Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В общем виде получается уравнение (10) откуда, в силу формулы (9), 9Ч/=е-м(с'+1)Р'. Снова дифференцируя, получаем следующие уравнения: —,(йоши)= — е-н(сэ+1) [сРи+2Р"1, ж(9'И) = -"(с'+ 1) Р"". (10') Из формулы, дающей отношение площадей в якобнанах. д/д(х, у) г-'д/д(3., 6) следует, что уравнения Навье — Стокса (6) эквивалентны уравнению Выполняя указанные действия, используя равенства (10), (10') и сокращая на общий множитель (сэ+1)/г'=е-а(сэ+1), мы получаем уравнение т((сг+ 1) Рт+ 4сРи+ 4Г) + аР" + 2РГ = О.
(11) По той же причине в случае автомодельных относительно группы (7) течений равные изменения Х вызывают равные изменения р'(е-', сХ); поэтому У(е', с1) =аХ+б есть линейная функция от Х. (Постоянная б не влияет на скорость, и ее можно положить равной нулю.) Комбинируя этот результат с соотношением (8), мы получим формулу 6 62. Пограничные слои р клиньев Это и есть обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное Озееном '); трудно найти другой столь же простой его вывод.
С помощью подстановки 6 Р' можно придать уравнению (11) несколько более привлекательный вид; кроме того, оно удовлетворяется всегда, когда Го О. Во всяком случае, решения можно получать численным интегрированием. й 82. Пограничные слон у клиньев Рассмотрим теперь задачу интегрирования уравнений ламннарного пограничного слоя в случае стационарного плоскоготечения; они уже были приведены в $27. Этн уравнения имеют вид дн ди дн, дти ди до .— +.— =и — -+.— *.
--+ —,=О (12) дх ду ' дх дуа ' дх оу а краевые условия таковы: и= 0=0 при у=О, х)~0 (13) ![а и (х, у) = и (х). (13') Как было отмечено в $74, приведенные уравнения выведены в асимнтотинеском приближении. Это подсказывает нам мысль рассматривать масштабы х и у как независимые измерения и искать решения, симметричные относиуельно нетривиальных подгрупп четырехпараметрической группы аффинных преобразований х — «ах, у-«ру, и — «7и, тг-«йъ.
(14) Можно надеяться на успех в случае обтекания бесконечного симметричного клина. В этом случае с помощью элементарного конформного преобразования можно показать, что зйлерово течение вне пограничного слоя имеет вид') и„(х) = схж прн подходящих значениях постоянных с и т. Случай т = С соответствУет плоской пластинке, паРаллельной потокУ; слУчай т = ггт соответствует плоской пластинке, перпендикулярной потоку.
Проверяя условия (12) и. (13') на инвариантность относительно группы (14) прн и (х) = сх , мы получаем однопараметрическую подгруппу, определяемую соотношениями р=нп-"Ут 7 =и'" (тривиально). 6 =и -!р =1/р. (14') '] См. О а ее и С. %., Агыо [ог Мог.. 1 — 11, 1927 — 1928, или (71]. гл. П. Относительно асимптотического поведения нрн малом т сн.
К оег1! О., Д Маис Раук М1Т, 30 [1951], 106 — 116. т) Доказательство лали р в! к и е г и $ к а и [77]; см. также [3), 4 64. Случай плоской пластинки впервые рассмотрел В!а в[на (66]; см. также % е у! (66], О с[а [67]. 165 Гл. К Тгариа грума и гидромехаиииа Переменная т) = (и /х)'*у инвариантна относительно этой под. группы; поскольку величина У = ~ и ссу получается в виде и' "нлу, то инвариантна также и функция ), определяемая равенством У = с(х, у). Поэтому мы ищем решение частного вида У=х! 'г!ссс'(т)), т. е. решение, инвариантное относительно под. группы (!4*). Всякое решение У такого вида удовлетворяет условиям (!3), (13') и второму уравнению из формул (12), если 1'(оо) с. Для того чтобы удовлетворялось оставшееся уравнение, необходимо и достаточно, чтобы функция с(т)) удовлетворяла уравнению (7" — ) — — ж+ — 'Г= Г" (15) По~леднев уравнение можно проинтегрировать численно') при краевых условиях )(0) = )'(0) = О, Г'(оо) = с. $83.
Струи н следы в вязкой жидкости С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно рассчитать, в приближении пограничного слоя, асимптотический профиль скоростей ламинарных вязких струй как для.плоского, так и для осесимметричного течений. Ввиду инвариантностн уравнения пограничного слоя и уравнения неразрывности (!2) относительно аффинных преобразований мы будем искать профили скоростей, удовлетворяющие гипотезе подобия т= !'- сс = х-е/(т)), ([б) где у обозначает расстояние от оси х на плоскости нли в пространстве. Для того чтобы уравнения (!2) были инвариантны относительно преобразования (16), необходимо и достаточно, чтобЫ 2г) = р + !.
Мы опускаем выкладки'), однако заметим, что в ходе вычислений подтверждается формута Р = ин '"" = аа из группы (14') для рассмотренного в $82 случая р — т, Для того чтобы определить р, нужно также использовать закон сохранения полного количества движения струи, равно как закон сохранения количества движения следа, рассмотренный в $57. На плоскости этот закон сохранения эквивалентен соот- ') См.
На г1г ее )), П., Ргог. СатЬ. РСШ 5ог, 33 !1937); 223 — 229; О г 1 6 а ! е 1 и 5., там же, 35 (1939), 335 — 341; 5 ! е аг а г 1 а о п К., там же, 59 ! 19541, 454 — 455. г) [171, стр. 271. 167 4 дй Течения Прандгяя-Мейера где сь с,, са — постоянные интегрирования. Кроме того, из естественных физических краевых условий следует, что с, = са = са = 0; в таком случае уравнение (17) можно легко проинтегркровать и получить следующий результат: 2мна 0 а+1 — соа 0 (17') при произвольном а.
Поведение этих решений «в большом» будет рассмотрено в $89. Аналогично можно рассмотреть ламннарные следы в вязкой жидкости, если и считать возмущением скорости свободного по. тока (7, так чтобы (7 + и представляло собой локальную скорость. В этом случае, кроме гипотезы подобия (16), надо прп. влечь закон сохранения количества движения следа (9 57), что 1 1 дает р = д = — для плоских следов и р = 1, д = — для следов 2 2 в пространстве. Можно также вычислить и профили скоростей по-прежнему в приближении ламинарного пограничного слоя.
Примерно таким же образом исследуются турбулентные струи и следы, Однако в настоящее время общепризнано, что допущения, использующие понятие «длины перемешивания», для подобия в турбулентном случае, принятые в опубликованных теоретических работах, весьма сомнительны (см. [!7), гл. Х1Ч, $11). 9 84. Течения Прандтля — Мейера В качестве еще одного примера применения метода «поиска симметричных решений» в задачах континуальной физики мы перейдем теперь к установившимся безвнхревым течениям сжимаемых невязких жидкостей.
Дифференциальные уравнения ') Я Н е е в В. Л., ЖЭ ТФ, 20 ( 1950), ! 03 ! — !034; 3 Ч н ! г с Н. В., !«7й!ЛМ, 4 (!95!], 32! †3. Относнтслнно нраевык >саовнй си. 1!71, счр. 278, ношению 2р = д, а в пространстве — соотношению р = д в предположении, что справедливо соотношение (16). Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая р = д = 1.
Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром '). Уравнения Навье — Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению 7з = 477+ 2(1 — Та)~' — 2(сПа+ са7+ се), Т = — = соз й, (17) Гл.
К Теория еранн н аааронеланана таких течений инвариантны. как мы выдели в $73, относительно однопараметрнческой группы моделирования по числу Маха: х,-» ахо !-» а!; р, р, и не изменяются. (18) Следуя методу поиска симметричных решений, будем искать течения, ннварнантные относительно группы (18); стационарные же течения будут инвариантны и относительно группы преоб- разований (18') и, = я (6), и, = В (9), р = р (9), р =,/'(р) — ~ =у'(р) = ст.
Плоские течения, удовлетворяющие условиям (!9), назы- ваются течениями Прандтля — Мейера; в $92 мы дадим их обобщение (см. там рис. 28). Пространственные течения,удовле- творяющие условиям (19), называются осеснмметричными кони- ческими течениями. Предположение об отсутствии вихрей равносильно условию и,Юг+и,гй6=0 для всех замкнутых кривых, откуда О д(ги~)/дг — ди,/д9 - й — и', и мы получаем равенство й=я' (20) Так как течение безвихревое, то уравнения движения эквива- лентны уравнению Бернулли, которое можно записать в виде ~ из+ ~ — 2.(йт+8'т)+ ) -с-=сопя!, р илн как дифференциальное уравнение О=ийи+ ~~ =8'(д+й")+с'( — ) (2!') (21) прн неизменности всех прочих переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
