Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 28
Текст из файла (страница 28)
») В случае когдз с„, — целые числа, зто можно обобп»пть вв другие октвиты. Хзрзктер поведекпя пв гпперплоскостях »1» = 0 более сложен; его исследовал Й 1 з Ь о ц с й 1 п з и у Т»., Сон»р»ез йенйиэ, 217 (1943), 220 — 223. 129 4 64 Обгулгделив докизетельсгеи ское место одно и то же для всех ((1, ..., Ц ; следовательно, со. отношение (12) эквивалентно, например, зависимости 7(Пп .... П, .)=д(1, ..., 1; П„..., П, .)=О. Таким образом, теорема доказана.
Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Вашй') получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем ((47), (48)) дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию ) можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательствое). Недавно Рябушинский и А.
Мартино-Лягард (82), разъяснив соображения Вашй, получили гораздо более общее доказательство'). Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины аг н О1 и показать используемый матричный аппарат'), В 84. Обсуждение доказательства Если предположить, что функцию ) можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П-теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ннм результаты, чтобы полнее разъяснить понятие' однородности по размерности.
Прежде всего отметим следующие очевидные следствия из теоремы Эйлера об однородных функциях. Лемм а 1. Для функции 1(0), зависящей от полоскательных величин Я1, ..., (Е выполнение Эйлеровых условий однородности бг луг Ж е~' ~) Чззсьу Д., Апщаез 74148гердсвиез, 1Е (1892), 25 — 28. Иден Рябушкяского получили рззвктяе в ряде его работ (2'Аеголм(в, Зер(е»Ьег, !9111 Сошргез неги(из, 217 (1943), 255 — 208 и 225 (1947), 837 — 839). ') Фзктяческп Бряджмек (1461 стр. 16) поставил вопрос о том, нельзя ля рзссметрввзть фуякпкя более общего вида. Фуякпяя а(Р,М,7) в определеикк Тейлора — Мзкколз кз й 85 является безоззмеряой фуякпяей, кото ру» нельзя разложить в ряд Маклорена; см. также парадокс Ферре из $16. ° ) В первом вздевав 157) дано доказательство П-теоремы прв семык общак предположевияк.
— Прим. дед. ') См. также Ь з и и Ь з з г Н. 1,. (5Ц я данные тзм ссылая, Гл. т'Г Ыоделороеоние и анализ размерностей где )с; — действительные постоянные, эквивалентно следуюи(ему соотйош ению: У(0)=СЯ',~ ... (г'о, С=У'(1, ..., 1). (15') Если От однородны по размерности, как в формуле (2), то однородна по размерности и функция,т, и ее размерности относительно а» есть Х~Ьа + .. + Х Ь~» = Л» Для таких функций мы введем следующее определение. Определен не. Конечную сумму функций )(»е), удовлетворяющую (! 5'), (о)=л(а)-+ ..+ио) (16) будем называть О-полиномом. Л е м м а 2.
Если все члены 1(»е) в ф(»е) одной и той же размерности Л» по любому д», то функция р однородна по размерности. Действительно, выполнив подстановку (2), получим у(Т ((1))= Г((3, а) =а ! ... а еу(»1). (11) Простой пример )~ = (гь гз = Яз, )з = — Я~ показывает, что обратное неверно, если функция р не приведена к нормальному виду. Мы будем говорить, что О-полинам формально однороден, если все его члены )с имеют один и тот же вектор размерности Л = (Ль ..., Л ). Очевидно, если функция р формально однородна, то равенство р = О не зависит от выбора единиц в смысле соотношения (6). Кроме того, оно эквивалентно безразмерному соотношению 1+ (1ф) + ...
+ (1Д~) = О, что тривиально доказывает П-теорему для О-полиномов. Многие уравнения физики формально однородны, подобно приведенным выше в примерах 1, 3, 4. Утверждали даже (хотя это неверно, см. $65), что все настоящие физические уравнения должны бьсть однородны и, действительно, критерием однородности по размерности часто можно пользоваться в качестве удобного способа формальной проверки физических уравнений, если вы в ннх не вполне уверены. Однако в действительности дело обстоит значительно сложнее, и некоторые тонкие разграничения, которые здесь надо иметь в виду, лучше показать на примере.
В связи с этим мы вновь рассмотрим пример 2 из $61. Если применить П-теорему к соотношению (6), не зависящему от выбора единиц и рассматривать о как чгь а д 44. Обера<декка доказательства как <)з, то после некоторых преобразований получим соотношение') з 6 р'(1 — п)(п+ ц+У~ — и =О.
Это соотношение в отличие от соотношения (6) не только ие зависит от выбора единиц, ио и однородно по размерности, так как все входящие в него члены имеют размерность нуль по всем основным величинам. Несмотря на это, доказательство П-теоремы Букингема не применимо к соотношению (6). Следуя Бриджменут), мы можем рассмотреть также полиномиальное уравнение р(з. 4<. а, 4) = т<+ т<з — 2аз — аг = О. (18) И это уравнение, и соотношение (6) удовлетворяются в условиях примера 2; кроме того, функция р есть (г-полипом.
Однако уравнение (18) не является не зависящим от выбора единиц в смысле соотношения (5), и функция р не формально однородная функция: подстановка э-ьпэ, 4-ьр( переводит уравнение (18) в следующее: — '(т< — аг)+( — ') (ее — аз)=0.
1д) (18') Так как уравнение (18) справедливо в любой системе основных единиц (асправедлнво при любых единицах», хотя и зависит от выбора единиц), то уравнение (18') есть тождество относительно величин а и В. Поэтому из уравнения (!8') следуют равенства: и= аг и пз ае. Эти рассуждения можно обобщить следующим образом. Теорема 3. Пусть р(0) есть О-иолином, и пусть соотношение р((:1) = 0 еслраведливо яри любых единицах». Тогда условия р(4)) 0 эквивалентно системе формально однородных уравнений.
Доказательство следует из формального рассмотрения тождества р(т.(а))=~п; ...."..р,(а). где <рЩ) — сла<аемые функции ф, имеющие различные размерности Л< (мп " * Л<а). Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы; по-видимому, оно ') Зто соотношенне не получается нз (б). — Прим. ред.
') 14б), стр, 42. Исследование уравнення (1б) привело Брнджмена к мысля предложить «векторное нсчнсленне» соотвошенна. 132 Гл. ! и. /Ноделнроаанпе и анализ раамлрлосг«Е равным образом применимо к ряду Лорана и к действительному ряду Дирихле внутри областей сходимости. Наконец, мы напомним свойство «абсолютной инвариантностн относительной величины», введенное Бриджмеиом ').
Согласно Бриджмеиу, функция переменных д<, ..., </„ обладает этим свойством, если она удовлетворяетфункциональномууравнению т (е ° ° е ) т ( е! ° ° ° " е ) (19) 1(Е» ° ° " Ел) г (лптп ° ° ° ллвл) для всех положительных ць г/< и <7<' Р = 1, ..., я)).
Мы приходим к следующему результату. Те о ре м а 4. Луста (г /(д«,..., 7„) есть полоясительная величина, непрерывная ко основным единицам <7< и удовлетворяю<цая уравнению (!9), ток что отношения ее числовых значений иквириантны относительно изменекий основных единиц. Тогда (г должно удовлетворять соотношению (2). Доказат ельство. Пусть <)!'=а. а! о, а все остальные переменные равны 1. При помощи перестановки можно по.
лучить формулу (19),в виде )у(ом. 1..., 1)=/. (он+<, 1, ..., 1), где 3, = /(а, 1, ..., 1)//(1, 1, ..., 1). Индукцией по кг получаем для всех положительных н отрицательных целых т следующее равенство: ~(ом, 1, .... 1)=)Р'~(1, 1, ..., 1). (19') Отсюда, полагая <7<= 2 ". о= т'2 н у(1„..., 1)= С, получаем выражения /'(</<, 1, ..., 1)=С<< и /".(2, 1, ...° 1)=Сл.".. Положим а = 1онз(/(2, 1, ..., 1)//(1, 1,..., 1)! и 1онз Х, так что Х"' = 2 'гл; после подстановок получаем соотношение /'(2"", 1,..., 1) = С2-ы= С(2"л)".
(9()) ') См. 1231, стр. 2!. Уравнение ()9), очевидно, поназывает, что огнен<ения однородных величии инвариантны относительно замены основных едяниц. Предположение, что д< полох<ительны, хотя н ис упоминается, но ганжа необходимо в доказательстве Бриджи«на, поскольку он имеет депо с ~ ЕЕ</Е<. И, действительно, отрицательные величавы а< обычно не имсазт никакого физичасного смысла. Эгн результаты распространил с днфферевцнрусмых на непрерывные фуниции М аг()по(-Ьа~агбе А„Сол<р!еа <(ел<(аз.
223 (!946), )36 — !37. й бб. Из»алисины ли физические закона от выбора гдиничг !33 Но степени двойки с рациональными показателями обра. зуют всюду плотное множество положительных действительных чисел. Следовательно, если / фактически непрерывна, если ( не является неизмеримой и ие является всюду разрывной функ. цией '), то для всех положительных д~ получаем равфдство Дфь),...,1) - Сд'. Повторив рассуждение для других индексов, мы приходим к утверждению теоремы').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
