Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Принцип инерцнального моделирования справедлив также для примитивной иьютоновой кинетической теории сопротивления воздуха н для квазиэмпнрнческой формулы Эйлера, выражающей лобовое ') То есть к кавернам. Земетнм, что, поскольку теорие течений Валере в Щукинского обратимы, н нреобрееоненнек (И) можно реееметрнвать деме а<0, 142 Гл.
!р, Моделирование и анализ размерностей сопротивление н подъемную силу в ваде определенных ннтегралов '). Если применить теорему 8 к ускоренному движению, возникающему нз начального состояния покоя, то получим, что коэффициент присоединенной массы й, выражающийся отношением з) Присоединенная масса Масса перемещенной жкдкости определяется формой рассматриваемого тела н не зависит от его размеров, от изменения ускорения н от плотности жндкостн. Экспериментально проверено, что принцип ннерцнального моделирования приближенно справедлив прн режимах, соответствующнх широкому диапазону изменений Гсе.
Однако он сразу перестает быть справедливым, когда появляются перемежающиеся вихри н турбулентность в пограничном слое (например, вблизи 1/Ке =0,02 н 0,00005, см. 9 28). $71. Моделирование по числу Рейнольдса Гораздо ббльшее значение имеет применение метода ннспекцнонного анализа к уравнениям для несжимаемых вязких жидкостей. В этом случае, в силу теоремы 2 нз $21, получается следующая теорема. Те о р е м а 6. Если уравнения Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости вместе с условиями несжимаемасти и прилипания на стенках приближенно определяют независящее от времени (стагистически) течение жидкости, то справедливо соотношение (8) . Действительно, соотношение (8) весьма убедительным об.
разом было подтверждено экспериментально для самых разнообразных жидкостей н газовз). Как показано на рнс. 8, разру. щенке течения Пуазейля в трубах для воздуха, воды н многих других жидкостей наступает прн одном н том же числе Рейнольдса, Прн числах Маха, меньших М = 0,3, коэффициенты ') Эти теории подробно рассмотрены в книгах Р а ! п1ечй Р., 1ечопз зпг !а газ!з(апсе без Пщбез, Рапз, 1930 и Сг а и г [51, гл. !!.
') Присоединенная масса тела в жидкости (гл. Ч!) — зто разность между его инертной массой в жидкости и в вакууме. з) См. й 25 и приведенные там ссылки на литературу, а также [54[, стр. 15 — 17. Теорию разработал Стоке, 1!31, т. 3, стр. !7. Так как турбулентные движения обычных жидкостей и газов динамически подобны, по.видимому, маловероятно, чтобы турбулентность можно было связать с кинетической теорией иначе, чем косвенным образом — через вязкость. Подобным же образом были исследованы масла — В о з м а ! 1 Д. О., В г ! е г! у 3. С., Ргос.
!азд Меся. Енй., 122 (!932), 423 — 569. Э 12, Модвлироеииие ло числе Фррди лобового сопротивления сфер и цилиндров удовлетворяют соотношению (8) при одном и том же значении Ко(йе) для всех жидкостей и при всех размерах и скоростях. Соответствующий результат справедлив для поверхностного трения пластинок, параллельных направлению патока. При опытной проверке этих результатов необходимо соблюдать следующие две предосторожности, иначе не обеспечивается моделирование по числу Рейнольдса. Во-первых, нужно пользоваться моделями с аналогичной шероховатостью поверхностей. Это существенно влияет на появление турбулентного течения н на переход в пограничном слое от ламииарного течения к турбулентному.
Так, вблизи Ке„р, можно намного уменьшить лобовое сопротивление сферы, увеличив должным образом шероховатость ее поверхности. Во-вторых, турбулентность свободного потока должна оставаться той же самой '), особенно в аэродинамических трубах с замкнутым контуром. Найдено. что величина Кекр для сфер в аэродинамических трубах может увеличиваться в 2 раза в за. висимости от турбулентности в трубе. Практическое решение этой проблемы будет описано в $75.
Моделирование при ббльших числах Рейнольдса в малом масштабе для больших скоростей в потоке — весьма нелегкая задача. Если использовать данную жидкость (воздух илн волу) при атмосферных условиях, то всякое уменьшениедиаметрамодели должно компенсироваться увеличением в том же отношении скорости. В случае воздуха вязкость т можно уменьшить, исполь. зуя сжатый воздух, чтобы компенсировать уменьшение масштаба длин (ср. конец $73 и $75). К сожалению, мы не знаем ни одной жидкости, у которой значение т было бы намного меньше.
чем у воды, хотя многие жидкости имеют значительно большее значение т. Поэтому только аэродинамические трубы') дают экономичные модели по числу Рейнольдса прн моделировании течений воды. й 72. ййаделированне па числу Фрудв и па числу кавитацин Инспекционный анализ можно также применять для получения законов моделирования явлений, в которых вязкость н ') (3), стр. 431; см.
также й 23, где приведены аналогичные результаты. е) Об использовании азродииамнческих труб вместо гядродянампческих см. Ке)1ег С., Езсьег %узз )Чева (1940). Гелий в условиях сверхтекучести ($20), по-вядимому, не подходит, Гл. !'г'. Моделирование и инолиэ рвэмерносгеа сжимаемость не играют существенной роли, но зато имеется «свободная поверхность», находящаяся под постоянным давлением. В частности, такие законы применимы к гравитационным волнам н к явлению кавитацни в жидкостях. Справедлива следующая теорема. Те о р е и а 7.
В однородном гравитационном поле интенсивности д Эйлеровы уравнения движения и краевые условия на твердьгх границах, а также условие безвихренности и условие на «свободной поверхносгиэ р = сопз1 на границе сред жидкость — газ остаются неизменными при всех преобразованиях вида (22), оставляюи(их неизменным число Фруда гг = 3//й/. Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу теоремы 5, достаточно рассмотреть условие на свободной поверхности р = сопз1, т. е. условие того, чтобы !7р был нормален к ограничивающей поверхности. Для доказательства умножим уравнения (23) на Ы)гз, как при выводе уравнений (28); мы получим безразлгерное урав- нение сги! ! / У! ') д(Р/гор) Р! -Гг~'„/ (31) д»', (32) ') ТЬо та Р., Ехрег1пгеп1з! гезезгсЛ !п 1Ле 1!еЫ о1 мэ!ег Ромег, Тгэпз. Р!гз1 Мог!д Ромег Соп1., т. 2 (!924), 536 — 551; см. также Тэ у)о г Н, В„ Иоос) у 1..
Р., Меод Еня!нвег!ну, 44 (1922), 633 — 640. Явно это высказал ). е г Ь з Н. нэ стр. 290 з Нуагопгеспзп!оспе ргоыегпе дез зсЛ!11ззп1г!еьз, НзгпЬпгри см. также йон зе)1 Н. Е., С Лэ ргп э п Ь. В., Рппс!р!еэ о1 пзтз) агспнес1!пе, 5ос. Кзт. Агсн. Мзг!пе Епд., Нети Уогк, 1947. т, 2, стр. 177, Так как йг/д есть г-й направляющий косинус интенсивности гравитационного поля и так как н(х, /) определяет тр, то мы получаем динамическое подобие при пропорциональности дифференциалов коэффициента давления 2р/ро(гз (хотя и нет обычной пропорциональности величины 2р/роУз), если только числа Гг будут равны. Действительно, давление в окружающей среде Р— это обычное локальное атмосферное давление р, при моделировании гравитационных волн; при кавитационном моделировании нужно рассматривать также давление пара р..
Это стало вполне ясно лишь в 1924 г., когда Тома ') ввел число кавнтацни э 7З, Моделирование по числа Маго До этого считалось общепризнанным, что кавитация зависит от однородного безразмерного параметра () = —,„ Р !/ 7)/3 входящего в уравнение (28), что непосредственно следует из обычного анализа размерностей '). Полный инспекционный анализ вместе с предположением, что кавнтация возникает самопроизвольно при р < Р„, дает теоретическое обоснование для предпочтения формулы (32), ибо это предположение равнозначно постулированню разрывного уравнения состояния гл.
П1 (14): р=р,, если р) р„ (33) я р=р„, если р=р,. При заданных Р и р, преобразование подобия (22) не изменяет соотношений (33) тогда и только тогда, когда оно не изменяет величину Я; доказательство аналогично доказательству теоремы 7. При моделировании можно оставить неизменнымн как гравитационные, так и кавитационные члены при линейном масштабе 1: а, взяв для скорости масштаб 1:)г а (одно и то жег) и изменяя Р таким образом, чтобы Р— Рз преобразовывалось в отношении 1: а.
Такое «моделированне по числу Фруда с понижением давления» сейчас широко используется при исследовании кавитации судовых винтов; может оказаться, что в таких моделях давлением пара нельзя пренебречь. $ 73. Моделирование по числу Маха Еще со времен опытов Робина (1747 г.) ') известно„ что сопротивление снаряда не пропорционально квадрату скорости; следовательно, ни одни способ инерциального масштабирования не является приемлемым. В обозначениях примера 3 из 9 61 Кп заметно возрастает вблизи скорости звуна. Поэтому Кп обычно табулнровалн как функцию о.
Было признано с самого начала, что причиной этого является сжимаемость воздуха, но более рациональное табулирование Кп как функции числа Маха М относится лишь ко времени первой ') См. 1. о г а|о Р., ЕЪе!!се ргори1з!те, Раг!з, 1932, стр. 129. В пс 1!(а я. Ваго Е., !оиг. Авг. Бос. Мазо( Епр,. 43 (1939), 147 — 149; Та у! от (), $7„ ТЬе зреег! апд ропег о1 з1прз, 3-е издание (1943), стр. 17. з) По поводу истории вопроса см. С ганг (оь стр. 44 зз Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
