Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 29
Текст из файла (страница 29)
6 66. Независимы лн физические законы от выбора единицу В $61 мы рассматрнвалн свойство независимости соотношений от выбора единиц как математическую гипотезу. Относительно ее физической применимости велись жаркие споры. Так, некоторые авторы позволяли себе истолковывать тот правдоподобный принцип, что «все единицы измерения' ) пригодны», как приводящий к выводу, что при всех таких единицах получаются одни и те же универсальные физические законы. Так, Толмзн') ° !9!4 г. утверждал: еосиовные сущности, ив которых построена физическая вселенная, таковы, что из них можно построить миниатюрную вселенную, в точности подобную...
нашей вселенной». Легко видеть, что такой вывод не является логически необходимым, если вспомнить, что в некотором смысле все пространственно-временные системы координат равновозможны. Но геоцентрическая система, подобная той, что используется в астрономия Птолемея, не приводит к тем же физическим законам, что н гелноцеятрическая система. Кроме того, такое истолкование неверно даже для единиц длины, массы н времени в механике'). Действительно, основное положение специальной теории относительности состоит в том, ') Относительно ковтрпримеров есюлу разрывных фуикпвй см. Нащ. юе ! О., Мига. Лина(ен. 00 (!905), 459-402. С помощыо логармрмаческого преобразования уравиеяяе (!9) свохнтся к известному ахлнтяапому фувкиио.
° альаому ураввенпю. Легко показать. что, и салу уравнения (19), «слн й: Иия 1 Разрыана в одной точке, то онз должна быть всюду рззрмвиой. сательао вензмернностн 1 см. В а и а сЬ 5., ТЬ(ог!е Ьез Орега!!опз Ейзйзг!!тра, Тгагзам, 1933, стр. 23. ) Простое доказательство втой теоремы лля лиффереепяруемых функ. аай см. а ($7). -Прим.
ред. з) Относительно значения шкалы измерений см. С ащрЬе11 Р(., Меа. загапмп1 апд Са(си!аиоп, !920. Строго гонора, слехует различать впсалм перечисления, порядковые шкалы, щкалы, в которых мохгяо уетлаовать равенство разностей значений. а истинные линейные щкалы с иуаем. То1щап Ц.
С., Рьрь (гео., а (19И), 244-233. Конечно, можно сохранить ареаположенке !Ч следующим обрезом: счптппь гю епрелелевяю, основной еланнпей такую еляияну измерения, лла щморей справехлнио предположение 1Ч; зто помет даже оказаться полезимм. 134 Гм /у. 3(оделнроеялне и ололиз рлзлерлосгей что законы механики, одним из которых является основной закон силы г ( ..))т=)т~) (21) Ы не являются независимыми от выбора единиц измерения длины н времени в отдельности, так как в них входит скорость света ').
В квантовой механике постоянная Планка й входит в формулу де-Бройля для длины волны частицы )( й/вго и в фотоэлектрическое уравнение Е /гт; это еще более подчеркивает то обстоятельство, что не все физические законы однородны по размерности. Здесь /г — универсальная постоянная, имеющая размерность действия М/.з/Т (энергия Х время). другая размерная постоянная т входит во всеобщий заков притяжения Ньютона' ) г" = ттт'/г', другие такие постоянные входят в выражение для диаметра любой микрочастнцы, и т.
д. Таким образом, мм вынуждены безоговорочно признать, что мы не знаем таких «основных единиц», по отношению к которым все известные нам физические законы не зависимы от выбора единиц '). В действительности выбор некоторых единиц как основных (или первичных), а всех остальных как производных (илн вторичных) является делом соглашения и не вызван физической необходимостью. Так, иногда оказывается удобным считать силу не зависящей от массы, длины и времени '). Физические постоя ни ые.
В предшествующих утверждениях необходимо сделать существенную оговорку. Универсальность «универсальных постоянныхэ может оказаться не абсолютной. Так, до открытия Ньютоном тяготения величина Е должна была, по-видимому, считаться универсальной постоян- ') Неээввсямый выбор единиц длины в времеви возможен н в этом счу чее, если скорость света с рассматривать кэк фязвческу)эре»мерит)о постояв. яуя). — Прша.
Ред. з) Согласно Эллингтону (Ьола. Рйрз. 8ос., 1916, стр. 9Ц, пра(тически природе зэстэнлеет вэс «девственным обрезом выбрать еднянцы длины, времена н массы тнц чтобы было т с а 1. Ограявчеивме законы «греввтецковиого подобвя» ясследовэл Ь е Ь о г е ! ! е. Е!вс!го!санси, 1932, етр. 1629. ') Другие примеры см. у Вриджменв 146), стр.
!03. )По-видимому, речь вдет о ээвиснмостя от едийнц язмерення способа записи фювческнк заковов, а яе семик зекоион по сущытэу.-Прим, ред.] ° ) См. (46), стр. 66. В термодянемнке мы имеем замечательный пара доке Рябушинского (тэм асе, стр. 10), а также закон рвднэцви Стефввв— Вольпмввэ Е/площадь КТ«. Еще болыпе проявляется искусственность поаятяя «освовиэя единице» прн рассмотрения электромегнятных единиц; см. 1 е а по 1., Е!«с(г(с(!у внб щэбпецэщ, Сещьг(бяе Ып(т.
Ргезэ.!941,стр. И вЂ” 16, ° тцсже В ту! а ив й 1, Сожр!эз нелепа, 216 (1942), 104, Э бб. Инспекционный анализ ной (что до сих пор сказывается в выборе технической системы единиц). Далее, скорость с=1/~КР распространения электромагнитных волн рассматривалась Максвеллом ') не как универсальная постоянная, а как величина, зависящая от диэлектрической постоянной К и магнитной проницаемости данного вещества. По-видимому, преждевременно отказываться, как от безосновательных, от попыток, подобных предпринятым Толмэном (см. прим.
4) на стр. 133) иЭддингтономз), вывестисоотношения между универсальными постоянными из некоторых общих принципов. 9 88. Инспекциопазый аналпз В ньютоновой континуальной механике моясно производить любые изменения типа (1) в масштабах длины, массы и времени, чего нельзя сказать о релятивистской н квантовой механиках. И, по-видимому, можно быть уверенным, что законы ньютоновой механики достаточно точно описывают поведение реальных жидкостей в обычных условиях.
Хотя подобные изменения масштаба могут существенно повлиять на такие свойства вещества, как плотность и вязкость, диапазон плотности н вяз. кости реальных жидкостей настолько велик, что зто влияние обычно остается незаметным. Выделенный выше курсивом принцип можно доказать не только экспериментально на моделях, но его можно также вывести теоретически нз основных уравнений гидромеханики. Этот вывод основывается на простом мета-математическом принципе: если какая-либо система математических уравнений инвариантна относительно некоторой группы, то то ясв самое справедливо для всех следствий из этих уравнений.
Применительно к скалярным преобразованиям (1), указанным принципом фактически пользовались Фурье, Станс и другие пионеры исследования анализа размерностей, чтобы проверить правильность своих рассуждений. Этот метод был отчетливо осознан Рэлеем, когда он ссылался на «подобие»; преимуще. ства этого метода признавал также Бриджмен'), который писал: «Преимущество (аналнза размерностей) в том, что он быстро приводит к результату, но...
он не дает такой полноты информации, которую можно было бы получить с помощью... ') ТЬеогу о! е1«с!г)сйу зпб пгзкпьнзпг, Ох!ого, 1381, статьи 784 — 787. з) Ейо'!оп!оп А.. Це!айтйу Шеогу о! рго)опз зпб е!ее!гоп». Саво Ыйпе Оп)т. Ргезз. 1935: си. также [461. гн. ЧИ! и 'зЧЬ1!1аьег Е. Т„ Враге'апб зо)гй, Еб)пЬп!яЬ, 1946. ° ) 3)з у !е)я Ь, РЬ!!.
Мав., 34 (1892), 52 к 8 (1905), 66, а также Иогиге 95 (1915), 66; Вг)32пгап [451, 17; си. также 5сЬ!!1ег 1, 2ЛММ, 24 (1944), 289 — 293, Гл. т"ч' Моделирование и анализ размерностей детального анализа» и «анализ размерностей с физической точки зрения не столь поучителен, как условие подобия». Принцип «дннамического подобия» для движений жидкости обычно формулируется следующим образом. О пред елен не. Два течения жидкости Ф н Ф' называются динамически подобными, если их можно описать при помощи координатных систем'), в которых пространство, время и масса связаны друг с другом следующими соотношениями: х,'=ахи г'=Рг, т'= 7т.
(22) $67. Связь с теорией групп Ясно, что математические уравнения можно проверить на инвариантность не только относительно «изменений масштаба», описываемых посредством соотношений (22), но и относительно многих других преобразований. Например, все уравнения физики инвариантьы относительно переноса и поворота осей ко- ') В действительности мы имеем в виду пьютоновы системы координат, в которых верны законы движения Ньютоне. Поскольку предположение об нх существовании ставит вопрос о воэможности динамнчаского подобия, в этом определении имеетсн нечто от порочного круга.
Легко проверить, являются ли уравнения гидродинамической теории инвариантными относительно преобразований вида (22). Именно зто было сделано при доказательстве теоремы 2 из $21. Из уравнений, подлежащих проверке, наиболее важны уравнения Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости: — + — — =3~-+четки 1=1, 2, 3. Он~ 1 др (23) э с Было показано, что эти уравнения инвариантны при отсутствии свободной поверхности, если для величин ч и р/р (гидро- статическое давление можно учесть согласно теореме 1 из $21) масштабы выбраны так, что число Рейнольдса ой/ч из примера 5, $62 сохраняется неизменным. (Относительно роли параметров, характеризующих данное вещество, таких, как ч и р, см.
$65; их роль аналогична той, которую играют. К и р в теории электро- магнетизма, где с=се/УКр.) В $70 — 73 будут доказаны различные аналоги теоремы 2 нз $21 применительно к сжимаемому невязкому течению, сжимаемым струйным течениям, течениям с кавитацией и т. д. Но сначала мы рассмотрим инспекционный анализ вообще, для того чтобы лучше уяснить себе его отношение к традиционному анализу размерностей.
1ЗУ р 67. Связь с георига групп (24) однопараметрической подгруппой Т переносов отсчета времени у=у+с; (25) трехпараметрической подгруппой Й поворотов пространства х', ~а„х, (2В) где ]]ать]] — наиболее общая квадратная ортогональная матрица третьего порядка, и трехпараметрической подгруппой М группы преобразований к осям, двизсущимся поступательно с постоян- ной скоростью (27) х,' х, — 3,8. Теперь легко проверить„что три закона движения Ньютона инвариантны относительно преобразований (24) — (27) и чтозтн ') Это было высказало Е Ьгап1ез1 [61], стр. 961, ко ка аряалакло внимания, так как она ке указала кккаках кркложекай. Элементарные саадакая о группах см. а 146], гл. У1; об ортогояалькых матрицах см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
