Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Чтобы получить разрешимую краевую задачу, Озеен предложил ввести в оператор !1/Р/ вместо точных членов '~~ иид/дхя линеаризованные конвективные члены Х ия(со)д/дхи. Благодаря введению таких слагаемых в уравнения Стокса Озеен смог получить теоретическую формулу для лобового сопротивления в случае медленно движущегося цилиндра. Приближенное экспериментальное подтверждение втой формулы возможно, хотя и оказывается довольно трудным (!3), гл. 1Х). Это разрешение парадокса Стокса в свою очередь привело и другому парадоксу, открытому Файлономт). В парадоксе Файлона утверждается, что уравнения Озеена, взятые буквально. дают бесконечный момент для эллиптического цилиндра, косо поставленного относительно потока.
Этот парадокс был недавно разрешен Иман при помощи перехода к более высоким приближениям. Приближенные уравнения Озеена можно также использовать для исправления формулы ([б), чтобы учесть влияние малого, но конечного числа Гсе на лобовое сопротивление сферы; поправочный множитель оказался равным (1+ ЗГте/8). Этот поправочный множитель был тщательно исследован Гольдштейном з), который получил степенной ряд для коэффициента сопротивления Со(Гте)„сходящийся, вероятно, при це < 2. Экспериментальные измерения, по-видимому, дают меньшее сопротивление; кроме того, ввиду асимптотического характера исследований Озеена возникает вопрос, не будет ли окончательная формула верна только асимптотически 4). Обзор решений других краевых задач, к которым приводят уравнения Озеена, дан в работе [9), часть П!.
Однако аппроксимация конвективных членов весьма неточна вблизи препят- ') [9], стр. Р32; [7], стр. 769; см. также [12], т. !Г1, стр. 29 — 40. ') Р1! оп (., Ргос. йоу. 3ос., А113 (1926), 7 — 27. По поводу объяснения пвпвдоксв Фвялонв, данного Иман (!гав(), см. там жс, А208 (!951), 487 — 516. ') гло1бз1е1п 5., Ргос. йоу. 3ос., А!23 (1929), 225 — 235; нпи [31, $215. Ср.
ЦГеуззеп и о11 3., Аппа!еп ггег РнузГЙ, 62 (!920), 1 — 45. ') См. Квр!но 5., (.вбегя! гога Р. А., 1, Маис Месь., 8 (1957), 585 — 5931 Ргонбгпвп 1., Ревгзоп /. й. А.. Л Р(аЫ МесИ' 2 (1957), 237 — 262. 4 32. Парадокс пузырька ствнй и стенок. В связи с этим теория пограничного слоя Прандтля при больших числах Рейнольдса значительно более плодо. творна. й 32.
Парадокс пузырька В теории подводного взрыва мы встречаемся с положением, аналогичным парадоксу Стокса. Хотя существует простая и чрезвычайно полезная теория сферических пузырьков, возникающих при подводных взрывах'), легко показать, что в двумерной гидродинамике для всякого расширения или сжатия пузырька в несжимаемой жидкости требуется бесконечное значение кинетической энергии г 11(рЧи Чи)72зсг2у.
При конечных силах сжимаемость всегда должна играть основную роль на достаточно больших расстояниях. Имеются еще два любопытных парадокса, происхождение которых скорее физическое, нежели математическое, и которые показывают уязвимость гипотезы (А) нз 9 1. Пусть маленький воздушный пузырек поднимается в жидкости под действием плавучести, причем он настолько мал, что вследствие поверхностного натяжения сохраняет почти сферическую форму и его движение — «ползущее». Так как пузырек состоит из газа, то вместо условия (6) надо взять его логическое обобщение: п(х) должна быть непрерывна прн переходе через границу.
Поставленная таким образом математическая задача была решена Рыбчинским и Адамаром при добавочном предположении непрерывности тангенциального напряжения'). Теоретически лобовое сопротивление определяется по формуле 0 = бпсп]х1 ', +З,~ = 4пс]хт!, если Р.г « Р, (18) 7 2в+ Зи' х ~зн+зн ~— где м — вязкость жидкости, а р' — вязкость жидкости поднимающегося пузырька. Все это относится к теории. На практике же для сопротивления, по-видимому, обычно верна формула (16), а не (18).
Это значит, очевидно, что пузырек ведет себя так, как если бы '] См. [7], и. 91 — 9]а, или 117], гл. Х1, 4 1 — 3 х] К уЬ схупэ1г1 1Ч., Вин. Асад. Бес Сгасоте (191!], 40; На г] ат а г д Д, Солгр!ез ]]елдиз, 152 (1911), 1735. Относительно экспериментальных данных см. В а гг О., А гпаппа! о1 е!асоше1гу, Ох1огд, 1931, стр. 190 и дальше; В г> и Т., рохас]гиля 7лд., 4 1!933), 27-30; 11!], т, 2, и 74, 70 Гд П. Перовском еюзкого течению он был твердым телом.
Такое противоречие между теорией и экспериментом может быть названо парадоксом поднимающегося пузырька. Как предполагали Бонд' ) и другие авторы, кажущаясятвердость, возможно, объясняется образованием тонкой (мономолекулярной) пленки на поверхности пузырька из различных примесей, и эта пленка оказывает сопротивление деформациив). Однако полная картина все еще не ясна.
Еще более эффектным является следующий парадокс. П а р а д о к с п а д а ю щ е г о п у з ы р ь к а. При вертикальном градиенте температуры в жидкости изменения поверхностного натяжения могут привести к тому, что пузырек будет опускаться, а нг подниматься з). Стягивание поверхности пузырька по направлению к стороне с ббльшим поверхностным натяжением заставляет пузырек в вязкой жидкости двигаться в направлении убывания поверхностного натяжения, т. е. в направлении возрастания температуры. Это явление кажется парадоксальным только потому, что оно так необычно, и потому, что в механике жидкостей почти всегда условно принимают поверхностное натяжение (как и вязкость) постоянным.
$ 33. «Вторая» вязкость Как указывалось в 9 19, при обычном выводе уравнений Навье — Стокса (1*) мы имеем дело с двумя коэффициентами вязкости )г и )г. Можно принять, что коэффициент вязкости )ь при сдвиге измеряется для течения Пуазейля; тогда остается задача измерить коэффициент )ь и проверить следствия уравнений ([е) для этого коэффициента )ь, который, вероятно, зависит от температуры Т и давления р. Как было сказано в 9 19, Стокс просто предполагал, что )ч = — 2)ь/3. Однако ясно, что надежнее ввести в рассмотрение величину и' = Х + 2и/3 и исследовать ее экспериментально. С физической точки зрения )ч и «вторая» вязкость и' не имеют смысла, пока они не определены и не измерены экспериментально.
' В о об цг. Х., РЫ!. Моя., 4 (!927). 889 — 898. Отличима обзор вопроса см. Мс Х очи Х 5., ьп пепите В(опсае, 8 (1951), 701 — 722. т) Сопротивление может быть вязким илн упругим; см. С г(б 81е )3.%. впб М ее б е г й. 1., Лг., /. Арр!. Рьуюсг, 28 (1955), 838 — 842 и приведенную там литературу. з) В 1 о с 1г М.
Л., У о и п и (Ч. О., О о 1 б з 1 е 1 п д 5., д Р!и!сг Месн., 6 (1959), 350 — 358; см. [171, стр. 3!9. 5 38. еВтораяз еязкопв А это сделать не легко. Так, в пограничных слоях сжимаемой жидкости значение 1!' не играет большой роли, так как величина деформации сдвига намного превышает величину сжатия. Отчасти по этой причине в теории течений с большими скоростями евторой» вязностью обычно пренебрегают') и наиболее добросовестные авторы оставляют открытым вопрос о соотношении Пуассона — Стокса )з' = О. Экспериментальные определения )ь' обычно основывались на измерении затухания звука, но теоретическое истолкование таких измерений далеко не просто. Так, Стокс в своей'теории затухания звука не только предполагает, что р' О, но все внимание уделяет только величине )з и, кроме того, не учитывает рассеяние, вызываемое теплопроводностью (тепловая диффузия).
Последнее было учтено Кирхгофом, который также вычислил (с большим завышением) затухание, обусловленное трением в пограничном слое при распространении звука в трубах' ), причем учитывалась только величина )з. Но, по-видимому, оба эти автора не рассматгпивалн затухание звука как средство для измерения величины р . Хотя интерпретация экспериментальных данных все еще является до некоторой степени противоречивой, следующие факты, по-видимому, вполне разъяснены, Для некоторых газов, таких, как Не, Аг и Из, опыт согласуется с предположением )т' = О').
Но другие газы, такие, как Оз н СОз, дают гораздо более резкое затухание звука в определенных полосах частот '). В воздухе непропорционально большие эффекты могут быть вызваны незначительной относительной влажностью или небольшой примесью СОь равно как и пылью, а также шероховатостью стенок (в трубах).
Для большинства жидкостей поглощение сильно зависит от частоты; кроме того, необходимо тщательно следить за содержимым пузырька. Так, прн относительном объеме пузырька, равном 0,[7%, скорость распространения звука ') Ом, [!5), стр, 36 — 38, и [10), гл, 11. По поводу замечавий отпосительпо предположения р' 0 см. [7), п. 326, 328; [10), стр. 135, и [1!), т. 1, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
