Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

П р и мер 2. Рассмотрим частицы, выведенные из состояния покоя и движущиеся с не зависящим от времени ускорением а. Обозначим расстояние через э, время через 1 н скорость через о. Для такой системы всегда справедливы хорошо известные однородные по размерности (следовательно, не зависящие от единиц измерения) соотношения о = а1 и о' = 2аэ.

Однако геометрическое место точек, определяемое уравнением о = а1 в положительном октанте пространства (о, а, 1) сбвпадает с геометрическим местом, определяемым, например, соотношением а 'гс(о — а1) (а+ и) + У1(е — а1) = О. (6) ') Это все можно распространить яа случай яеположятельнма век~оров, во только невой усложпепяя формулировок.

!24 Гл. т!». Моделироеоние и оноенэ роэмерностеа (),=Со; ". ()" (8) где С = !'(1...,, 1) и к» определяются из уравнений Ьы — — Ьих,+ ... +Ь„»х„[»'=1...., и). (8') Доказательство. Так как величины»г» положительные и минор  — неособая матрица, то мы можем найти такой вектор и, что 7'н(1) = Ое, где 1 = (1,..., ! ); и пусть при этом С = = !(1,...,!). Отсюда, применив формулы (5), (6') к соотношению С вЂ” Г(1, ..., 1) = О, получим равенство т„(С) — ~(()п .... Ц„)=О.

Применяя формулу (2) к первому члену и перенося его в другую сторону, можно записать .У(()н ".. а„)=С," ":„". (9) '1 Этому эквнвелентно условне неревенстве нулю онределнтеля В (сн. [4о), стр. 304!. Поэтому соотношение (6) не зависит от выбора единиц, хотя оно н не является однородным по размерности.

Несмотря на свою искусственность, этот пример поможет нам выявить различие между формальным доказательством Букингема ($64) П-теоремы и более общим геометрическим доказательством Вашй, которое будет изложено в $63. Но прежде чем доказывать П-теорему в общем случае, мы рассмотрим сначала частный случай г и, когда соотношения, не зависящие от выбора единиц, ().=Л()„... ().), (7) содержат точно на единицу больше величин !г»(! = О, ..., л), чем имеется основных единиц (» = 1, ...,и).

Мы будем предполагать, что ! — однозначная функция, а также, что величины 4)», ..., Я„зависят от и основных единиц, т. е. матрица !1Ь»е![ из формулы (2), состоящая из (и,'эс, 1) Х п элементов, имеет ранг л. Эквивалентным условием является требование, чтобы квадратный минор В, соответствующий ! = 1,..., н, был неособо»1 матрицей ').

Как уже было указано выше, пример 1 относится к этому случаю при и т = 2. Т е о р е м а 1. Всякое соотношение вида (7), не зависящее от выбора единиц и содержащее и основнык единиц, равносильно соотнои»гнию 4 6». Числа Рейнальдса и Маха С другой стороны, так как минор  — неособая матрица, то система (8') имеет единственное решение х = (хп ..., х„). Для этого решения х справедливы равенства (!'I= т, (!) !=(а с~ ... а !») !. ! ! л Выполнив элементарные выкладки с показателями, получим П (!л! — П «~те~! — П а~~ ь!ьл! — П аььь зт!ььььь Делая подстановку в правую часть равенства (9), получим формулу (8). Для дальнейшего разъяснения смысла теоремы ! приведем следующие известные примеры.

При мер 3. Предположим, что сопротивление Р, которое жидкость оказывает движению твердого тела заданной формы, является инерциальным в том смысле, что оно определяется плотностью жидкости р, скоростью о и диаметром тела Н. Тогда при х! — — х, хт = у, хь = г формула (8) эквивалентна соотношению так что уравнения (8') сводятся к виду (=х, (= — 3 +у+, — 2= — у откуда х (, у = з = 2. Отсюда, если соотношение не зависит от единиц измерения, то Р = Корите(ь, где Ко — постоянная, (В действительности же величина Ко = яСо!8, которая носит название баллистического коэффициента сопротивления, слабо изменяется.) П р и м е р 4. Если сопротивление Р определяется через р, о, И и вязкость жидкости ц в виде функционального соотношения, не зависящего от выбора единиц, и если силами инерции можно пренебречь («ползущие течения» Стокса), то аналогичный подсчет размерностей приводит к соотношению Р = К»(сод, где К» — еще одна постоянная.

$82. Числа Рейнольдса и Маха В теореме ! число л основных единиц равнялось числу г переменных, входящих в не зависящее от выбора единиц соот- ношение Гл. !у. Моделирование и анализ раэлерностев При т = л + 1 рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, приводят к формулам, содержащим полезные безразмерные параметры. Теорема !'.

Всякое соотношение !сз = /Мь ., (сг), не зависягцее от выбора единиц и содержим(ее (г — 1) основных единиц, можно эаписато в виде ().=С(П)()', " (),, где И=(,)"' ... (;) — безразмерное произведение степеней Яь ... Д, и 1,)Д, ' ... Я г= 11 также безразмерное произведение. Теперь мы проиллюстрируем предыдущий результат, представляющий собой частный случай П-теоремы (мы ее докажем ниже), двумя важными примерами из гидромеханики. П ри мер 5.

Предположим, что Р = /(р, о, д, )т) есть функция от р, о, г/ и р, не зависящая от выбора единиц при всех преобразованиях единиц длины, времени и массы по формуле (1). Безразмерные величины Ко = Р/ротдт и )1е = род/)г (число Рейнольдса) инвариантны относительно этих преобразований. Но с помощью одного из таких преобразований' ) мы можем одновременно свести р, о, д к 1; при этом )т переходит в р/род = 1/Йе. Поэтому О=Ко(гче)ртг'с(т, где Ко(гче)=~~1, 1, 1, —,— ).

(10) Пример 6. Предположим, что Р подобным же образом определяется величинами р, о, д и сжимаемостью невозмущенного потока жидкости — г!(1/р)/агр = с(р(рзар. При этом получаются безразмерные величины Р/ровд> = Ко и отдр/Ыр (размерность последней (/.Т ')з(М/. ') (МАТ Ч.

') ' = 1). Физический смысл выражения отг!р/г!р станет понятнее, если мы вспомним, что др/с(р = с', где с — скорость звука в жидкости. Рассуждая, как в примере 5, получаем соотношение Ко=Т (Мз). где М = — — число Маха '). (11) с формулу (!О) можно вывести также из теоремы 2 гл. П, если предположить, что уравнения Навье — Стокса полностью '! Это локвззтсльство в основном принзллсжнт Взшй; сч.

также й ! з Ь он с Ь ! из и у 11., Е'Аегораде, Яср1егльсг 1911. >) Называемое во Фрзнции «числом Сзрро>. Термин «число Мзхв> предложил Асй ° ге1 Ю> агаве!ж Ваиежгилл, 99 11929), 179. 127 б бЗ. П-теорело определяют движение жидкости, ср. $7!. Аналогично формулу (11) можно вывести из уравнений Эйлера — Лагранжа, ср. $73. Прежде чем доказать П-теорему, мы приведем еще один важный пример применения анализа размерностей. П р и м е р 7.

Пусть имеется отнесенное к единице массы стационарное распределение энергии турбулентности между вихрями различных размеров Л, так что дЕ = Е'(Х)дХ. Предположим, что это распределение определяется инерциальным механизмом передачи энергии турбулентности вихрям меньших размеров Х. Очевидно, что скорость передачи энергии, приходящейся на единицу массы, имеет размерность [тт/Т = /.т/Т', следовательно, при любом изменении масштаба вида [.- аЕ, Т-э-7Т она умножается на величину ит/тэ. Кроме того, чтобы Е'(Х) сохранялось неизменным, эта скорость не должна зависеть от Х.

Отсюда осредненное время Т(Х), необходимое для превращения вихрей размера Х в вихри меньших размеров, должно быть пропорционально йчч при изменении масштаба величина Т имеет размерность /.'~*. Теперь рассмотрим спектр частот энергии; т/Е = г(й)ан, где й = 2и/Х есть волновое число. Поскольку с[Е имеет размерность [тэ = /.тТт, а величины й и ай = 2ис[Х/Ат имеют размерность !//, то функция г"(/е) имеет размерность Еа/Тт, или 1.*ь, или й чч Окончательно из анализа размерностей следует формула Колмогорова для распределения энергии трубулентности: Р(й) й "*. Формула Колмогорова связана с известным парадоксом бесконечной плотности полной энергии турбулентности, приходящейся на единицу объема, в случае мощных пульсаций, но мы не будем рассматривать здесь объяснение этого парадокса. й 63.

П-теорема Не приводя больше примеров '), перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Вашй и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом: Теорема 2. Пусть положительные переменные Оь...,(г,, при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц аь ...,т[„изменяются согласно формуле (2). Пусть гп -ь, и— '! Многочисленные примеры приводят Бр и аж м ее П. [461, гл. 1, Ч1; Седов Л. И. [571; Л а игл а ар [651, Портер [541 и Робертсов Б. А., Оаж Е!ес. Леп1ем.

33 (19301, 207; см. также Рэлеа, Рп[1. Ма3., 34 [1892), 59 и 8 (1905), 66, а также Ха1мге, 95 (1915), 66. 128 Гл 1К МоО».»»»роеание и оналиэ размерностей ранг матрицы 11Ь ь)1, определяемой формулами (2), Тогда всякое не зависящее от выбора единиц соотношение вида Г((),, "., а)= (12) эквивалентно условию вида »р(по ..., П, )=О (13) при подходящим образом выбранных безразмерных произведениях Пь ..., П„степеней»',!». П о я с н е н не. Первая фраза соответствует предположениям 1 и П из $60. Предположения П1 и ЧЧ обобщены формулой (12). Доказательство. Согласно определению, матрица 11Ь»ь11 имеет неособый минор ')»и-го порядка.

Переставляя (гэ и д» мы можем добиться того, чтобы вэтотминорвходилилишь (г»,, (гм и дь ..., д . (Физически это означает, что другие основные единицы не являются независимыми.) Тогда всякий вектор Ь; = (Ь;„..., Ь;„) при 1> гп есть линейная комбинация Ь» = сцЬ» +... + с» Ь векторов Ь,, Ь . Теперь определим (г — и») новых безразмерных переменных П» формулами П =Е„„()-' ." а-'-.

Определим также новую функцию а в виде й(О», ..., Я,„, По „П, )=у(Я», ..., Ог); (14) очевидно, что в формуле (14) (;! = П Я'1» ... !',)'1м при /> и. В «октанте» Я» > О, ..., 1г, > 0 преобразование (2) независимых переменных взаимно однозначно в большом т). Поэтому соотношение ! = 0 эквивалентно (т. е. определяет то же самое геометрическое место) соотношению в О, и, следовательно, у = 0 также ие зависит от выбора единиц, Но так как минор матрицы 1~Ь»1! при 1, 1 = 1, ..., тп неособый, то систему линейных уравнений Ь»»1ца»+...

+ Ь» 1»та =(ц!',!» для любых положительных (г», ..., 1;» при подходящем выборе можно разрешить относительно чисел с»„..., а . А так каксоотношениед=0 не зависит от выбора единиц, то определяемое им геометриче- ') Отпосятельпо свойств матриц, используемых здесь, см., например !431, гл. Х, в частности, стр. 306 1плп Г з и т м з х е р Ф. Р., Тееркя матриц, М.— Л., 1930.— Прим. ред.! Неособый минор и»-го порядка — зто квадратная под. матрица порядка и», определитель которой пе равен нулю.

Характеристики

Список файлов учебной работы