Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Однако весь материал книги тщательно пересмотрен н во второе издание добавлен ряд интересных новых результатов, полученных за последнее десятилетие. Глава 1 ПАРАДОКСЫ НЕВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ $ Е Теоретическая гндродинамнка Теоретическая (рациональная) гидродинамика стремится приближенно предсказать движение реальной жидкости путем решения крпевык задач для соответствующих систем дифференциальных уравнений в частных производных. При составлении этих уравнений в качестве аксиом принимают законы движения Ньютона. Предполагается также, что рассматриваемая жидкость (обычная жидкость или газ) всюду непрерывна и что на любую часть поверхности действует вполне определенное давление или какое-либо другое внутреннее нппряхение (сила, приходящаяся на единицу площади), которое, по крайней мере локально, является дифференцируемой функцией координат, времени и направления.

Наконец, устанавливается связь этих напряжений с движением жидкости посредством введения различных параметров, характеризующих данное вещество (плотность. вязкость и т. д.), и функциональных зависимостей (закон адиабатического сжатия н т. п.), Исходя из таких допущений, математики составили системы дифференциальных уравнений для различных идеализированных жидкостей (несжимаемой невязкой, сжимаемой невязкой, несжимаемой вязкой и т. д.). Для того чтобы получить вполне определенные, или корректно поставленные '), задачи для таких дифференциальных уравнений„необходимо еще задать соответствующие краевые условия, относящиеся либо к начальному состоянию движения, либо к движению стенок и препятствий, ограничивающих течение жидкости, либо и к тому, и к другому.

Теоретическая гидродинамика включает в себя изучение краевых задач, которые получаются в результате сочетания этих краевых условий ') Мы пользуемся ставшей в настовшее время классической терминоло. гней адамара, согласно которой краевая задача называется корректно поставленной, если оиа имеет одно и только одно решение, непрерывно завнсвшее от краевых условий. См Н апаш а го 3., метатез Оп Сансьу'з ргоыеш, Ха!е Оп!т. Ргезз, 1923, см З2, Гл. А Порог)охты и«лагкого течения с дифференциальными уравнениями для идеализированных жидкостей '). Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гндродинамика в основном непогрешима.

Так, Лагранж' ) писал в )788 г.: «Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, н будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил...» Многие нз величайших математиков, от Ньютона н Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в нх исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые нзнаи.

более важных понятий теории уравнений в частных производных: функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, «корректность» задачи — таков неполный список. Однако краевые задачи теоретической гндродинамикн чрезвычайно трудны, н продвижение в этой области шло бы гораздо медленнее, если бы строгая математика не дополнялась различ. ными правдоподобными интуитивными гипотезами.

Наиболее плодотворными среди ннх были следующие. (А) Определяя, какие физические переменные необходимо рассматривать, можно полагаться на интуицию. (В) Эффект малых воздействий мал, а эффект бесконечно малых воздействий бесконечно мал. (С) Симметрия воздействия обусловливает симметрию эффекта. (0) Топологию течения можно уловить интуитивно, (Е) Операции анализа применимы без ограничений: функции, рассматриваемые в теоретической гидродинамике, можно свободно интегрировать, дифференцировать, представлять в виде рядов (Тейлора, Фурье) или интегралов (Лапласа, Фурье).

(Р) Математические задачи, поставленные на основе интуитивных физических представлений, считаются корректными Приведенные правдоподобные предположения обычно принимаются без оговорок, как сами собой разумеющиеся. Первые две главы этой книги посвящены главным образом подробному исследованию их приемлемости. ') для простоты нааоменяя мы не касаемся аакона сохранення ааергнн н яругнх термоаннамнческнх «повременна, ноторые такхге момно привлечь (см. $14) ') Л а г р а н ьч Ж. Л., Аналнтнческая механика, т. 11, М.-Л, )зов, стр.

307, Э 2. Гидродинамическне парадоксы 17 $2. Гидродинамическне парадоксы На деле в ряде случаев уравнения Эйлера были проинтегрированы, но результаты расчетов резко расходилнсь с наблюдениями, что явно противоречит мнениюЛагранжа. В гидродинамике такие несомненные противоречил между экспериментальными данными и заключениями, основанными на правдоподобных рассуждениях, называются парадоксами, и в дальнейшем этот термин будет употребляться именно в таком смысле. Эти парадоксы были предметом многих острот. Так, недавно было сказано '), что в девятнадцатом веке «гидродинамики разделялись на инженеров-гидравликов, которые наблюдали то, что нельзя было объяснить, н математиков, которые объясняли то, что нельзя было наблюдать». (Нам кажется, что представители обоих видов все еще встречаются.) Да и Сидней Гольдштейн заметил, что всю книгу Ламба [7! можно прочитать, не представляя себе, что вода...

мокрая! Теперь обычно заявляют, что подобные парадоксы возникают из-за отличия реальных жидкостей, имеющих малую, но конечную вязкость, от идеальных жидкостей, имеющих нулевую вязкость'). Из этого, по существу, следует, что утверждение Лагранжа (см. прим. 2 на стр. !6) можно подправить, поставив «Навье — Стоке» вместо «Эйлер». Это утверждение будет критически рассмотрено в гл. П; оно, пожалуй, в принципе верно для несжимаемого вязкого течения. Однако, мы полагаем, что если понимать его буквально, то оно может ввести в заблуждение, поскольку явно не выделены перечисленные выше правдоподобные гипотезы и не учтен тот ущерб в строгости, который обусловлен их прямененнем.

Тем не менее нам не известно ни одного случая, когда дедукция, строгая как физически, так и математически, привела бы к неправкльному заключению, но лишь очень немногие выводы теоретической гидродинамики могут быть строго установлены. Для самых интересных из ннх широко использовались одна нли несколько из упомянутых гипотез (А) — (г). Это можно показать на примере уравнений Навье — Стокса. Они явно непригодны для учета релятивистских эффектов, молекулярной структуры, квантовых эффектов, равно как таких специфических явлений, как ионизация, электростатические силы, загрязнения во взвесях, конденсация и т. п., каждое из которых может вызвать серьезные осложнения, как будет ') Х!па'пе)меод Сс Пнтнруем по Лайткнллу [Е!![Ь!'п)!1 М, д!а!нте.

779 1!9Б6), 343]; см. также [11], т. 1, Введенке. а) См. [3], 9 1, 14; [11], т 1, Введенне; т. 2. Введенне; Хпп!ег )!опас, р)н)е Месвап!са !от Нуогап!!с Епа!песта, Мсбтам-Х1!1, 1939, стр. 1О, 1В Гл. П Парадоксы нгаялкого течения показано ниже. Стало быть, уже сразу широко используется гипотеза (А). В случае сжимаемого течения остается открытым даже вопрос о том, какой смысл имеет понятие «второй» вязкости (5 22, 33).

Мы не настаиваем на том, чтобы впредь не использовать в теоретической гидродинамике гипотезы (А) — (Р) — даже в чистой математике правдоподобные соображения играют очень важную роль '). В гидродинамике продвижение едва ли было бы возможно без широкого использования таких правдоподобных гипотез, а полная строгость редко бывает достижимой. Мы только настаиваем на том, что, прежде чем считать научно установленными заключения, основанные на правдоподобных соображениях, их надо проконтролировать либо с помощью строгих доказательств (как в чистой математике), либо с помощью эксперимента. Напротив, мы считаем, что нужно только приветствовать открытие гидродинамнческнх парадоксов, искренне признав неспособность существующей математики (н логики) адекватно отображать сложные и удивительные явления природы, Опыт показывает, что человеческое воображение гораздо более ограничено, чем ресурсы природы; как писал Паскаль, «воображение скорее устанет постигать, чем природа поставлять».

В связи с этим, остальная часть первой главы будет посвящена анализу некоторых парадоксов классической гидродинамики. В гл. П мы уделим внимание аналогичным (но не столь широко известным) парадоксам «современной» динамики жидкостей. $3. Уравнения Эйлера Мы начнем с рассмотрения основных уравнений для невязких жидкостей, выведенных Эйлером и Лагранжем, Пусть н = = и!х, г) означает вектор скорости жидкости в точке х в момент времени !. Пусть р(х, !) означает плотность жидкости, )г(х, !)— внешнее гравитационноет) поле и р(х„!) — давление в жидкости.

Характеристики

Список файлов учебной работы