Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 14
Текст из файла (страница 14)
леопарде также заметил поповне воздуха а воды (там же, стр. 6451. Гя П, Парадоксы вязкого течения жидкостей. Согласно теории, при неограниченном возрастании числа Рейнольдса Ке пограничный слойдолжен стремиться стать бесконечно тонким. Отсюда следует, чта при достаточной изобретательности мы в состоянии рееулировить этот пограничный слой произвольно малым усилием так, чтобы аппроксимировать течения Жуковского с ивлевым сопротивлением и большой подъемной силой.
Для достижения этой цели было проведено огромное число тщательных исследований и экспериментов; некоторые из них мы сейчас вкратце рассмотрим '). Наиболее известным является то соображение, что сопротивление можно уменьшить при помощи улучшения обтекаемости. Под этим мы понимаем подбор для крыла самолета такогоочертания, которое сводит к минимуму градиент противодавленяя. Это должно было бы задержать отрыв потока и таким образом уменьшить лобовое сопротивление, позволяя избежать застойной области у передней кромки либо отрыва вблизи иее.
На практике это достигается тем, что передняя кромка округляется, а остальная часть тела постепенно суживается да острой задней кромки. Опасность появления застойной области, которая уменьшает подъемную силу, равно как увеличивает лобовое сопротивление, прежде всего возникает при больших углах атаки. Для того чтобы задержать появление застойной области, весьма полезно также слегка искривить профиль крыла книзу. В предельном случае профиля в виде дуги окружности легко убедиться в том, что этот прием позволяет избежать бесконечного значения скорости на передней кромке; в общем случае течений Жуковского это приводит к значительному уменьшению градиента противадавления на верхней (подсоской) стороне.
Главной задачей национальных лабораторий в течение 1910 †19 гг. было создание оптимально обтекаемых очертаний для самолетов, летавших со скоростями не более 400 км]нис (когда можно было пренебречь эффектами сжи. маемости). Для анализа экспериментальных данных и проектировании новых опытных конструкций большим подспорьем был расчет распределения давления согласно теории Жуковского, а следовательно, по уравнениям Эйлера. Однако ценность таких расчетов не в определении значений подъемной силы, лобового сопротивления илн момента (ср.
$8), а в том, что онн позволили указать на переход к турбулентности и на отрыв потока в по- '1 См. [3], тл. ]2 н [43], тл. ]3, где содержится более полное введение в рассматриваемый вопрос. Относительно идей Прандтли см. [! !], т. 2, и. 50 — 52 и 9! — 93. 4 29. Регулирование пограничною слов граничном слое.
Как это далеко от первоначальной концепции Лагранжа! При больших углах атаки можно избежать потери скорости и получить большую подъемную силу при помощи так называемых разрезных крыльев. Такие крылья знакомы пассажирам самолетов и могут быть получены при помощи предкрылка и закрылка. К сожалению, разрезные крылья увеличивают лобовое сопротивление, поэтому их используют лишь на взлете и при посадке, когда в первую очередь важно получить большую подьемную силу при уменьшенной скорости. Хотя трудно предсказать математически, как работают разрезные крылья, характер влияния щелей на течения вдоль верхней стороны крыльев, очевидно, подобен действию струй, которые снижают тенденцию к отрыву потока посредством ускорения пограничного слоя. Изобретательные техники пробовали также использовать струи для тех же целей.
Другое многообещающее приспособление основано на создании принудительного подсоса либо через щели, либо через равномерно размещенные круглые отверстия на тех участках, где иначе произошел бы отрыв пограничного слоя. В этом случае пограничный слой отжнмается к стенке, и мы опять получаем лучшее приближение к течению Жуковского. Если используются щели, то, исходя из теории Жуковского, нужно создать повышенное давление как раз впереди щелей'). Можно также попытаться использовать подсос для того, чтобы сохранить пограничный слой Ааминарным, тем самым опять-таки уменьшая лобовое сопротивление.
К сожалению, очень трудно, по-видимому, получить такое ламинарное течение. Даже летящие в воздухе насекомые могут вызвать турбулентность при обтекании самой гладкой поверхности крыла. Последняя идея Прандтля заключалась в том, чтобы помешатьуменьшению скорости в пограничном слое, а следовательно, и отрыву, используя движущиеся грани!(ы Хотя в лабораторных условиях и можно продемонстрировать правильность рассматриваемой идеи'), но до сих пор ее применение имеет лишь эмпирическую основу, так что в дальнейшем мы больше не будем возвращаться к этому вопросу.
') См. Со1да1е(п Я., А Аег. Зс!., 15 (!948), !89 220; Р1еп п(пяег %., там же, 16 (!949), 227 — 236; (7 оеь пь о11 А. Е., ьо1(оп 1.. К., Зг., там же, 729 — 740; 1. а с и гп а и и П. Ч., А !(оу. Аег. 5ос., 59 (!955), !63 †1. ') См. [1!), и. 5! — 52; Ас(геге1 3., (заа мо1огасЫП..., Сое!11пкеп, 1925; Р а ч г е А., Согпргев йвпоив, 202 (1936), 434 — 436.
По поводу адей Прандтая см. также $9. Гл, П, Парадоксы ела«ого течение бб Технические трудности, встречающиеся при реализации упомянутых выше соображений, не должны заслонять лежащую в их основе идею — аппроксимацию идеального течения Жуковского, описанного в $8. $ 30. Парадокс Стокса В 2 25 — 29 мы рассмотрели трудности, связанные с теоретическими расчетами течений при больших числах )се. Теперь мы перейдем к противоположному случаю, когда 1(е- О.
В этом случае разложение по степеням )че уже ие связано с «сингулярным возмущением» в смысле $24; нелинейный конвективный член и тн не будет членом самого высокого порядка, и с математической точки зрения представляется вполне целесообразным его попросту опустить. Это было сделано Стоксом, который ввел, таким образом, новый класс идеальных течений, обычно называемых «ползущими». В таком приближении Стокс вывел формулу О = бнрсчт для сопротивления, испытываемого твердой сферой радиуса с при медленном движении со скоростью о в жидкости с вязкостью )ь.
При выводе существенно используется гипотеза (С) применительно к осевой симметрии. Окончательная формула ()5) хорошо подтверждается экспериментально') при Ке <0,2. Казалось бы, вполне естественно применить тот же самый метод к круговым цилиндрам, движущимся перпеидикулярнооси. Однако в этом случае мы имеем следующий парадокс. П а р а д о к с С т о к с а. Стационарное «ползущее» обтекание кругового цилиндра невозможно.
Док аз а тель с т во. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье — Стокса ()!) сводятся к уравнению )7ть= О. Если У в функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению г)чУ = О, т. е. У в бигармоническая функция. Отсюда следует, что У вЂ” аналитическая функцияз). Действительно, во всяком круговом кольце функцию У можно разложить в ряд Фурье У= ~"., а„(г) соз нб+ Ь„(г) в)п аб. (16) ') )3), и 2!3. По поводу формулы (13) см. )7), п. 337 — 338. ') Относительно свойств используемых бигармонических функций см. (и!со!еасп М., )лз !опс!гопз ро)уйаггпоп!Чпез, Неппапп, !936, особенно стр.
13 — !б и стр. 32. Обычно вместо строгого доказательства ссылаизтсв на гипотезу (Е). д дд Парадоке Стоеее где а (г) и Ь„(г) удовлетворяют соотношениям 4 Н' г 'д Еппп = Епдн = О, Ее —— — „е + — „— и г~. (16') Если вектор скорости (дУ/ду, — дУ/дх) в прямоугольных координатах ограничен на бесконечности, то простое вычисление дает соотношение а,(г) = А,г+ а,/г, и а„(г) =а'„/г'-а+ а„"/г" прн п >~ 2. Отсюда следует формула +1, + 1 + а,сове+а,аее + г С другой стороны, если 74У = О, то из теоремы о дивергенции следует уравнение ~' ~'(тер)е / / ~ ~ре(, дУ 1 д А с где С вЂ” кривая, ограничивающая область А. Пусть теперь А — область между цилиндром и большой окружностью радиуса г.
Так как на цилиндре У = дУ/дл = О, интеграл в правой части предыдущего уравнения, взятый по этой части С, должен обращаться в нуль. На большой окружности, поскольку уела=О(г '), У= 0(г), ЧУ= 0(1) и 7(7'1/)=0(г е), справедливо соотношение ~),че~ — — и — (У и)~1/3=0(г е).0(,) с при г — ь ° ае.
Так как ( т'У)е ) О, то отсюда следует, что Ю~/= О, т. е. У должно быть гармонической функцией. Следо3 вательно, в формуле (!7) а„=Ь„=О. Наконец, из условия дк/дг = О в условия прилипання на поверхности цилиндра— следует, что У = Уе и о = О, а это завершает доказательство'). ~) Педрааное изложение еаересое $30 е $31 еи.
в 11*],— Прим, ред, Гл. П. ПаРадокса вязкого течения й 31. Уравнения Озееиа Озеен') и Ламб ввели парадокс Стокса в рамки теории, показав, что конвективные члены преобладают над вязким членом при очень больших значениях г, как бы ни было мало число Гсе. Переопределенности можно избежать, более аккуратнопереходя к двойному пределу при це- О, г- + оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
