Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 20
Текст из файла (страница 20)
тока, п ит эквивалентно введению в предыдущем параграфе множнтеля (1 + (еа) ° Однако постройть течения Гельмгольца с условием Я чьО в бесконечном потоке гораздо труднее. Кроме того, реальные каверны имеют конечные размеры, а построить течения Гельмгольца с конечными кавернами особенно трудно нз-за следующего парадокса. Парадокс Бриллюэна. Каверны конечного размера, удоелегворяюи(ие условию Бриллюэни, математически невозмоаени. Ннже мы кратко рассмотрим доказательство (см. (19)). Поскольку давление внутри каверны минимально (условне Бриллюзна), свободные линни тока обращены своей вогнутостью в сторону каверны, которая должна быть поэтому выпуклой.
Но такая каверна должна иметь критическую точку, в которой схо- д ее. Модели теееиил ири Ц чьв дятся две свободные линии тока, с минимальным давлением рм По теореме Бернулли из этого следует, что [и[т = 2(р. — р)/р~О везде, за исключением свободной границы, а это означает, что и = О тождественно. Чтобы избежать парадокса Бриллюэна, были построены различные модификации течения Гельмгольца путем искусственного изменения задней части каверны. Можно полагать, что таким образом будет выполнено условие Я+ О без значительного искажения течения около препятствия, создающего наверну. Так, в 1921 г. Рябушинский [39] построил течение Гельмгольца со свободными линиями тока для двух симметрично расположенных пластинок (см. рис. 16, а) с условием Я > О.
Это построение можно кратко описать следующим образом (см. [17), гл. У, $9). еОбласть годографа» (т. е. диаграмма на С-плоскости) одной четверти течения, очевидно, представляет собой четверть круга, а область ЯР— квадрант ввиду вертикальной и горизонтальной симметрии. Следовательно, конформное отображение области годографа на область [[Р выполняется (см.
$40) по формуле !ргз а(С +С )+Ь С С'+2аС +1 (!6а) е(Се+ С т)+д С'+2рСе+1 Посредством выбора единиц измерения мы можем свести все к случаю С = 1 и С 1 прн ЯР = оо, из чего следует [т = — 1. После этого получим соотношение тг т 2п' -~. 1 (1бб) [Се — 1! откуда величину л = ~ с[В'ть можно получить в виде эллиптического интеграла.
Если и есть скорость на свободной линии тока, то С = тт при [[[г = О, откуда Сл + 2ХСт + 1 = (Ст — от) (Ст — о а) и ~= — — (ее+о т). По уравнению Бер- 1 2 нуллн Я = и' — 1, откуда 3 = 2 [(1+9)+(1+9) 1 С помощью этих формул легко найти коэффициент Сп как функцию Я. Другое важное течение Гельмгольца с условием Я > О было построено в 1946 г. Эфросом н, независимо от него, Гильбаргом и Роком ').
Вместо симметричной каверны оно имеет возвратную струю (см. рнс. 15, б) '). Возвратные струи наблюдались экспериментально, хотя они, по-видимому, образуются лишь ') См. [17), гл. Ш, 5 8, по поводу литературы и подробиостей пычислеиий. т) См. [16'1, подрооиости и [17'1, — Прим, ред. Гл. 1П. Струи, следы и ковитоиия время от времени и неустойчивы'). Поэтому модель возвратной струи представляет особый интерес с физической точки зрения.
Позади выпуклых тел можно построить также «заостренные» каверны прн () «, О, хотя в свое время считали, что это невозможно'). Однако такие каверны вовсе не похожи на наблюдаемые, образцы которых показаны на фото 1 н фото П (см. $ 51). Сохранить повышенное давление в устойчивой каверне (или в следе конечной длины), по-видимому, очень трудно. й 45. Криволинейные препятствия Для математического аппарата, описанного выше, сушественно то, что нам известны слециальныа конформиые отображения и интегралы от специального вида функций.
Хотя этот аппарат тщательно разработан и пригоден для решения многих задач с полигональными препятствиями (см. (17), гл. П, П1 н Ч), он, вообще говоря, не пригоден для исследования кавитационного обтекания криволинейных препятствий. Создание быстродействующих вычислительных машин дало возможность подойти по-другому к этой проблеме, пользуясь общими теоретико-функциональными методами. Хотя такой подход до сих пор успешно применялся лишь к плоским течениям и хотя ниже мы будем рассматривать только такие приложения, подобные методы вполне могут быть применимы к осесимметричным и даже к произвольным струйным течениям. В качестве иллюстрации этого современного подхода мы рассмотрим общий случай криволинейного препятствия, симметрично расположенного в бесконечном потоке, как показано на рис.
16. Мы снова будем предполагать, что смачиваемый участок АСВ поверхности препятствия расположен вертикально, и выберем единицы измерений так, чтобы на свободной гранйце было выполнено условие [Ц = 1. Следуя Леви-Чивита (ЗЭ), отобразим конформно и однозначно односвязную область течения на внутренность полукруга 1' [г [ < 1, [ш (Г) > О. (17) ') В задней части каверны за осесимметрнчным препатствием может образоваться также пара вихрей с пустой внутренней областью [[421, стр. 230).
з) См. работу [!71, гл. Ч, $ 10, 14, а также работу 12[, стр. 58. [Случай заостренной каверны перед йластинкой был рассмотрен С. А. Чаплыгиным еше в !899 г. [18*[. Задача о заостренной каверне зз обтекаемым клином также была решена С. А, Чаплыгиным [19"). — Прим. Рад[ 9 ВД Егриволилеалмв препятствия Из основной теоремы о конформных отображениях ') следует, что имеется в точности одно такое отображение Е /(г) области течения на внутренность полукруга Г, переводящее точки А, В, С соответственно в точки 1, — 1, г. Очевидно, что функция /(г) отображает свободные линии тока на диаметр, расположенный на действительной оси, а смачиваемый участок поверхности лреиятствил — иа лолуокруясносте Е = еги(0 л.о( к).
(В зтом случае мы используем обозначения, отличающиеся от $ 38 — 40.) Чтобы получить выражение для комплексного потенциала, 6,4,е,4 л / Р н с. 16. Обтекание крпволнпейного пре- пятствия. удобно отобразить область Г на верхнюю полуплоскость посредством конформного преобразования Е+Е-' гЕТ 1 — Е Т= —, так что — = — —,. (18) 2 Тогда комплексный потенциал, очевидно, задается так: У= 2 . лт =МТ, М)0. М Тт ггн' (18') где М вЂ” некоторая положительная постоянная. Это следует из того, что формула (18') позволяет отобразить область течения на плоскость с разрезом, причем точка разветвления Е = Е попадает в точку йу Т = О, а точка иа бесконечности Е = Π— в точку Ф' Т оо.
Теперь рассмотрим функцию (Š— Е)/(Е + Е) = (1 + гЕ)/(1 — !Е). Модуль ее равен единице, если Š— действительное число; ее аргумент на участке АС равен к/2, на участке СВ равен ') В! еЬ ег Ь а сЬ 1., Ьеьгьцсь бег Рцпж!опеп!Ьеог!е, Зрг!паег, Е.е1рг!и, 1923, т.
1, стр. 61. По поводу прннцнпа отраженна Шварца см. там же, стр. ктб. (На русском языке см., напрнмер, М ар к угаевнч А. И., Теорня аналитическая функций, ГИТТЛ, М.— Л., !960; нлн Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Мегодй теории функцна комплексного переменного, М.— Л„ 1991. — Прим. перев.) Га ИД Струи, следи и каеагация — к/2, в точке С имеется скачок аргумента — к.
Новая функция й(1) = 6+ и, определенная формулами — ) Е-»а <»1 Г»! ) Е»а <»> »1+И<, »1 — и» ~ ~ — »г 7' ' =!!+и) (19) й (г) = а,(+ а,('+ а,ге + .. (20) где все а» действительные числа, причем радиус сходимости ряда (20) не меньше единицы. Для неподвижной границы И! ! с помощью довольно тонких рассуждений можно доказать, что функция й(») даже непрерывна ([171, гл. Ч1, стр. 135). Не строго выражаясь, множитель (! — »И)/(1+ И) «снимает» простой полюс для функции Ь-< (нуль для функции ь) в критической точке.
Обратно, для данной функции (20) с радиусом сходимости, равным единице или больше единицы, уравнения (19) и определяют течение, разделяющееся на две симметричные части позади гладкого препятствия АСВ, имеющего непрерывную ка- сательную. Это приводит к классическому результату Леви-Чи- внта. Теорем а 1. Течениям, разделяемым на две симметричные части симметричным лрелятствием в бесконечном лотоке, однозначно соответствуют различные функции вида (20), регулярные лри И! < 1 и нелрерывные лри 14 = 1, и постоянные М. Этосоотвегствие задается уравнениями (19), (20) и (21). также аналитическая и регулярная функция внутри области Г. На свободной границе, где 1 — действительное число, имеем равенство !1+ И! = !! — И. и следовательно, можно записать соотношение 1=!С!=~ — »» ~е <»>=«(1). 1+и < 1 — и~ (19') Поэтому функция т(1) обращается в нуль на диаметре полукруга Г, т.
е. функция й(1) действительна, когда действительно й По принципу симметрии Шварца (см. прим. 1) на стр. 93) функцию й (1) можно аналитически продолжить на внутренность единичного круга И! < 1. Поэтому в рассматриваемом нами симметричном случае (~ и»й(!) действительные на мнимой осн 1, являющейся осью симметрии) мы можем написать равенствб 6 46, Прямая эадаяа 9 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
