Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 7
Текст из файла (страница 7)
бокому парадоксу: вследствие одиосвязиости циркуляция Г О. з) Доводы Праидтля изложены в [[3), $ 27); лля цилиндра радиуса с при отиосительиой поступательной скорости о циркуляция Г = 4 псе. По поводу более поздиих экспериментальных даииых см. [50[, й 239. ') 3 тг а п з о п %. М., Р!па) порог! оп Соп1гас1[)А-33-019-0Ю-1434, Сазе 1пэ1.
Тесипо!оку, !)есептьег 31, 19зб. При )г = ыс 17 о коэффициент Сх 14,7 и «продолжал возрастать с посгояииой скоростью». 1!едавио, С!апег1 М. В. [Ргог. ))оу. бес. А242 [1957), 108 — 115) подверг вывод Праядтля критике, исходя из теоретических соображений. ') См. [3], $27 и 221; экспериментальные данные [в случае сферы) получил Маккол.
Данные, приведенные в [3), $239, показывают, что, по-види. мому, аналогичная ситуация имеет место и для цилиндра. й У. Эффект гпагиага; дерпеацил явление, которое до сих пор не поддается магематическому исследованию как краеван задача. Таким образом, при любом корректном истолковании реальной поперечной силы при малых скоростях вращения надлежит учитывать число Рейнольчса '). Явление «деривации» аналогично эффекту Магнуса, Артиллеристам уже более ста лет известно, что вращающиеся снаряды имеют тенденцию отклоняться от вертикальной плоскости, в которой производится стрельба, и что такое отклонение происходит в направлении врашензгя головки снаряда.
Однако это явление в течение многих лет понималось неправильно '). Одно неверное объяснение было предложено известным математиком — Пуассоном. Он считал, что вследствие инерции ось снаряда отстает от направления касательной к траектории, ~» 3ВВ~. др ряд .Юо и Мт'па шеи дпепепш — — Лппраппепип дерппации Бппошсп даопепип Рис.
4. Объяснение аффекта Магнуса, по Пуассону. как схематически показано на рис. 4, а. Следовательно, на нижней стороне должно создаться большее давление, а значит и большее трение. В соответствии с рис. 4, б это должно привести к отклонению в наблюдаемом направлении.
Ошибочность объяснения Пуассона становится очевидной, если применить его к вращению теннисного мяча: получилось бы направление отклонения, противоположное обычному эффекту Магнуса! Правильное объяснение заключается в следующем. С помощью количественного исследования гироскопической устойчивости можно установить, что устойчивое положение оси снаряда (с правой винтовой нарезкой) находзтся справа от касательной к траектории, а не выше ее, как это утверждал Пуассон. Таким образом. деривацня снаряда вызывается главным образом не'] См. Кт аь и Е., д Ает. Бес, 23 11955', 377 — 378, а) Интересный исторический обзор пан а [5), гл. Х. Гл.
й Порадокгм неелзкого течения посредственно аэродинамической поперечной силой и лишь косвенно — вращением. Это опять-таки показывает ненадежность качественных соображений. Вероятность того, что случайное объяснение окажется правильным, равна 507з[ $10, Волновое лобовое сопротнвленне тонкнх крыльев Парадокс Даламбера нельзя распространить на сверхзвуковое течение: даже без учета вязкости математические соображения приводят к существованию положительного лобового сопротивления. Ввиду парадокса обратимости это возможно только потому, что краевая задача (для стационарного движения), определяемая уравнениями Эйлера, не является корректной.
Мы покажем сейчас это, начав с рассмотрения лннеаризованного сверхзвукового течения (теорня «тонкого крыла»). Рассмотрим семейство независимых от времени сжимаемых течений, зависящих от параметра 6 — толщины крыла. Мыпредполагаем (гипотеза (Е) нз $1), что потенциал скорости можно записать в виде и= +йо(х, у, )+О(йз). (14) Подставляя его в формулу(10) и делая обычные в теории возмущений допущения, мы получаем ') прн 6-ь 0 (Мз — 1) Р,„= Ргг+ Р„, М = а/с. Ясно, что случаям дозвукового течения (М < 1), звукового течения (М = 1) и сверхзвукового течения (М ) 1) отвечают уравнения в частных производных соответственно эллиптического, параболического н гиперболического типов '), Это простое замечание уже указывает на то, что краевая задача корректно поставлена лишь в дозвуковом случае.
В случае плоского течения (т = р(х, у) еще со времен Даламбера известно, что общее решение уравнения (14') имеет вид о = Р(х — ртМт — 1 у)+ Ях+ )т Мт — 1 у), (15) где г (г) н О(8) — произВольные функции. ') См. [61 $141 нли [!01, стр. 246. Более подробное опнсанне приложений см. в [) 01, гл, Ч1! 1. з) Это верно также н без лннеарнзаднн, но в таком случае М будет зависеть от координат. Следовательно, возможны трансзвуковые потока н соответствующие нм дифференциальные уравнения смешанного типа (злляптнческяе в одннх областях н гиперболические в других), как показано в $ 6. [Смешанным течениям посвящена обширная литература; см., например, [тч] и [6'1.
— Прим, ред.1 У Ю. Волновое лобовое сопротивление тонкнк крыльев Для того чтобы определить Р(г) и 6(в), нужно использовать условие (7), которое при стационарном течении сводится к раде! венству — = 0 или дп ~~ =а)'(х) ду (15') для «тонкого крыла», ограниченного кривой у = т)(х).
Мы замед 'д пили в (!5') — на —, предположив, что тангенс угла наклодп ду ' на т)'(х) « 1. Действительно, такая гипотеза (нли, вернее, Ч'(х) « М) является основным допущением теории тонкого крыла. Чтобы избежать парадокса обратимости и получить корректно поставленную задачу, необходимо систему (15), (15') дополнить некоторой добавочной гипотезой необратимости, выражающей интуитивно очевидный' физический факт, что «волны скатываются вниз по течению». Если мы расположим тонкое крыло вдоль оси х, то последнюю гипотезу можно записать в следующем виде: тт(х — 7Мт — 1 у), если у <О, в(х, у)= р (15«) 0(х+ у' Мт — 1 у), если у ) О.
и «1- ) Относительно применения н баллистическим аадачам см. (б), 3 !2 — !б. С учетом результата подстановки в уравнение Бернулли (5) наша система уравнений позволяет заключить о существовании волнового давления, которое, в приближении теории возмущений, получается в виде р = ра'т!'(х) на верхней поверхности крыла у т)(х) и в виде р = ратт)'(х) на нижней поверхности крыла у т)(х). Определив продольную составляющую давления и выполнив интегрирование, мы получим для лобового сопротивления О = ~ р с(у выражение В=рая~(т)'с(т)+т!'«РЧ)=рая ~ '1т)'+т)л)асх, (16) где интеграл берется по длине крыла.
Для достаточно малых углов наклона приведенные формулы вполне хорошо согласуются с экспериментом ([10), стр. 346, 350) и, очевидно, дают положительное сверхзвуковое «волновое лобовое сопротивление». Любопытно, что они согласуются с очень старой квазиэмпирической формулой Эйлера, в которую входит универсальный постоянный множитель, определяемый, по предположению, экспериментально ') . Гя. С 7)арадокгы нееязкого ге«гнал $ 1!. Тонкие тела вращения Слишком сложно рассматривать здесь применение уравнения (14') Прандтля — Глауэрта к сверхзвуковому обтеканию так называемых «тонких», или «удлиненных», тел произвольной формы '). Мы только приведем несколько примеров, иллюстрирующих общий тезис о том, что если результаты не получены математически и физически строго, то им присуща тенденция становиться ненадежными.
Относительно простую задачу представляет собой осевое обтекание твердых тел вращения (артиллерийские снаряды без рыскания). Карман и Мур') первыми пришли к выводу, что наличие волнового лобового сопротивления вызывает резкий рост сопротивления при движении тонкого снаряда, когда М = 1, и оценили это возрастание сопротивления на основе упрощений, указанных в $ 10. Более чем через 10 лет Копал распространил этот вывод на снаряды с рысканием и показал, что упрощенная теория приводит к ряду ошибочных заключений '). В частности, в случае конусов под углом атаки поперечная сила, подсчитанная по формулам нз $10, убывает с возрастанием М, в то время как правильное приближение по теории возмущений дает ее увеличение (парадокс Копала).
В настоящее время признано (см. прим. 1) на этой стр.), что простая линеарнзованная теория, приведенная в $ 10, даже для тонких тел приводит к неправильному значению силы. В случае обтекания сверхзвуковым потоком тонких тел вращения, квадратичные члены в уравнении Бернулли при подсчете давления будут того же порядка величины, что и линейный член '), Для некоторых частных приложений простые линеаризованные уравнения из $10 нужно видоизменять тем нли иным способом'). Так, для крыльев конечного размаха под углом атаки нужно рассматривать сбегающие вихревые слои. Кроме того, ') См.
Ю а г с1 С. )Ч.. (.!пеаг(кеб Шеогу о! а(еабу Ьпдь-вреед Понг. СагпВг)бане ()п(т. Ргекм 1955. ) Тгалз. Ат. Зос. Месд. Епд.. 84 (1932), 303 — 310. Относнтельно современная «лннеарнзованноа» теорнн см. [!О), % 83; нлн [15), гл. ЧП!, $15. ') Ко ра! У., Раув. )гео,, 71 (1947), 474; [10), стр.377; подробнее — Таыез о1 внрегзоп(с Позе агонпб уанппп сопев, Маза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
