Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 5
Текст из файла (страница 5)
дх д (11) Одно-единственное уравнение в частных производных (1!) вместе с краевыми условиями (9) и (7«) сводит задачу для случая стационарного сжимаемого течения баротропной жидкости нулевой (малойу) вязкости к другой правдоподобной краевой за. ') В случае несмимаемости гравитационный эффект сводится к обыкновенной гидростатической подъемной силе, как показано в Э йп ') Прн этом последнюю функцию надо рассматривать как функцию аргу. мента И'(Р), — Прим, перец В случае безвихревого сжимаемого течения уравнение неразрывности (1) все еще можно записать при помощи единственной неизвестной функции (/(х), если только пренебречь эффектом гравитации, что обычно допустимо при достаточно больших скоростях, когда становится заметной сжимаемость ~).
(Если гравитацией нельзя пренебречь, как, например, в случае атмосферных движений больших масштабов, то условие (9) не может быть выполнено, даже несмотря на то, что безвихревое течение является допустимым.) Кинематика баротропного течения.
Полагая 6 = 0 в уравнении (8), при описанных выше условиях мы можем получить равенство ИР э 1 — =с = —, ир й (р) / (Р1/ УП) даче. Если только последняя задача решена, то нз уравнения (3) можно легко найти поле давления. Таким образом, мы свели задачу стационарного течения к чисто кинематической задаче. Если дано любое математическое решение уравнений (1!), (9) н (7ь) и если посредством уравнения (8) определено поле давления при 6 = О, то уравнение движения (2) удовлетворяется автоматически. Очевидно, что задача Неймана из 3 4 получается как предельный случай прн с †«аь. Допущение (Г), таким образом, позволяет получить гораздо болыпе, а именно, что решение можно разложить по степеням М' (метод Рэлея — Янцена, (!5], стр. 275).
й 6. Парадокс обратимости Одной из фундаментальных задач гидромеханнки является определение силы, действующей на твердое тело, находящееся в стационарном поступательном движении с постоянной скоростью а в однородной покоящейся жидкости. Если твердое тело движется параллельно некоторой плоскости симметрии, то эту силу можно разложить на лобовое сопротивление !г, подьемную силу Ь и момент М, действующий в этой плоскости. Лагранж мог бы заметить, пользуясь весьма простыми соображениями обратимости, что идеализированная краевая задача $5 может не привести к правильно~у результату при определении сопротнвления, испытываемого реальными твердыми телами при движении в реальных жидкостях. Основная мысль заклю.
чается в следующем (см. (1!). Определение 1. Обращение течения ц(х; !) определяется как ч(х; !) = — н(х; — !), причем в обоих течениях давление н плотность в соответствуюших точках одинаковы. Прямой подстановкой можно показать, что обращение любого течения, удовлетворяющего уравнениям (1) — (3), также удовлетворяет уравнениям (!) — (3), правда, при обращении и краевых условий.
В частности, справедлива следующая лемма. Л е м м а. Если ц(х) есть стационарное безвихревое течение вокруг твердого препятствия и п(со) = а, то таковым является и ч(х) = — ц(х) при ч(ьо) = — а. Кроме того, поля давления, так же как и О, Е и М, одинаковы для п(х) и ч(х), Эта лемма находится в качественном противоречии с динамикой реальных жидкостей: в действительности изменение направления движущегося тела на противоположное обычно Гл. 1. Парадокса иеелзкого течения влечет обращение величин 0 и 7. (хотя и не М) '), а не оставляет их неизменными. Поучительно проанализировать предыдущее противоречие подробнее. Пока не установлено, что краевая задача в 9 б корректно поставлена, нельзя делать вывод о том, что ее уравнения ошибочны. Возможно, что потребуется ввести какое-нибудь дополнительное условие. Действительно, как мы увидим в 9 10, это может оказаться справедливым для сверхзвукового течения (т. е.
если число Маха М > 1). Чтобы пояснить это, проведем следующее разграничение: О предел е н не 2. Будем называть гидродннамическиетеории неполными, если соответствующие условия определяют обтекание данного препятствия не единственным образом; переопределенными, если эти условия математически не совместны; ложными, если корректно поставленная задача дает грубо ошибочные результаты. Теорема 1. Всякая обратимая гидродинамическая теория в отношении расчета лобового сопротивления и подъемной силы является неполной, переопределенной или ложной. Дозвуковой случай. В дозвуковом случае, М < 1, по крайней мере для достаточно малого числа Маха недавно было показаноз), что краевая задача, определяемая уравнениями (11), (9) и (7*) из 9 б, является корректно поставленной.
Поскольку эта задача эллиптического типа, ее математическое решение У(х) должно быть аналитическим. Отсюда мы заключаем, что уравнения Эйлера — Лагранжа дают ложную теорию для стационарного дозвукового потока. Околозвуковой случай. По поводу этого случая, когда в дозвуковом потоке имеются локальные сверхзвуковые зоны, высказано много различных н противоречивых утверждений. Были построены математические модели подобных околозвуковых течений '), но они, по-видимому, очень слабо отражают физическую ') Клвсснческзя гндродннзмнкз правильно предсказывает тенденцию осесимметричных препятствий подстзвлять потоку более широкую сторону: ср.
[7[, 6 71, 124. (В случае тел, облвдвющнх продольной симметрией, прн обрещеннн потока 7. остается неизменным, з у М изменяется знак.) т) Сг ге!1! Р., 1. 77о1, Месь. Ала1узм, 2 (!953), 99:— 106; 6 !! Ь в тн Р.. твм же, 233 — 251; Р ! ! Ь з т 6 Р. апй 8 е г г ! и 3., там же, 4 (1955), 169 — 17о; Веге 1,, Сотт. Риге Арр1. Мам., 7(!954), 441 — 504; Г[пп йь 5. зпб 6 г! Ь в та Р., тзм же, !6 (1957), 23 — 64 н Ас1а Миш., 93 (1957), 265 — 276, Это обобщяет результат нз $4 нв случай М 0 (зздвчз Неймана). [Случай малых М см, в [3*] — Лрии. ред.[ з) М н з е с Р., Математическая теория течений снснмземой жидкости, ИЛ, М., И61, $25, и. 3. 6 Х Парадокс даламбера картину.
Еще более драматическим обстоятельством является то, что для некоторых профилей никакое околозвуковое течение без ударной волны невозможно. Этот парадокс околозвукового течении недавно установлен К. Моравец'). По терминологии теоремы 1, это означает, что задача околозвукового течения в теоретической (Эйлера — Лагранжа) гидродинамике может быть переопределенной. В 9 10 мы увидим, что задача сверхзвукового течения в типичная неполная задача, и примечательно, что различные разрешения парадокса обратимости в трех предыдущих случаях находятся в соответствии с общей математической теорией краевых задач эллиптического, смешанного и гиперболического типов.
й 7. Парадокс Даламбера Более известным и более давним, чем парадокс обратимости, является парадокс Даламбера. Согласно этому парадоксу, нз допущений, сделанных в 9 5, следует с) = Е = О. Для случаев Р и с. 1. 06теиаиие цилиндра, ио Эйлеру. кругового цилиндра (рис. 1) н сферы это следует, в силу симметрии, из явной формы потенциала скоростей: У= а (х+.— ",) (цилиндр). Ег'=а (х+ —,,) (сфера) (126) и теоремы Бернулли (8*) при и = О.
Если задача корректно поставлена, то наличие четырехкратной симметрии, как в данных случаях, позволяет показать, что Е) = Е = О, исходя только из соображений обратимости ((Ц, стр. 248). Вообще же парадокс Даламбера следует нз принципа обратимости для любого профиля, который обладает центральной симметрией, т. е. для такого, который отображается в себя при ') Сотт. Риге Арр1. МаИ., 9 (1956), 45-66, 19 (1957), 107 — И1 и 1! (1956), 199-144. [Си.
теките (4'), (5е).-Прим. ред.) Глс /. Пааадвягы яевезяогв теяеякя отражении относительно неподвижного центра симметрии. Обтекание плоской пластинки на рис. 2, а дает пример подобного рода. Давления, действующие на элементы поверхности, соответствующие друг другу при центральной симметрии, равны по величине и противоположны по направлению, Следовательно, эта система сил сводится только к паре сил (см. прим.
1) на стр, 26). Разде Раз Раз л 6 Р и с. 2. Обтекание плоской пластинки, ио Эйлеру (а), по жуковскому (б) и по Гельмгольпу (в). Демонстрация парадокса в общем случае дело довольнотонкое, при этом используется сложная теорема о поведении решений уравнения7ЧУ = О на бесконечности. А именно, пусть У(х) возрастает на бесконечности, по крайней мере как первая степень!х( = г. Тогда можно показать, что У=а х+р(х), где. (з(х) «регулярна на бесконечности» ([4), гл. Х, $8; (2е)). Под этим мы понимаем то, что р(х) можно разложять в некоторый 4 8, Т«оров крылоного ооойилл й 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
