Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Применимость теории течений Гельмгольца качественно подтверждается тем, что позади снарядов, движущихся достаточно быстро, получаются каверны сколь угодно большой длины (100 диаметров и больше). Это явление имеет важное практическое значение: большое поражающее действие скоростных снарядов и осколков бомб обусловлено тем, что они могут проделывать отверстия, значительно превышающие их собственные размеры'). Для нас же значение этого факта заключается в том, что он указывает физвческое приближение к бесконечным кавернам, которые определяются математически как решения задачи Гельмгольца — Бриллюэна. Обобщенная з ада ч а Гельм гол ьца.
Если предположить, что выполняются условия (14) и что жидкость несжимаемая и невязкая, то можно применить концепцию Гельмгольца и к ускоренному течению с учетом гравитационных сил. С этой целью допустим, что кавитация самопроизвольно возникает, как только р < р„Получающуюся таким образом краевую задачу можно назвать обобщенной задачей Гельмгольца '). ') См. В(г)сво(! О., Сауттооб Т. Е., У. Арр(, Рйуз., 26 (!949), 646 — 659 (описание прнбороз, нспольэоаанных з опытах, и другие снимки). т) См. [51, 4 т4 и указанную там литературу; а также Н а гт еу Е. М,, Тле М(Шагу Яигузоп, 98 (!946), 509 — 528.
° ) Теории гравитационных волн рассматриззет тесно сзизаниую с ней задачу, когда Р р, на свободной поверхности. Обычно под поверхностью р > р„ но з данном случае это условие не предполагзетсз. 6 а! Пузырьки Идея о том, что реальную кавитацию можно математическиописать при помощи решений обобщенной задачи Гельмгольца, подтверждается качественным наблюдением того, что заполненные паром каверны возникают у твердых поверхностей. Это эмпирическое положение можно вывести при рассмотрении рбобщенной задачи Гельмгольца следующим образом '). Применяя оператор Лапласа к уравнению Бернулли (гл. 1, формула (5)), получим уравнение ЧаР— аорт ~ — Ч (т' ПУ+ —, + 0 ~. (31) В формуле (31) !7т0= 0, так как б есть ньютонов гравитационный потенциал; чт(дст/д/)=д!чч/)/д( =О, в силу формулы (6) из гл. 1; и, полагая иь=дУ/дх„,так что ЧУЧ(7=',~~и« получаем формулу Ч (~ и') = ~ иь ттиа+ 2~(Чиа Чиа) ) О. Отсюда Ч'р < О, причем равенство имеет место только если и постоянная, т.
е. р — супергармоническал функция. Известно, однако, что супергармоннческая функция должна принимать свои минимальные значения на границе; следовательно, р будет становиться меньше р„прежде всего на границе. $51. Пузырьки Часто употребляемое вместо «каверны» слово «пузырек» указывает добавочно на малые размеры и подвижность. При рассмотрении маленьких пузырьков обычно необходимо учитывать силу тяжести и поверхностное натяжение, как мы уже видели в $32. Мы изложим сейчас некоторые результаты относительно пузырьков, которые показывают правильность указанных соображений, и разъясним далее причины, по которым течения Гельмгольца дают лишь приближенную картину реальных каверн.
Сначала мы напомним ((!!), т. 1, п. 29) о скачке давления, равном 27/г, который создается поверхностным натяжением 7 при переходе внутрь поверхности сферического пузырька радиуса т. Уже это беглое замечание указывает на возможность того, что жидкость, из которой удалены все пузырьки радиуса т > ь(, может выдерживать натяжение величиной (21/т) — р, без кавитации( ') К ! г с Ь Ь о 1 1 О., Чог!еаппвеп вьег Месьап!Ь, !876, стр, 186; см. также В оп!! я апг! б., Д йе Ма!тг., 6 (!927), 427. Гл 7П, Струи, следы и навигация Хотя ограниченность объема книги лишает нас возможности подробно исследовать этот увлекательный вопрос, мы все же напомним, что жидкости после дегазации в лабораторных условиях выдерживали натяжение величиной в десятки атмосфер '), вопреки условию (14).
Подобно этому вода, из которой удален воздух, может быть перегрета без парообразования. По этим причинам лабораторные измерения кавнтации теперь, как правило, сопровождаются измерением содержания воздуха в жидкости. Только потому, что чаще всего «вода» не в достаточной мере однородна (ср. $1), а содержит во взвеси много «пузырьковых ядер», условие (14) приближенно справедливо.
""а Оау 2 ОР й и б Рис. 21. Подъем плоского пузырька в канале. Второй вопрос, имеющий математический интерес, связан с подъемом больших пузырьков в вертикальных трубах при наличии силы тяжести. Не затрагивая трудных задач физической реализации и устойчивости и пренебрегая поверхностным натяжением, мы рассмотрим идеализированный случай — подъем двумерного плоского пузырька, схематически изображенный па рис. 21,а. Наиболее интересно здесь большое сходство с математическими методами, введенными в $45, 46.
Чтобы показать это, снова отобразим течение на единичный полукруг 1' в плоскости 1 (рис. 21,6), причем неподвижную границу отобразим на дна. метр, а свободную — на полуокружность, как в з 3?. Пусть с(— диаметр трубы и ия — скорость подъема пузырька (если оси не. подвижно связать с верхней точкой пузырька, то ис есть скорость падения в оое — в точке на бесконечности вверх по тече- '1 С другой стороны, величина 250 атмосфер, которую часто приводят. является, по-видимому, неправильной; гч. [171, гл.
ХЧ, т 3. !07 Е 32. Неустойчивость ло Тейлору нию), Тогда, что почти очевидно, потенциал скоростей Ит=А(п( ! 1,), А = — "' (32) характеризует источник нужной интенсивности прн 1 О, стоки равной интенсивности прн 1 ~ 1(оо| и ооа); границы области Г переходят в линии тока. Что касается сопряженной скорости Ь(1), то мы учитываем ее нули н бесконечности в области Г подстановкой, аналогичной подстановке Леви-Чнвнта (19): С=(1+Р)$ — !п С(1 — Р)!'*е у' ', 0<С<0,5.
(33) Как и раньше, из принципа симметрии Шварца следует, что функция (с (1, С) регулярна в единичном круге Щ < 1 и ее ряд Тейлора Я(г', С)=а,(С)+аз(С) Р+па(С)Р+... (ЗЗ') суммируется по Абелю при 1 = 1. Остается удовлетворить условию !Ь!а 2ду на поверхности раздела, т. е. уравнению Бернулли для свободной границы в стационарном несжимаемом невязком течении. Это условие эквивалентно нелинейному интегральному уравнению относительно неизвестной фупкцни )с(о)= — 1ш(Я(с, С)) = — 2а,в1п2а — 4а,в1п4а —..., которая определяется коэффициентами ряда (33').
Это интегральное уравнение аналогично уравнению (25), но более сложно. Найти его приближенное численное решение оказалось трудным делом. Вычисления привели к выводу'), что пе/)с'йп' =0,23 ~ 0,01, что вполне хорошо согласуется с немногнмн имеющимися экспериментальными данными а). й 52. Неустойчивость по Тейлору Когда р' ) р, гравитационный член в формуле (13), очевидно, вызывает неустойчивость. Эта неустойчивость просто-напросто такая же, как у воды в ведре, перевернутом вверх дном! Так как поступательное движение области с ускорением а оказывает действие, эквивалентное ') наложению поля тяготения ') В!г!сЬо!1 б., Саг!ег 0 Д )саа Месь.
Лапу., 6 (!967), 769- 769; см. также бага Ьей 1 ап Р.. рсос. )!оу. яос., Л24! (!937), 423-43!. ') Н. Е, Жуковский в !23') получил точное решение подобной аадачн.— Прим. рео. а) 3упае Я. 1, б г!111 1Ь В. Л., Рг!пс!р!еа о1 Месьап!са, 2.е иад,, Мсбгаж-Й!Н, 1949, $ 33. Гл. Ш. Струи, следы и яоеитоция — а, та в ускоренном течении предыдущий результат можно интерпретировать следующим образом. Плоская поверхность раздела двух жидкостей с плотностями р, р' неустойчива, когда имеется ускорение, направленное от более легкой жидкости к более тяжелой.
Такая неустойчивость называется неустойчивостью но Тейлору '). Двумерная неустойчивость возмущений первоначально плоской поверхности раздела адекватно описывается формулой (!3). пока амплитуда возмущений остается бесконечно малой. При начальных синусоидальных возмущениях наиболее заметным признаком нелинейной тейлоровой неустойчивости является возникновение закругленных на концах столбиков, разделенных падающими струями. Любопытно, что наличие этих столбиков приближенно согласуется с тем анализом подъема плоских пузырьков, который кратко изложен в $51. Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии ($42), так и в подводных взрывах.
В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С)1) Рэлей ') получил простыедифференциальные уравнения для радиуса Ь(1) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра р»(созф), то можно показать, что амплитуды возмущений Ь» (!) удовлетворяют уравнению ЬЬ„+ ЗЬ Ь„вЂ” (Ь вЂ” 1) ЬЬ„= О. (34) (Это уравнение отличается от уравнения (13) для плоского случая членом ЗЬЬ».) Пузырьки, возникающие при подводном взрыве, сначала чрезмерно расширяются, когда вода выталкивается наружу, а затем снова сужаются примерно до начальнога радиуса. Вблизи минимального радиуса происходит резкое замедление течения внутрь пузырька, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
