входят два параметра: отношение й/Х глубины к длине волны и отношение А//7 глубины к минимальному радиусу кривизны поверхности /7. Как показал в )928 г. Стройке), при любых фиксированных Й и Л волны достаточно малой конечной амплитуды могут распространяться без изменения своей формы; это видимое противоречие с выводами Рэлея и Рябушинского можно назвать парадоксом длинной волны.
Объяснение заключается в том, что построения Стройка относятся к случаю, когда ЬЯ сравнимо с /г/)л, в то время как выводы Рэлея применимы только к случаю /г/)ч((А//г (( [. 8 !6. Парадокс Ферри Гораздо более недавний парадокс, которым мы обязаны Ферри»), относится к сверхзвуковому обтеканию с «присоединенной» ударной волной наклоненного кругового конуса, ось которого образует угол «рысканья» 8 с направлением течения.
Как будет показано в $ 88, из гипотезы (С), 9 ), следует, что такое течение должно обладать конической симметрией. Поэто- ') Слч. Мз зол М, Огзчцу мзтеь, 315 — 320, !Чз!. Вп. 81зпбзгдз С(гоп!зг 521, 1952, или гл. !П из работы Согп!зй'и, цитированной в примечзнии 1) нз стр. 4!. з) $1гп11г )г. 7.. )7елд!с. 5!псе(, 1 (1925), 522 — 527. Обсуждение пзоздоксз длинной волны см. в [7); () г з е 11 Р., Ргос. СолтЬ. РНЫ. Зос., 49 (1й53), 885 — 694; Вен ! з пг(п Т. В., Ы КЬ 1)г!1 ! М.
д., Ртос. Йоу. Яос., А224 ( 1954). 448-460. з) Регг! А., й!АСА, йер., 1045 (1951); см, те«же Но!1 М., (4/й(АМ, 7 (1954), 438 — 445. 6 И. Парадокс Ферри му мы будем рассматривать н = «(е, 6) в сферических координатах. Если отождествить соответствующие линии тока при центральном проектировании из вершины конуса, то онн составят однопараметрическое семейство, которое схематически изображено на рис, 5. За исключением линий тока, лежащих в плоскости симметрии, для которых 6 = О, к, все линии тока стремятся Рис. 5. Парадокс Ферри.
к предельному ~направлению (а — 6, к), т. е, все они стремятся влиться в прямую линию тока, идущую по конусу и соста. вляющую наименьший угол а — 6 с направлением течения. Но, в силу уравнений Рэнкина — Гюгонио, линиям тока, пересекающим «присоединенную» ударную волну под различными угламн, соответствуют различные значения энтропии. Поэтому н(и,6) имеет особую точку в (п — 6, к), что снова нарушает гипотезу (Е) из $ !. Эта особенность делает неправомерным разложение н(в, 6) по степеням угла рысканья 6 и в ряд Фурье относительно 6.
Следовательно, вычисления Копала для оценки эффектов рысканья, которые основаны на теории возмущений, использующей такие разложения '), не являются строгими. А следовательно, строго не обоснован и парадокс Копала ($11). 1) 81опе А Н„д Мами Раук. М[Т, 27 (19481; 87 — 81. [Вне тонкого вихревого слоя вблизи конуса разложение Стоуна правильно. В [11'1 оно аналитически продолжено внутрь вихревого слоя, где оно переходит в разложение Внллета [12'1. — Прим. ред,) Га Л Парадоксы нееялкоео течения й 17. Парадокс тройной ударной волны В Э 14 упоминалось о том, что уравнения Рэнкина — Гюгонио выводятся из законов сохранения.
Эти уравнения показь;- вают, что в случае совершенного газа отношения давлений, плотностей и температур р/р', р/р', Т~Т' по разные стороны от стационарной ударной волны зависят только от одного параметра (интенсивности скачка или числа Маха — см. [!5), гл. 1Ъ', ф 4). Кроме некоторых исключений, отмеченных в конце ф 14, эти выводы подтверждаются экспериментально, причем на практике можно наблюдать ударные волны различной силы. Не так обстоит дело с «кратными» ударными волнами.
В случае двойной, «регулярно» отраженной ударной волны (см. рис. 6, а) и тройной ударной волны, или У-волны Маха (см. Ладаюи~ая ОюраженнаЯ Ладою и!аЯ Пюраженная 5 Течение скольжения Ладаюа!ая дтраженная Падаюитая а б Оюраженттая Рис. 6. Отражение ударных волн. а — ротулириоо отрлжоиио; б-У-обрхлиоо юрхжоиио ио Маху. рис. 6, б), соответствующие математические расчеты возможны, если предположить, что в каждом нз получающихся при этом секторов (1, 2, 3, 4) физические переменные принимают определенные предельные значения вблизи особой точки в «вершине» ударной волны. Многие из таких расчетов также подтверждаются экспериментально, так что эта теория является весьма правдоподобной. Однако в случае «слабых» ударных волн регулярные отражения происходят при углах падения несколько ббльших, чем это допускается теорией, а полученные при расчете предельные значения для тройных ударных волн значительно отличаютсяог 45 б 78.
Значение уравнений Эйлери наблюдаемых. Это противоречие, которое можно назвать парадоксом тройной ударной волны, было, по-видимому, открыто Дж. фон Нейманом (1945 г.). Не раз пытались разрешить этот парадокс, который, возможно, является «парадоксом особой точки», т.
е. получается из-за чрезмерно упрощенной картины локального поведения вблизи особой точки. Но до сих пор не дано пи одного удовлетворительного истолкования '). й 18. Значение уравнений Эйлера Предыдущие парадоксы показывают, что область применимости уравнений Эйлера имеет некоторые ограничения; однако эти уравнения все еще являются основным орудием практической гидромеханики. Так, они дают возможность приближенно вычислить: 1) распределение давлений на лобовой поверхности препятствий; 2) подъемную силу крыла самолета; 3) силы при движении с «кавитацией» (гл.
Н1) и наличии струй; 4) гидродннамическое противодействие ускорению твердого тела в жидкости («присоединенная масса»,см.гл.Ъ'1);5) распространение гравитационных волн, включая сейшн, приливы и отливы; 5) распространение звука (акустика); 7) распределение давления и скорости течения в сверхзвуковых соплах и 8) сверхзвуковое лобовое сопротивление. При подобных расчетах необходимо иметь в виду описанные выше парадоксы, а также большое разнообразие течений, удовлетворяющих теории невязкого обтекания при наличии завихренности.
В теоретической гидродинамике это разнообразие иногда как бы остается в тени нз-за того, что слишком много внимания уделяют теоремам существования и единственности кстати сказать, при доказательстве таких теорем часто исходят из нереальных допущений. Это подчеркивается в большинстве книг по «современной гидродинамике» (например, в работах [31 и (241), где с самого начала указывают, что возможна неоднозначность решений, а также отмечают такие удивительные экспериментальные явления, как пограничные слои и турбулентность. Однако наличие таких обстоятельств вовсе не должно снижать значение чисто математической теории невязкнх жидко- ') См. В 1е а 1« и е у %. впб Т в и Ь А, Н., Я«от Мой.
Рйуг., 21 (1949), 587 — 605; (6), стр. 342; (15), стр. 144; Р о)е с Ь е 1с Н. впб 5 ее пег и, Рйуг. Кео' 84 (1951), 922 — 929, в также [16) гл. 5 тек же авторов и приведенная твм литература. Более новые работы а в Ь и К. Сг., У. Р(иы Меся, 2 (1957); ЗЗ 18 и $1ег и Ь его а., Р1гугдст ог Р)и1йт, 2 (1959), 179 — 206. Гд П Парадокса неаяакого течения стей. Теория в состоянии указать существенные возможности, которые «здравым смыслом» были бы отвергнуты как абсурдные. Например, теория указывает, что могут быть крылья с пренебрежимо милым лобовым сопротивлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
