Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теория крылоного профиля Не смущаясь приведенными выше парадоксами, ученые сумели правильно получить, по крайней мере качественно, лобовое сопротивление и подъемную силу, оставаясь в рамках уравнений движения Зйлера. Вся хитрость закл1очается в том, чтобы избежать употребления гипотезы (Р), которую применяли Зйлер и Лагранж, а это можно сделать, используя разрывные и многозначные потенциалы, (Такие функции, правда, часто рассматриваются «практиками» как паталогия1) Для определения лабавога сопротивления можно постулировать наличие застойной кильватерной зоны (след, область «мертвой воды») с У = О позади препятствия, простирающегося до бесконечности, как на рис.
2,в. Зта зона отделена от главного течения «свободными линиями тока» с постоянным давлением, причем скорость и = 7У изменяется скачкообразно при переходе через зти линии. Зта модель будет изучена в 5 39. Теорию подъемной силы в двумерном течении можно получить, вводя многозначный потенциал вида гв У= —,. +; .- »+у(к) (13) где 7»р = О и р (х) = О ~ — „,) . Здесь Г = ~ с(У=~ ~~~~~иобл„— циркуляция, определенная в 3 4„причем интеграл берется вокруг препятствия (профиля крыла). Вводя член Г6/2к в формулу (13), мы жертвуем детерминизмом, так как прн этом задача Неймана из 8 4 заменяется задачей, которая не является корректно поставленной, Некоторую видимость детерминизма можно еще сохранить, когда крыло имеет острую заднюю «кромку» (но не в общем случае).
В атом случае является правдоподобным предположение, чта «скорость конечна на задней кромке» (условие Жуковского — Чаплыгина). Зто условие выделяет единственное значение циркуляции Г и позволяет находить лобовое сопротивление и подъемную силу следующей теореме Кутта — Жуковского ((81, стр. !88). сходящийся ряд (аналогичный ряду по отрицательным степеням в разложении Лорана), члены которого суть произведения отрицательных степеней г и сферических гармоник, выраженных через широту и долготу.
(Для таких решений уравнения 7'У = О правдоподобная гипотеза (Е) подтверждается, следа. вательно, строгой теоремой,) Гл. Д Парадоксы яевятхозо течения Теорема 2, В любом плоском течении вида (13) мы имеем В=О н Ь=раГ, гдв а (а~, В частном случае Г = 0 мы получаем как следствие парадокс Даламбера. Стационарное локально безвихревое плоское течение с циркуляцией можно определить как «течение Жуковского», если оно удовлетворяет условию Жуковского. Течение Жуковского для плоской пластинки схематически изображено на рис. 2, б; коэффициент подъемной силы Сс — — 2н з(п и, где а — угол атаки. Течение Жуковского для заданного профиля с острой задней кромкой представляет собой корректно поставленную краевую задачу.
Ее решение в частных случаях (профнль Жуковского, профиль Кармана — Треффтца и т. д.) составляет основную главу современной теории крыла; впервые общую теорию (с приложениями) дал Мизес '). Ее справедливость основывается на следующей теореме чистой математики, которая позволяет нам преобразовывать элементарное течение Жуковского (12а) для единичного круга в несжимаемое течение Жуковского для произвольного профиля. Основная теорема о кон форм ном отображении. Имеется одна и только одна комплексная аналитическая функция чв=7(г)=йг+,Ксзи ", й) О, о отображающая взаимно однозначно и конформно область внв единичного круга на внешность данной односвязной области.
В последнее время этот результат был распространен на «квазиконформное» отображение (см. прим. 2) на стр. 26), которое состоит в том, что для данного числа Маха М < 1 имеется одно н только одно дозвуковое обтекание, по Жуковскому, для любого профиля с острой задней кромкой. В случае хорошо обтекаемых профилей при малом угле атаки действительные потоки хорошо аппрокснмнруются идеальными течениями Жуковского. Хотя полагать, что лобовое сопротивление равно нулю, очевидно сверхоптимистично, тем не менее подъемная сила в действительности составляет 75 — 95озз расчетной, а отношение подъемная сила1лобовое сопротивление может доходить до 50. ') М)ее з Ц., Хв11з. г)пвб 1но1от1н(1зса!Ипат!, 1917, стр. 167 — 163 н 1996„ стр.
67 — 73 н 87 — 89. Относнтельно аналнза фактических данных см. М- нз Р., Теория полета, М., ИЛ, 1949. [Формула для определеяня момента спл, дейстяуюпзнх на крыло, была получена С. А Чаплыгнным (см. Ч а и л ыг н н С. А, Соч., т. 11, М.— Л., 1933). — Прим. ред1 9 У. Э44ект Меенрсе! дериеацил 31 Однако условие Жуковского никоим образом не дает падеж.
ной теории подъемной силы в общем случае! Так, в трехмерном пространстве область вие самолета, очевидно, является одно. связной. Следовательно, любое локально безвихревое течение в пространстве должно иметь однозначный потенциал скоростей У при нулевой подъемной силе. Если бы это было действительно так, полет был бы невозможен.
Более утонченным является следующий парадокс Чпзоттп '). Рассмотрим течение Жуковского для плоской пластинки, схематически изображенное на рнс. 2,б. Согласно теореме Кутта— Жуковского, результирующая сила должна быть нормальной к потоку; поскольку же давление всюду нормально к пластинке, эта сила должна быть нормальной к пластинке — очевидное противоречие. Как показал Чизотти, это объясняется совсем просто: на заднюю кромку действует конечная сила вследствие бесконечного отрицательного давления (подсоса), что связано, учитывая формулу (5), с бесконечным значением скорости в этой точке.
Таким образом, парадокс связан с тем, что ~несостоятельна гипотеза (Е) из $ 1, и может быть назван парадоксом особой точки. К сожаленн!о, экспериментальные данные не подтверждают изменения подъемной силы с изменением формы крыла, указываемого теорией Жуковского. Мы получаем здесь следующий парадокс утолщения: теоретически коэффициент Ск должен возрастать с утолщением крыла; в действительности же обычно он убывает' ). $ й.
Эффект Магнуса; дернвацня Игрокам в гольф и теннис известно стремление вращающе. тося мяча уклониться от своей нормальной траектории в направлении, в котором вращается его передняя часть. Это явление называется эффектом Магнуса. Согласно Рэлею (112), т. 1, 343 †3), эффект Магнуса обычно объясняют качественно следующим образом. Локальная скорость воздуха относительно мяча из-за его вращения больше с той стороны, где вращение направлено назад, чем там, где оно направлено вперед (см. рнс. 3).
Следова. тельно, по уравнению Бернулли (3), давление с одной стороны ') См. С! во!!1 О., Лелй. Ассой. 1!лсей б (1927). Гб — 21 н 7 (19281, 17 — 19 н 538 — 643; а также Р(а!о ! ез1 Н., там же, 12 (1939), 409 — 41!. (Этот парадокс был нзвестен еще Н. Е. Жуковскому, который дал в связи с зтнм обьясненне явления подсасываюшей силы; см Ж у к о вс к н й' Н. Е., О поддержнваюпзнх планах тяпа Антуанетт, Труды отд. фнз. метем, научн. о-ва любителей естествознання, Ху, вып. 2 (!911).— Прим. иерее.) «) См, 1!1, стр. 232. — Прил. иерее. 32 Гл.
д Парадоксы и»вязкого течения меньше, и это дает равнодействующую в направлении, соответств ющем наблюдаемому. а основании данного объяснения очень трудно получить количественный результат, так как у нас нет какого-либо определенного способа для того, чтобы связать вращение с циркуляцией †да и случае цилиндра '), Прандтль предпринял героическую попытку определить хотя бы максимум подъемной силы Е, который, как он утверждал, достигается тогда, когда значение циркуляции определяется при условии, что имеется одна-единственная критическая точка з).
Основываясь иа этом, он нашел, что максимум коэффициента Сь равен 4к. Недавно это значение было превышеноз) — еше Рис. 3. Эффект Магнуса. один факт, показывающий ненадежность нестрогих рассуждений. Несостоятельность существующих объяснений эффекта Магнуса еще более ярко показывает следующий парадокс эффекта Магнуса. Парадокс эффекта Магнуса. При малыхскоростях вращения направление отклонения в действительности противоположно тому, которое дает объяснение Рэлея [и которое наблюдалось Магнусом) ') . Для того чтобы объяснить этот парадокс эффекта Магнуса, нужно, по-видимому, учесть турбулентность пограничного слоя— ') Как показано в 5 8, в случае сферы мы приходим даже к более глу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
