Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 26
Текст из файла (страница 26)
И несмотря на это, имеется очень мало таких физических дисциплин, где разрыв между теорией и инженерной практикой был бы больше, чем в области применения моделей к изучению гидродинамических явлений. Ученые-теоретики стремятся оставить в тени те неудобные факты. которые не укладываются послушно в рамки простой логической теории.
В то же время инженеры, постоянно соприкасающиеся с действительностью под открытым небом и в лаборатории, обычно слишком перегружены частными техническими задачами, и им практически недоступно участие в академических дискуссиях. Ведь легче воздать на словах должное общепризнанным теориям, а при решении конструкторских проблем полагаться на опыт и интуицию. Наша цель — уменьшить этот разрыв путем критического исследования проблемы в целом с обеих точек зрения.
Мы начнем с теории моделирования, подчеркивая при этом связь с понятием группы. Сначала, в й 59 — 65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В $60 — 6! эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах «группы подобия» всевозможных чзменений основных единиц.
119 .8 39. А полна розмерносгед Затем в 9 66 — 74 будет показано, как эти постулаты можно вывести из математических формулировок динамики жидкостей, рассмотренных в гл. 1, Н, проверяя гидродинамические уравне. ния на инвариантность относительно заданных групп. Мы Чудем называть указанный метод инспекционным анализом, заимствуя этот выразительный термин у Руарка !561; фактически, метод основан на старой идее, которая была предложена Афанасьевой-Эренфест [6[1 Но до сих пор данный метод никогда практически не использовался, хотя, как мы покажем, он является значительно более надежным Я 72) и более общим ($74). чем анализ размерностей. Наконец, в $75 — 78 выводы инспекционного анализа (и анализа разномерностей) будут сопоставлены с практикой моделирования.
Как и в гл. 1 н 11, окажется, что действительность намного сложнее теории. В инженерной практике должны учитываться многие факторы, игнорируемые при математическом описании, и приходится использовать некоторые приемы, не получившие еще научного обоснования. 9 59. Анализ размерностей Анализ размерностей возник в результате распространения на физические явления понятий геометрического подобия, отношения и пропорции, знакомых еще грекам '), Впервые это было сдельно Галилеем при определении прочности балок иэ данного материала в зависимости от их линейных размеров. Он ввел интуитивно очевидное предположение о том, что разрушение балки происходит тогда, когда сила, отнесенная к единице площади (напряжение), превосходит некоторую максимальную ве.
личину, характерную для материала балки. Галилей пришел к выводу, что величина безопасной нагрузки на единицу объема обратно пропорциональна длине и предвосхитил многие другие классические результаты. Затем анализ размерностей применяли Мариотт и Ньютон '), но только Фурье (см, прим. 1) на этой стр.) впервые установил, что существуют определенные «основные единицыз, ') Так, Фурье ([691, гл.
11, равд. 1Х) упомннает, что греки зналн размерности плошадн н объема. Рзлея всегда ссылался на «подобне» н «днна. мнчсскос сходство». У Галилея, см. его «Две новые науки» (!638), День второй. [«Беседы о двух отраслях наукн», М.— Л., 1933. — Прим. ред.) з) Маг!о!(а, Тга!Ы бе 1а регснззгоп без согрз (!679) н Тга!16 бп гоонуегпеп1 баз сапа (1686); )Чанг!оп, Рбпс!р!а Мажа!па!Мз (1636), т, 2, азд. 7.
[В русском переводе: Крылов А. Н., Собрание трудов, т. 7, .— Л., !936. — Прим. перев.) См. также Бог(та п б 3., ! де !'Бсо!в Ро!у!., !9 (!348), 189 — 197. Гл. ГР. Моделирование и аналиэ размерностей относительно которых каждая физическая величина имеет определенные «размерности», которые надо записывать как показатели степеней. Конечно, зта идея почти очевидна, если вдуматься в смысл «коэффициентов пересчета» при переходе физических величин от одной системы единиц к другой. Посредством различного выбора единиц Фурье без труда показал, что одни и те же аналитические формулы дают как решения задачи об охлаждении сфер малых размеров так и задачи об остывании Земли.
Поскольку нас интересует соотношение теории и фактических данных, то здесь уместно заметить, что выводы Фурье были не правомочны, так как он не учитывал конвекции и радиоактивного нагрева земного ядра. Тем не менее его метод исключения параметров путем изменения единиц стал теперь классическим и применяется со значительным (хотя и не одинаковым!) успехом во многих разделах физики.
Стоке, Савар, Фруд, Рейнольдс, Вашй и многие другие исследователи с успехом использовали этот метод и установили ряд законов фундаментального значения. Рэлей первым занялся изучением вопроса о том, насколько указанный прием плодотворен как общий метод исследования. Это вызвало длившуюся в течение двух десятилетий, 1900— 1920 гг., оживленную дискуссию с участием ведущих физиков о молчаливо принятых ранее предположениях и о границах применимости анализа размерностей. Эти предположения и ограничения, хотя на них часто не обращают внимания в технике и в популярной литературе, изложены наряду с другими вопросами этого раздела в классической монографии Брнджмена [46], к которой мы отсылаем любознательного читателя.
Другими авторитетными источниками являются работы Л. И. Седова [57) и Лангхаара [51). й 80. Группа подобия Одна из наших основных целей — обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в $ 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их прп помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следующий пример.
П ример 1. Допустим (или вспомним!), что скорость волны о в глубоком водоеме определяется ее длиной Х и ускорением силы тяжести д, так что п = ((Х,д). Допустим также, что это 121 й об. Группа подобия соотношение остается тем же самым при любом выборе «основных единиц» длины и времени, Сделав этн предположения, мы можем математически рассуждать следующим образом. Пусть в некоторой фиксированной системе основных единиц волна длиной Л движется со скоростью о в гравитационном поле интенсивности д. Если выбрать новую единицу длины, равную а старых единиц, и новую единицу времени, равную т старых единиц, то длина волны запишется в виде Л' =Л/а, а ее скорость— и виде о' = от/а, в то время как ускорение силы тяжести примет вид д' = йт'/а. Выбрав а Л и т= УЛЯ, мы получим 1.' = д' = 1, и формулу !' дх =,Г(Л, й)=У(1, И=С, где С вЂ” скорость волны единичной длины в гравитационном поле, выраженная в новой системе основных единиц.
Отсюда а новой системе основных единиц о =С~ГйЛ. Но, по предположению, функция / не зависит от выбора основных единиц; отсюда о= С )/йЛ также и в старой системе единиц, где С вЂ” некоторая универсальная постоянная. (Для волн в глубоком водоеме С=!/'у'2л ) Предыдущее рассуждение можно провести в абстрактной форме в терминах обычных понятий «основных» и «производных» однородных по размерности величин. Эти понятия характеризуются следующими двумя постулатами, которые представляют собой нечто большее, чем просто определения. (В примере 1 Л вЂ” основная величина, в то время как и и д — производные величины.) Предположение !. Имеются некоторые независимые «основные величины» й; (! = 1„...,п1, такие, что они независимо преобразуются «заменой единиц» по формулам Т, (д,) = «р!, (! = 1, ..., н; «~ > 01, (1) где а~ — любые положительные действительные числа.
(В механике и = 3, а д~ — это длина, время и масса; в примере 1 и = 2, так как масса не входит в рассмотрение.) П р е д и о л о ж е н и е П. Имеются «производные величины» О; (такне. как плотность, скорость, вязкость и т. д.), которые однородны ло размерности в том смысле, что при преобразоваии по формуле (1) каждое Я! умножается на подходящий коэффициент пересчета»: Т ( «! )» д а у и я (2) Гл. Пс Моделирование и аналнэ размерностей Показатели Ь,» называются «размерностями» величины Яг в данной системе основных единиц; если все они равны нулю, то величина 41г называется «безразмерной». Очевидно, что лю.
бое произведение степеней однородных по размерности величин остается однородным по размерности. Ясно также, что формула (1) является частным случаем формулы (2) прн условии ~ 1, если й=г', Ь. 10, если й чь г. (3) то, очевидно, выполняются равенства ' Та(ТЬЖ,)) = Тй(Т. ((),)) = Т.й(Е,), (3а) Т, ( Т ((;1~) ) = ЯТ (Зб) Говоря математическим языком, равенства (2) определяют представление мультипликатианой группы' ) положительных лвекторов, определенной соотношением (3) как группа (2) линейных преобразований пространства векторов »1.
й 61, Соотношения, не зависящие от единиц измерения Прн выводе формулы о = С )гуХ в примере! мы использовали еще два других предположения. На абстрактном языке выше приведенных предположений 1 и П их можно сформулировать следующим, образом. П ред положен не 1Н. Существует функциональное соотношение вила р(О. ",(и=О, (4) где р — однозначная функция. [(В примере 1 г = 2, а 4г = ив — 1 ()ь, й.Н П р е д п о л о ж е н и е 1Ч. Соотношение (4) не зависит от выбора основных единиц. ') Под группой понимается такое множество, ээмкиутое относительно эссоциэтнвного умножения, что для каждого иэ его элементов существует обратный элемент относительно умножения. Подробности см.
в 145], гл. И. Следовательно, с математической точки зрения предположение 1 излишне. Преобразованиям Т, взаимно однозначно соответствуют векторы и = (аь ..,, а„) с положительными компонентами («положительные» и-векторы). Кроме того, если определить следующие действия: ар=-.(аД,..., аЩ, а '=(а, ..., а„-'), д 61. Соотносиения, не зависящие от единиц измерения 123 Таким образом, в анализе размерностей рассматриваются функциональные соотношения ф(Яе, Оь ..., О,) = О полоясительных переменных. которые под действием (коммутативной, зависящей от л-параметров) группы Ти преобразуются по формулам (2).
Говоря точнее, исследуются соотношения, которые не зависят от выбора единиц измерения и которые определяются следующим образом. Определение. Функциональное соотношение ф(0а, О~ ., ч'.) = О однородных по размерности переменных не зависит от выбора единиц тогда и только тогда, когда из соотношения ф(1еа, Оь ..., Я„) = О следует ,(т.(О,), ..., Т.(О,))=о (5) при любом преобразовании основных единиц Т . Обратно, используя формулу (Зб), получаем, что из соотношения ф(Т, (Щ, „Т, (О,) ) = О следует ф(О "" О,)=о (5') для каждого преобразования Т, но мы, не вникая в эти тонкости, будем принимать как формулу (5), так и формулу (5'). Другими словами, по определению, следующее соотношение ф (1еа, 9ь °, гг,) = О не зависит от единиц тогда и только тогда, когда в гипероктанте, определяемом положительными ') векторами 0 ((го, Оь ..., Я„), геометрическое место точек, соответствующее этому уравнению, инвариантно относительно преобразований группы (2), Следует подчеркнуть, что уравнению ф = О соответствует некоторое геометрическое место точек н на вид функции ф не наложено никаких ограничений, Это иллюстрируется следующим простым примером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
