Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. происходит ускорение в направлении более плотной жидкости. Это, очевидно, делает сферическую поверхность раздела неустойчивой по Тейлору,— обстоятельство, которое очень ослабляет последовательные пульсации пузырька. Случай пузырька, заполненного паром и сжимающегося «в точку», как предполагается при идеализированной кавита- ') Так как впервые ее физическое значение выяснил Тейлор; Ргос.
Згоу зос., Л20! 119501, 192 — 196. дальнейшие разъяснения и литературу см. в [171, гл. Х1, $ !2, 13. з) [121, т. И, стр. 504; [71, и. 91 а; [171, тл, Х1, $1 — 3. э 58. Мосштобные эффекты при входе в воду ционной эрозии, менее ясен, так как тут всегда имеется ускорение, направленное от более плотной жидкости к менее плотной. Тем не менее и в этом случае имеем неустойчивость нз-за отрицательного торможения '), так как по существу 5 < О. В предшествующих рассуждениях мы не только пренебрегали многими физическими переменными, которые могут иметь значение (например, поверхностным натяжением), но и ограничивались бесконечно малыми возмущениями. Хотя достигнут некоторый успех в исследовании возмущений конечной амплитуды, в нелинейной теории пока еше не все понятно.
й 53. Масштабные эффекты при входе в воду Большинство приведенных выше экспериментальных фактов подтверждают мнение о том, что математические решения обобщенной задачи Гельмгольца приближенно применимы к реальным кавитационным течениям. Упомянутые до сих пор исключения были связаны с особенностями малых пузырьков'). Кроме того, рассуждения в $43 дают серьезное основание прел- полагать, что теория струй применима в случае, когда р'/р мало.
Если мы хотим согласовать это предположение с опытными фактами, то приходится признать, что число 0,0013 не «мало». В частности, есть два гидродинамических явления, которые наблюдаются при входе тел в воду в атмосферных условиях и отсутствуют, если воздух удален. Следовательно, никакая математическая теория, пренебрегающая отношением р'/р -< <0,0013, не может их правильно обьяснить. Более важным из этих явлений считается поверхностное смыкание. Если в спокойную воду падает небольшой шар со скоростью 3 †м/сек, то каверна сначала смыкается по схеме рис. 22, а, так называемое глубинное смыкание.
Если же скорость при входе равна 12 м/сек или больше, то каверна начинает смыкаться на поверхности по схеме рис. 22,б. Снимок поля скоростей при смыкании на поверхности воспроизведен на фото 11. Впервые явление поверхностного смыкания наблюдал Вортингтон примерно в !900 г. 133]; позднее Маллок') заметил, что звук, возникающий при глубинном смыкании, напоминает хлопок,а при поверхностном— всплеск. В !944 г.
Дэвис '), следуя указаниям Тейлора, показал, что если в достаточной мере снизить давление воздуха р, то поверх- ') В ! ~ 'к Ь о 11 О., 0«ог. Арр!. Мо!Л., 13 (!956], 451 — 453. э) См. 4 32, 51 и [321. Ыаденькне п)эырькн кое.чего да стоят! ') Ы а)!о с )г УУ Ргос. )гоу. Зос., А95 ! !918), 138-143; см. также Н а г ч е у Е. М. апб Л! с Ы11)е п 3. Н., /. АРР1. Р!гуэ., 17 (!946), 54! — 555, ') Неоптбанкоаанный доклад, отпечатанный на мимеографе. ио Гл, ///, Струи, славы и коеитацыя постное смыкание уже не происходит даже при больших скоростях. Вначале предполагали, что наличие или отсутствие поверхностного смыкания зависит от кавитационного числа Я 2р/ро'. так как величина с) оказывает существенное влияние на многие кавитационные явления.
Но в !945 г. по нашему предложению Дж. Гильбарг и Андерсон (29) применили тяжелые газы типа Рмс, 22. а-гаубинкое смыкание; 6-поверхностное смыкание. фреона, благодаря чему можно было независимо менять давление и плотность. Эти авторы показали, что для заданного диаметра И шара и вертикальной скорости входа о (число Фруда тг оа/йй) характер смыкания в основном определяется атно. шепнем р'/р. Например, для шаров диаметра 2,5 см, входящих в воду со скоростями 15 — 45 м/сек (т. е. при тг = 10< — 10<) происходит поверхностное смыкание, если р'/р > 0,001, н глубинное, если р'/р < 0,0001.
Это внезапное изменение режима вблизи малого значения параметра р'/р напоминает внезапное изменение в обычном следе, происходящее вблизи 1/йе ч/ва = 0,02 (вихревая до. рожка) н 1/Ке = 0,000005, а также в трубах вблизи 1/Ке 0,0005 (см. гл. 11). Таким образом, это дает нам еще один «парадокс аппроксимации» и снова указывает на то, что характер решений уравнений в частных лроизводных может внезапно изменяться вблизи очень малых значений параметров. В $78 будет показано, правда, с помощью до некоторой степени произвольного физического анализа, что такое изменение режима в действ" ельности тесно связано с безразмер <ым пара- б 34 Реальные следи метром А/= )ссср'/р и происходит тогда, когда у примерно равно г/ае. другое явление, не совместимое с нининым пониманием утверждения Ветка и Петерсона, состоит в том, что при наклонном входе в воду обнаруживается тенденция к преломлению траек.
торин движения книзу. Хотя обстоятельства дела не вполне ясны, Слихтер показал на опыте, что гладкая дюралевая сфера диаметром в 5 см, входищая в воду со скоростью около 15 м/сек под углом в 20' к горизонту, может отклониться вниз при входе иа 5 и больше. (Прt гораздо ббльшпх скоростях были обнаружены отклонения вверх и тенденция к рикошету ').) Полной теории этик явлений пет, но Слнхтер провел тщательный (к с<>- жаленню, неопубликованный) экспериментальный анализ, который показал, что такое преломление траектории связано с вязкостью воздуха — переменной, влиянием которой по интуиции, казалось бы, можно пренебречь (ср. с гипотезой (А) нз 9 1).
й 54. Реальные следы Обычно уравнения Эйлера приближенно применимы в условиях стационарного течения, когда р'/р «с. 1, но для этого ие достаточно, чтобы ч было мало. Это выразительно показано на фотографиях реальных следов. В частности, основной переменной, определяющей поведение реального следа, является безразмерное число Рейнольдса йе = иг(/т, определенное в $ 2!. При этом дело сводится к выяснению природы реальных следов при Ке ',»~1. При условии [[е Ф 1 в реальных следах передняя и задняя части приближенно симметричны, и такие следы соответствуют приближению Стокса — ползущему течению (9 ЗО), если можно получить решение такой краевой задачи.
В интервале 5 < Ке < < ЗО (приближенно ')) при обтекании кругового цилиндра нли другого необтекаемого препятствия линии тока «отрываются», образуя конечный выпуклый след, который качественно напоминает конечную каверну, описанную ранее в этой главе. В действительности подобные следы наблюдались позади сфер и дисков вплоть до значения йе = 200. При ббльших [(е, главным образом в интервале 40 < [(е < < !000, реальные следы обычно бывают периодическими, ') й агна аиег С., ОЬег деп (((сосье!зсьиза.
К!е! б(ззег!аппп, 1903; [31, стр. 433. [Рниопзетироваиие по повсрзности воды было изучено Л. И. Седовым (см. Седов Л. И., Водяные рниоигеты, йАН СССР. Ы (!942), М 9).— Пр .р;,Ч ') См. [!7), гл. ХИ вЂ” Х!Ч относительно более подробного изломанна бантов. 112 Гл. Ш, Струи, следы и кааитииия благодаря чему часто слышна музыкальная нота.
В случае кругового цилиндра частота колебания М связана со скоростью течения о и диаметромгт'приближенным эмпирическим соотношением 6Н ' (35) Поскольку течения с подобными периодическими следами стационарны, это представляет собой новый парадокс симметрии ($26). В интервале 10' ( Ке < 10з реальные следы позади плохо обтекаемых тел оказываются преимущественно турбулентными, но в случае достаточно гладких поверхностей пограничный слой обычно не становится турбулентным до тех пор, пока не произойдет отрыв. Однако для значений Гсе ) 3 к' ,!Оз пограничный слой, как правило, становится турбулентным до отрыва. Как уже объяснялось в 9 28, это дает весьма суженный (но все еще турбулентный) след. Существенная зависимость всех этих качественных явлений от численного значения Гсе делает очевидным тот факт, что никакая действительно фундаментальная теория реальных следов не может пренебрегать вязкостью.
Тем не менее были построены различные остроумные модели следов на основе уравнений Эйлера. Так, Мизес' ) предложил применять решение задачи Гельмгольца — Бриллюэна в качестве подходящего приближения реального обтекания цилиндра с ламинарным пограничным слоем. В том случае, когда из-за турбулентности пограничного слоя при больших числах Рейнольдса след сужается, хорошее приближение дает «след нулевого сопротивления».
Были предложены и другие «струйные» модели'), в которых вводится частичное восстановление давления в следе на больших расстояниях, что можно согласовать с эмпирическими данными. 5 55. Вихревые модели следов В других моделях следов заранее вводятся априорные распределения завихренности с целью выразить наблюдаемые свойства течения посредством простых математических уравнений. При больших т(е опять-таки можно пренебречь вязкостью, что, по крайней мере при беглом рассмотрении, кажется оправданным.
') М наес Р., Теория полета, М., ИЛ, !949. з) й о з Ь 'к о А., У. Аег. 5сг., 22 (1955), 124 — 132; С о г и е1! %. А. в 1321. Схема, на которую указывает автор, впервые была введена Н. Е. Жуковским !5 ),— Прим. ред.) Пз 8 Я, Вилревме модели следов В одной из старых моделей вводятся два симметрично расположенных за круговым цилиндром точечных вихря, как показано на рис. 23 (ср. рис. !3). Этой модели, которой мы обязаны срепплю, уделялось значительное внимание ввиду ее чрезвычайной математической простоты, интересной теории ее устойчивости и связи ее с моделями вихревых дорожек (% 56).
Если вихри расположены на кривой 2гу = г' — ат ([7], стр. !55), где а — радиус цилиндра, то вихревая конфигурация находится в (иеустойчивом) равновесии. Кроме того, можно добиться, чтобы Р и с. 23. Обтекание цилиндров, по Фепплкк конфигурация линий тока модели имела хорошее согласование с наблюдаемой экспериментально, примерно в интервале 5<не<30. Однако вблизи центра вихря в стационарном плоском течении многие поля скоростей напоминают конфигурации линий тока в виде концентрических окружностей, и, следовательно, не стоит придавать слишком большое значение упомянутому согласованию. Теоретически же в стационарном течении завихренность должна из любого центра распространяться во внешние области, становясь асимптотически лостаяннои внутри любой замкнутой линии тока ламннарного течения при большом числе Рейнольдса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
