Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 32
Текст из файла (страница 32)
)У Моделирование и анализ размерностей мировой войны. Ло логике вещей следует, что на дальность полета снарядов должна влиять не только плотность, что видно уже из выражения, определяющего Ко, но и температура воздуха. Однако явным образом это было впервые установлено, по-видимому, после первой мировой войны '). Начиная примерно с !935 г. в связи с созданием скоростных самолетов, аэродинамики стали интересоваться моделированием по числу Маха. Аэродинамические трубы, работающие при скорости 30 м/сек, можно использовать для воспроизведения условий полета со скоростями до !20 м/сек, если регулировать должным образом «эффективное» число Рейнольдса, но в них вовсе не сказывается влияние сжимаемости, которое проявляется при ббльших скоростях.
Поэтому начиная с )935 г. аэродинамики и баллистики объединили свои усилия для изучения сжимаемых течений. Впервые законы моделирования при сохранении числа Маха для политропного уравнения состояния вывел Ланжевен (см. прим. на этой стр.) при помощи «инспекциониого анализа» уравнений движения сжилгаемого неаязкого газа без учета сил тяжести. Мы изложим результаты Ланжевена в несколько обобщенном виде.
Обращаясь снова к теореме 5, мы видим, что уравнение неразрывности инвариантно относительно всех преобразований подобия. Очевидно также, что любое заданное уравнение состояния (30) не изменяется ни при каком преобразовании, которое не изменяет р и р в соответствующих точках. Стало быть, оно не изменяется, в частности, при преобразованиях хг — ахг, 1-»а/ если р, р, и не изменяются. (34) Инспекционный анализ указывает, чтовуравнениях (23) слагаемые /)и,/О/=~Уз!!» дггг/дха+дц/д/ и др/рдх, при преобразовании (34) оба умножаются на 1/а.
В результате получаем теорему. Теорем а 8. Основные уравнения сжнлгаемого невязкоготечения инвариантны относительно преобразования (34). Как показано в гл. 1, эти основные уравнения не определяют корректно поставленную краевую задачу. По меньшей мере не- ') О в г г)е и з О., Мепч. Аг!. Ргапсаые, (1922), стр. 242; Н ! 1! ! а г Н. мГ., Рер!. Бсь )чез. Елр. )герат! )!Е 142/19 (19!9). Рагг)еиз утверждает.
что измеиеиие дальности полета по атой причине может составлять примерно 1тз. Работа 7)аижевеиа, цитируемая виже, иапечатаиа сразу после работы Рагпеиа, Обосиоваииость моделирования по числу Мата показа ч В и с )с!и я- Ь а гп 148), стр. 275 †2. О практической стороне дела см. К е п ! й.
Н., МесЛ. Епя., Бер!епгьег 1932, 147 й 7Д Моде.шроаакие ао числу Маха обходимо добавить к ннм уравнения Рэнкнна — Гюгонио для ударных волн ($14). Однако поскольку последние уравнения можно вывести из уравнения состояния и законов сохранения массы, количества движения и энергии — а этн законы не изме. няются при любом преобразовании вида (34), — то произойдет соответствующее изменение масштаба и в уравнениях Рэпкина — Гюгонио.
Закон изменения масштаба (34) справедлив также в теории упругости, теории пластичности и в динамике взрывных процессов '); он назван законом Кранца. Вообще он справедлив всегда, когда тензор напряжений есть функция только от деформации и не зависит от ее скорости, и всякий раз, когда в некотором напряженном состоянии освобождается определенная (в расчете на единицу объема) химическая энергия„как это требуется в условиях Чепмена — Жуге ([б), 5 87).
Любопытно, что этот закон справедлив также в релятивистской механике жидкостей. Некоторые авторы хотели с помощью частного инспекционного анализа обосновать моделирование по числу Маха. Пусть с = у' г р/а~р обозначает локальную скорость звука, и пусть С— скорость звука в невозмущенном потоке. Тогда, если пренебречь силами вязкости и тяжести и обозначить М = У/С, то соотношение (23) примет вид (35) Это дает следующее правдоподобное правило: моделирование ари постоянном числе Маха, что для данного невозмущенного потока эквивалентно преобразованиям (34). Однако в общем случае это правило оказывается ложным, если рассматривать различные газы (газы с разными уравнениями состояния (30)) или даже один и тот же газ, но при раз.
личных температурах и давлениях. Сравним, например, динамически подобные баротропные течения газа, у которых условия свободного потока отнесены к двум точкам на одной и той же адиабате. В силу уравнений (22), величины и и р всюду умножаются на постоянные множители. Поэтому в силу уравнения (35) дгабр умножается на постоянный множитель а(а), где а — отношение плотностей в свободном потоке.
Следовательно, если Р(р) = р(р) — рг (рг — давление в свободном потоке), то Р(ау)/Р(р) = а(и) не зависит от р. Таким образом, для всех р, р, а справедливо Р(ар)/Р(р) = Р(ар')/Р( '). Но это, очевидно, '! См. (Ю), стР. !95; $ с Ь а г 41п Нч Сопи, Риге АРРЛ МаГЛ., 7 (1934), 223 — 243, Гл. ! У. Моделирование и анализ размерностей эквивалентно соотношению (16) из з 64.
Отсюда по теореме 4 г(р) = йр» и, следовательно, справедлива следующая теорема. Те о р е м а 9. Для того чтобы модели сжимаемых потоков по числу Маха были динамически подобны при любых условиях в невозмуи(енном потоке, уравнение состояния должно иметь специальный вид; р = йр»+ сопя!. (36) При этом достаточно, чтобы у было одним и тем же вдоль всех адиабатических кривых. Обобщение на неадиабатнческпе течения очевидно.
Линеаризованное моделирование по Маху. Интересный пример аффинного моделирования дает линеаризованное приближение (Прандтля — Глауэрта) стационарного сжимаемого обтекания тонких тел, уже описанное в й 10 — 11. Возмущение у потенциала скоростей 0 = ах + р(х, у, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению [гл, 1, (14*)] (мз 1) 9„,= р„+9„, М = '. (37) В дозвуковом случае (М ( 1) оно эквивалентно уравнению »" а = О, где»' = дэ/дх" + дэудуз + дз!дгз и х' = х/ рГ1 — Мз, в силу чего этот случай аффинным преобразованием сводится к случаю несжимаемого потока, В сверхзвуковом случае (М > 1) мы подобным же образом приводим это уравнение к виду что представляет собой волновое уравнение, В обоих случаях мы получаем при соогвегствуюи!их числах Маха аффинно подобные течения для аффинно эквивалентных моделей.
Случай звуковой скорости нужно рассматривать отдельно ([1О], равд. 9.6). Таким образом, для аффинно подобных течений изменение значения М эквивалентно (по крайней мере в теории ~)) изменению «отношения толщин». Следовательно, за исключением обыкновенного моделирования по Маху (35), можно изменять масштабы в двух перпендикулярных направлениях независимо друг от друга, так же как в теории длинных волн. ') Учитыаая й 12, к этой теории нужно отиоси»ься несколько критически, Оиа ие рассыагриаает уазриыл волн.
149 8 74. Асимптотическое изменение масштаба Модел ирои а ни е двойных с оуда реп ий '). Преобразование расстояний и плотности в обратном отношении при сохранении скорости и температуры хг — ьахг, с-виг, иг — ьиг, р-+р/и, 8 — ьб обладает некоторыми необычными свойствами. В совершенном газе (9 3,14) оно сохраняет неизменным удельную теплоемкость Сг, адиабатическую постоянную 1 и скорость звука в окружающей среде С. Следовательно, оно сохраняет число Маха М = )г/С. Кроме того, зто преобразование согласуется и с кинетической теорией газов, если рассматривать только двойные соударения молекул.
Следовательно, оно сохраняет неизменными вязкость р, проводимость х„ а среднюю длину свободного пробега молекулы )г изменяет в отношении 1: и. Значит, оно сохраняет также число Рейнольдса !4е УЕр/)с, число Прандтля Рг =* ~ С„)с/х и число Кнудсена )г//.. Таким образом, оно пригодно для моделирования сжимаемости, явлений ударных волн, явлений вязкости, повышения температуры вследствие нагрева пограничного слоя и явлений в разреженном газе (большая средняя длина свободного пробега). Наконец, данное преобразование сохраняет все вторичные процессы химической кинетики, следовательно, оно пригодно для моделирования многих явлений, рассмотренных в $ 34, которые не укладываются в рамки механики континуума. С другой стороны, оно имеет то большое преимущество, что позволяет воспроизводить путем моделирования многие аэротермодинамические явления, протекающие в верхних слоях атмосферы, при испытаниях на моделях небольших размеров вблизи поверхности земли.
й г4. Асимптотическое изменение масштаба Аффинное моделирование — как и в теории тонких тел— можно формально рассматривать в рамках анализа размерностей, приписывая разные «размерности» длинам в разных направлениях т). Однако гораздо более действенным является метод инспекционного анализа, который показывает, что такой «анализ размерностейв обычно равносилен особой теории возмущений, т, е.
асимптотическому инспекционному анализу. ') Неопубликованная работа авторе и Экнермана из А1ГСО Согр, г) См. %1111апгв %г Рац Мам., 84 (!892), 234 — 271; Мооп Р., 8 реп сег Р. Е., А Ггалапл !лст., 248 (!949), 495 — 522, Часто методы воз. мущеннв сама ие могут быть строго обоснованы, Гл. /У. Моделнроаанне и анализ размерностей Мы рассмотрели случай линеаризованного моделирования по числу Маха. Сейчас мы приведем несколько примеров применения той же иден. Быть может, наиболее важным примером служат уравнения пограничного слоя Прандтля для ламинарного течения вблизи гладкой твердой границы ($27). Так, стационарное плоское течение в пограничном слое определяется (гл. 11 (14)) уравнениями ди ди 1 др д'и ди до и — +о — + — — = †. — + — =0 (38) дх ду р дх дуэ' дх ду и краевымн условиями и(х, 0) = О, и(х, оо) = и,„. Этн уравнения, выведенные в приближении, когда толщина пограничного слоя считается бесконечно малой, инвариантны относительно группы аффинных преобразований вида х-н "ртзс, унру, и-ни, в-нр 'р, (39) а также относительно группы, определяющей моделирование по числу Рейнольдса.
Другой пример дает теория безвихревых гравитационных волн в мелких водоемах с медленно изменяющейся глубиной й. В самом грубом приближении средняя скорость частицы и(х, 1) в этих «волнах на мелководье» для двумерного движения [58, разд. 2.2) удовлетворяет уравнению им= 8(йп) Частный инспекционный анализ показывает, что уравнение (40) инвариантно относительно преобразования Ь-ар й (41а) при любом р > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
