Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Сверхтекучесть жидкого гелия — еще одно явление, которое не согласуется с теорией Стокса '). $21. Несжимаемые вязкие жидкости Ввиду трудностей, описанных в 9 20, основное внимание математиков было сосредоточено на уравнениях Навье — Стокса для несжимаемых вязких жидкостей в предположении, что величины р и р можно считать примерно постояннымн. Большинство специалистов считает, что теоретическая гидродияамика, основывающаяся на уравнениях Навье — Стокса, дает довольноточное приближение динамики реальных жидкостей, если число Маха М настолько мало, что можно пренебречь эффектами сжимаемостн.
Они уверены в том, что (перефразируя Лагранжа) «если бы уравнения Навье — Стокса были интегрируемы, то при малых числах Маха можно было бы полностью определить все движения жидкости» (ср. 9 !). Для того чтобы исследовать, насколько обоснована такая уверенность, мы преобразуем сначала эти уравнения к более удобному виду.
Объединив уравнения (1*) с условием несжимаемости (формула (1') из гл. 1),мы получим уравнение ! дпг дпу ) р — — рб — р ~ — + — !. г!' 0 ~дху дхз!' Если прн обычном выводе уравнений движения учесть члены, содержащие величину р, то получим вместо уравнения Эйлера (2) в гл. 1 следующее уравнение: — + — пгабр=я+~ре и, Рп 1 и Р! (3) Вместе с уравнением б!ч п=О (4) '! Си. Ео п д оп Р., зирегпшдв, ткг1!еу, 1954, сзр.
б — 13; !го п п е1- !у й д., Раув. Йвв., 199 (1999), !4б1 — 146з и приведенную гам литературу. 51 Э" 2д Несжимаемые вязкие жидкости уравнение (3) определяет (ньютонову) несжимаеную вязкую асидкость. Легко учесть, как действует сила тяжести на твердое тело, погруженное в подобную жидкость, используя следующий принцип '). Т е о р е м а 1. Для вязкой жидкости с постоянной плотностью ра гравитационный эффект эквивалентен наложению гидростатического давления рзсг. Д о к аз а тельство. Полагая в уравнении (3) ас = = — дб/дхг, где сл — гравитационный потенциал, мы получим в результате уравнение — "'+ — йтабР=»»зиг, гДе Р=Р+Роб.
(6) гл П р е д о с т е р е ж е н и е. Заметим, что преобразование теоремы 1 не сохраняет обычного краевого условия на «свободной поверхности» р = сопз1 для границы газ — жидкость. Следовательно, оно бесполезно при изучении волн на поверхности и кавитации (гл. 1П). Для того чтобы получить из уравнений (3) н (4) корректно поставленную краевую задачу, вместо уравнения (7) гл. ! введем краевое условие прилипания ') в следующем виде; и (х) = 0 на любой фиксированной границе. (6) (На движущихся границах н(х) = ч(х) — скорости движения границы, в то время как в невязком случае требуется, чтобы была непрерывной только нормальная составляющая скорости.) Напомним также основной принцип подобия.
Теорема 2. Пусть и =1(х, /) удовлетворяет уравнениял! (3), (4) и (6) при р = сопз1. Если величинь! у, Е, », у', Ег, »' постоянные и такие, что У//» = ГЬ'/»', то ( у') ( йХ /.угл ) (7) также удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6), где проведена замена р на Р' и р на р', причем угз р' — р'6 = (р — Ф). 2 1,гл (8) Л к т~.,г. л л!. вялас лл~ — ли в г Результат зол»чан даяал~аероль тьеоие ие!а гезмгапсе йеа !!з!йеа, статьи 48, 88, 91, з Ааазаззгг (!802!. 2) О значении злого !сяоанз лги скажелг з 5 ЗА 52 1'л. П. Парадоксы лагкого телезал Другими словами, любое изменение масштаба (в пространстве и времени), сохраняющее неизменным число Рвйнольдса )гЕ(ч = р)гЕ1(л = гсе, переводит несжимаемые течения, удовлетворяющие уравнениям Навье — Стокса, в решения тех же самых уравнений.
Р и с. 7а. С (йе) дли цилиндра. 000 400 г 1 п,п г 01 опп 0,04 о,оп п,пг ОО1 ' Оогйопогпдодг 4 о гп опгоо ооп чопогпого1 опппао ооооппп Ие Рис. 7б. Сд(йе) дли сферы. Следствие. Если два стационарных течения удовлетворяют краевой задаче (3), (4), (б) при одном и том же числе ДОО 40 го 10 О сг 1 0,4 0'0 пп Ог 01 01 000 гоп 100 00 гп 10 6 1 г 5 1О 10 10 10 1О 10 Ое = ип/и й 22, 11ара<)ака некиа шеиннаати рейнольдса н если эта краечЗая задача математически корректно поставлена, то обтекаемые этими течениями тела должны иметь один и тот же коэффициент лобового сопротивления Сп (Ке). Классическое экспериментальное подтверждение данного следствия (но не обязательно тех гипотез, которые при этом были использованы!) показано на рис, 7а и 7б, где приведены коэффициенты лобового сопротивления соответственно для цилиндра и сферы. Едва ли можно было предположить существование этих заме'!ательнь!х кривых, если бы свойства вязкости не были указаны в точной математической формулировке! Представления, лежащие в основе теоремы 2, будут подробно проанализированы в 9 71.
$ 22. Парадокс неаналитичности Лагранж построил первое доказательство того, что в невязкой жидкости завихренность частицы жидкости является перманентной. К сожалению, доказательство Лагранжа, как показал Стокс ([13), т. 1, стр. 10б — 112), ошибочно. Оно одинаково применимо и к областям в вязкой жидкости, где эта взвихренность неперианентна/ Ошибка заключалась в том, что скорость и завихреиность предполагатюь аналитическими функцнямп времени. Если это принять (согласно гипотезе (Е) из $ 1), то можно рассуждать следующим образом. Основное уравнение (3) эквивалентно (если применить операцию го1 к обеим его частям) уравнению т! —— н72$+ а - 7) ц Ой (9) относительно завихренности й = 7 Х и. С помощью независимых переменных Лагранжа а и 1, где а относится к движущейся частице, так что д/д( (а фиксировано) есть Р/Р1, мы можем преобразовать частные производные по формулам е Д вЂ”,.
=УА„,(, ) — „,. Применяя эту операцию к уравнению (9), получаем соотношение ог + 2и 1! (а, /)А /(а, 1) !! —,— — 7 1!+(1 7) и,. (10) Последовательно дифференцируя соотношение (1О) по времен ени 1 прп постоянном а, получим последовательность явных выражений для В'1,/И". Легко показать, что каждый член в Гтг. П, Парадокса вязкого течения каждом таком выражении содержит в качестве множителя либо $ь либо Рзаь либо одну из производных Иг/Ж...,.
О" 'Ег/И ' и т. д. Поэтому, предполагая все функции дифференцируемыми бесконечное число раз, индукцией по и получаем, что все О»ЫП1» = О г). Наличие вязкости проявляется в членах с пространственными производными от завнхренности. Для невязкой жидкости начальная завихренность $(а, 0) = 0 в любой точке х(а, 0) обеспечивает то, что все 0" в/0(»(а, 0) = 0 в тех же точках, в то время как в вязкой жидкости для обращения в нуль пространственных производных от завихренности требуется отсутствие завихренности в некоторой окрестности точки х(а, 0). И в том и в другом случае, если функция й(а, 1) аналитическая по й то она тождественно обращается в нуль, так как все члены ее разложения в ряд Тейлора (по 1) тождественно равны нулю. Это приводит к следующему парадоксу'). П а р а д о к с н е а н а л и т и ч н о с т и.
Для того чтобы область жидкости, находни(аяся вначале в состоянии покоя (илгг в безвихревом движении), стала завихренной, она должна уже иметь завихренность, которая является неаналитической функцией времени. й 23. Существование и единственность Прежде чем выяснить пригодность уравнений Навье — Стокса для описания механики реальных (несжимаемых) жидкостей, нам следовало бы убедиться в том, что с их помощью можно формулировать физически естественные краевые задачи, которые математически оказываются корректно поставленными (см.
теорему 2, следствие). То есть мы должны иметь теоремы существования и единственности, которые до сих пор доказывались только при весьма ограниченных допущениях. Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве исполь- ') Если первоначально $ = О. — Прим.
»врвв. ) )у н Ь его Р., Тга)14 г)'коего!Чое, т. 2, стр. 121; Т гаса д е!1 С., КЬ пег»айса о! чогцсг1у, )огнапа 1Зо!ч. Ргеаз, 19ь4, $104. й 24. Течение Пуозгдлч 55 зуется уравнение (9), которое для плоского течения имеет упрощенный вид. тзс ч. дз до (11) Однако в пространственном случае даже для конечной полной энергии было доказано только существование — и то лишь для ограниченных интервалов времени'). Хотя предположение о конечности полной энергии, вероятно, может быть ослаблено,— пожалуй, достаточным может оказаться ограниченность скорости, — Е.
ХопФ' ) показал, что задача Коши для уравнений Навье — Стокса не является корректно поставленной, если допустить, что с увеличением расстояния от начала координат скорость возрастает линейно, а давление — квадратично. В стационарном случае теоремы существования доказаны для обтекания препятствий произвольной формы как в плоскости, так и в пространстве, но не доказаны теоремы единственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
