Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если условие (27) усилить до вида ху'(х)/й(х) ° 0(1/1п х), то можно получить соотношения у(1пм)ц 1 у-Схъ((пх) ' (т. е. ~ Ит У "" ~=сопз1) (28) ,и+со и лобовое сопротивление можно выразить по формуле 1л— 8 Однако Левинсон не доказал, что такие каверны существуют. Первое доказательство существования конечных осесимметричных каверн было дано в !952 г. Гарабедяном, Шиффером н Леви (24). Пользуясь принципом Рябушинского о том, чтосвободиые линии тока экстремизируют присоединенную массу относительно вариаций, оставляющих постоянным объем каверны, а также пользуясь новым результатом о том, что «снмметризация» уменьшает присоединенную массу, этн авторы доказали существование осесимметричных течений Гельмгольца «типа '1 Сы, также 121 9 8, тле указанные вопросы впервые были рассмотрены с такой точки зрении.
з) 1.ет1пзоп М., Апла1е ог Май., 47 (!848), 704 — 730. (Сн. также И7'1. — Прим. ред.) Рл. ПА Струи, следы и каеитачия Рябушинского» (рассмотренных в $44) для профилей произвольного очертания (и для любого Я > О). Существование же течений Гельмгольца с бесконечными осесимметричными кавернами не доказано детально, хотя показано, что это достаточно правдоподобно. Единственность бесконечной осесимметричной каверны была доказана для препятствий с данной точкой отрыва Гнльбаргом и Серрином. Доказательство основано на методе сравнения, впервые введенном М. А. Лаврентьевым ').
Замечательным в указанных доказательствах является то, что в них используются существенно новые идеи. Это оказалось необходимым, так как аппарат конформных отображений, традиционно используемый в случае плоских течений, здесь уже не пригоден. Любопытно также, что хотя существование и единственность плоских течений со свободными границами были доказаны более чем через 50 лет, после того как были построены первые нетривиальные примеры таких течений, мы до сих пор не знаем нн одного представляющего интерес аналитического («точного») осесимметричного течения Гельмгольцаз), и это несмотря нато, что мы располагаем теоремами существования и единственности. Поэтому при анализе частных осесимметричных течений Гельмгольца приходится опираться на приближенные методы.
Из применявшихся до сих пор методов наиболее остроумным является метод разложения по степеням числа подобия, разработанный Гарабедяном (25) з). В то время как предыдущие авгоры получили для коэффициента сжатия струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской пластинке, величину 0,61, вычисления Гарабедяна привели к результату 0,58. $49. Законы сохранения Математические доказательства результатов, сформулированных в $48, крайне сложны. Полезные результаты относительно осесимметричных течений Гельмгольца часто можно получить гораздо проще, обращаясь к физическим законам сохранения, как это и будет сделано ниже. ') П !1 Ь а гк 1)., А )га1. Месй.
Ала(., ! (1952), 309 — Зм) и 5 е г г(п 3. В.. там же, 2 (1953), 563 — 575; см. также [171, гл. !'17, 6 12 — 14. Рабату 54. А. Лаврентьева см. в Математическом сборнике, 46 (1938), 391 †4. т) По поводу анализа приближеииыз реглеиий см. В1г)гЬ о11 О., 5угпроз!пгп оп (Чача( Нубгобупаписз, Аикиз1, 25 — 29, !958 [32[. з) Критические замечаиии по этой работе см. РФЖ «Меканиказ, гй 5, Б 369, 1963 г, — Прим, ред, 4 49. Законы сохранения 101 гяруя А* 1 А 2 (29) Кумуляти нные за ряды. Другое важное применение законов сохранения мы находим в теории направленмыл зарядов, которые использовались в американских «базуках», в британских Р1АТ и разных других видах противотанкового и фугасного оружия времен второй мировой войны. Мы здесь кратко изложим сущность подобного применения теории струй; дальнейщую литературу можно найти в работах (17), стр.
16 и [22*). Конструкцию и действие такого оружия можно в принципе описать следующим образом. Взрывчатое вещество с металлической прокладкой окружает полую выемку; детонатор снаряда расположен в тыльной части. Рассмотрим только случаи конической и клиновидной металлической прокладки; в продольном ') Это случай «бе»напорного течения»; см. »!ь зон А. Н., Нуоган11«з, СОН»1ЗЫЕ, ЬОП4ОН, 4-Е Недо Стр. 122; Е«О УСЛОВИЕ НЕ ВСЕГда ВЫПОЛНяЕтСя. Насадок Барда. Рассмотрим сосуд с вертикальными стенками, который заполнен жидкостью плотности р и в который вставлен насадок Борда с поперечным сечением произвольной формы и площади А (см.
рис. 19); пусть давление на уровне насадка равно р. Мы предположим, что срыв течения ') с насадка происходит у его внутреннего края и что скорость струи, вытекающей из насадка, асимптотически приближается к постоянному значению о, которое представляет собой постоянную скорость на свободной линии тока, ограничивающей струю. Пусть А" — асимптотическое попереч- поршень ное сечение струи; тогда, по определению, А*/А есть коэффи- 6, циент сжатия. Мы подсчитаем его следующим образом. Объем жидкости, вытекающий за единицу времени, равен оА", его количество движения равно о'А'; «расход» кинетической энергии составляет '/зри»А».
С другой стороны, добавляемое количество движения равно рА Рнс. 19. Истечение нз насадка (избыточное давление), а эиер- норде гия (потенциальная) равна р(оА»). Отсюда рА ро»А» и роА* = '/яро»А«. Разделив первое уравнение, умноженное на о, на второе, получим в результате равенство 102 Гл. И1. Струи, следы и кааитаиия разрезе они показаны на рис. 20. Взрыв заставляет прокладку двигаться внутрь и вперед, причем оказывается, что приведенная таким образом в движение прокладка обладаетогромной пробивной силой.
Чем объясняется появление такой силы? Наилучшее из известных объяснений исходит из следующих правдоподобных допущений (приближенного характера). До п у щ е н и е 1: получив начальный импульс от взрывчатки, стенки прокладки движутся внутрь под действием их соб- успении аракиадки д д Р и с. 20. Схема действия иумуаятвввого заряда. ственного количества движения с постоянной скоростью до тех пор, пока они не встретятся на «осн» (АА' на рис. 20,а). Допущение 2: под действием развивающихся прн этом огромных напряжений металл прокладки ведет себя как идеальная жидкость.
Допущение 3: эта жидкость движется стационарно относительно осей, связанных с точкой 1 встречи противоположных стенок прокладки. Д о п у щ е н и е 4: поверхности стенок прокладки являются свободными границами, Эти допущения сводят вопрос к задаче Гельмгольца о соударении струй (рис. 20,б). В плоском случае (клин) годограф представляет собой окружность; годограф же половины потока — полуокружность. Область йр представляет собой бесконечную полосу с разрезом, поэтому можно пелностью рассчитать течение ') по методу 3 37.
') 1171, стр. Зб; (и), стр. 2Щ 6 30. Кавитацианные течения как гечвнил Гельмгольца 103 Для более важного случая конической прокладки мы нерасполагаем таким аппаратом. Однако с помощью законов сохранения все же можно приближенно указать зависимость скорости и массы струи от угла при вершние конуса и от используемой взрывчатки. Имея этн данные, можно оценить пробивную силу, пользуясь уравнением Бернулли '). 3 50. Кавитационные течения как течения Гельмгольца В 5 43 было дано теоретическое обоснование эмпирического утверждения (Бетца — Петерсона, см.
прим. 21 на стр. 88), что теория струй применима, если р'/р (( !. Это указывает на поз. можность математического описания кавитационныхтечений по. с едством решения краевой задачи Гельмгольца — Бриллюэна. иже мы дадим обзор доводов в пользу и против этого положения; в настоящем параграфе рассмотрим только первые доводы. Во-первых, как и в случае кавитационных течений идеальной жидкости, очертания реальных каверн сравнительно гладкие, стационарные' ) и имеют длину в [О или более диаметров обте- каемого тела.
Таким образом, они являются значительно луч- шим приближением теоретической модели, чем реальные следы (см. $53). Исключение составляют те случаи, когда препятствие помещено в кавитационную трубу при (;! > 0,3. Во-вторых, профиль каверны почти всегда выпуклый, и от- рыв потока происходит у поперечного сечения с максимальным диаметром.
Это утверждение в общем согласуется с решениями задачи Гельмгольца — Бриллюэна и заметно отличается от слу- чая следов. В-третьих, приближенная экспериментальная формула ') С =0.55+0,4Ц=0.55([+0,73® (30) для коэффицвента Сп при поперечном кавитационном обтекании цилиндра вполне хорошо согласуется с теоретическим значе- нием Со(0) = 0,55, вычисленным Бродецкнм для задачи Гельм- гольца — Вриллюэна по методу из $45, если ввести поправоч- ный множитель (! + Я), согласно $ '43 4).
г) В1г1сво1! О., Мес0апяв1! 0. Р., Рпяь Е., Те у!ог 0„ Д Авар!. Раув., 19 [!943), 363 — 332. ) Если препятствие не совсем гладкое, могут возникнуть небольшие «бнення>, направленные па основному теченню, кяк не фото 1 нлн в [23), стр. 1!6, 129. Когда 0 > 03, каверна может попеременно вбирать я выпускать воду; см. [32], стр. 1О. ь) Кеш р1 Й., Р пег з1ег Е., Нудгадупяш!асье Ргаыегпе без БсЬПЬм яптг!еЬв, Зрг!пяег, 1932, 227 — 342. ) Юпратнвленне цнлнндра прн различных чнслех кевнтецнн была рвссчнтвяп рядам авторов, литературу см.
в [17'[. — Лрим Ред, Гл. Ш. Струи, следы и кооптации Несколько наиболее интересных фактов относится к кавернам позади снарядов, выстреленных в воду. Фото 1 дает нам отличный материал такого рода '); на фото показана каверна, образовавшаяся позади сферы, входящей в воду со скоростью около 45 л/сек, На одной и той же фотопластинке были сделаны два снимка со сдвигом во времени на 0,005 сек. Белые точки на снимках — это маленькие пузырьки, каждый из которых сфотографирован дважды.
Нетрудно найти точки, соответствующие одному и тому же пузырьку, и длина вектора, идущего от первой точки ко второй для каждой пары, в грубом приближении пропорциональна вектору скорости воды вблизи пузырька. Таким образом, можно наглядно представить себе профиль каверны и поле скоростей течения. Однако по разным причинам подобные снимки не вполне точно соответствуют теоретической постановке вопроса. Так, например, они изображают замедляемое тело, а не стационарное течение; поверхность воды является второй свободной границей, что усложняет математическое описание; к тому же нельзя пренебрегать влиянием воздуха (ср. $53).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
