Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При рассмотрении течений, ннвариантных относительно преобразований (18) и (18'), удобно пользоваться полярными (г, 6) и сферическими (г, 6, 9) координатами. Пусть и„ и и1 †соответствующие радиальная и трансверсальная составляющие скоро. сти. Мы рассмотрим лишь случай и = О, т. е. случай отсутствия циркуляции в стационарном (безвйхревом) плоском и осеснммет нчном течении. 3 опущение инвариаитностн относительно яреобразованнй (18) н (18') означает для таких течений, что нижеследующие величины зависят только от угловой переменной (дополнения широты): 1б9 д 84, Течення Прандгля — Мейера Использовав (19) и (20), мы получим уравнение (д+д")+( — ',)й =о.
(22) Умножая уравнение (22) на д' и вычитая полученное уравнение из равенства (21'), придем к результату (с+я')(с — й')(~ ) =О. Соотношения (22) и (22'), очевидно, эквивалентны уравнениям движения и неразрывности. Мы получаем, таким образом, два семейства решений. Случай 1. Р' = О. Тогда, согласно уравнению (22), получаем й" + и = О, откуда и, = А соз (б — а). Чтобы получить ие, мы используем формулы (19) и (20) и находим, чтотечение равномерное с постоянным вектором скорости. Сл у ч а й П. с' = и", или с = +. д'. Мы видим, что радиусы б = сопз1 являются характеристиками в том смысле, что перпендикулярная к нкм составляющая скорости всегда равна скорости звука с. Это так называемые волны разрежения Прандтлл — Мейера '); они могут заполнять клнновидные области, плавно переходящие на границе в области равномерного течения.
Мы часто видим такие области на фотографиях действительных течений; таким образом, предположение, что р = Р(б), непосредственно подтверждается экспериментом. В политропном случае, подставляя с' = я" в уравнение (21'), мы сразу получаем дифференциальное уравнение (Т+ 1) д" + (7 — 1) ят = 2 (Т вЂ” 1) С (23) (22') ') (б91; Ме уе г Т., РПI Еагеганайеае)б 62 (1%В), 31-67, При политропноле уравнении состояния р = йрг+ре, с'=улрт-', и так как ) йр/р=йург-'/(Т вЂ” 1) =сеу(Т вЂ” 1)+сопз1, то, следовательно.
в этих условиях получаем уравнение 2 (К +к')+, =сопя(=С. (21е) Все сказанное до сих пор справедливо и для конических те. чений. Для течений Прандтля — Мейера уравнение неразрывности б(ч(рп) = 0 можно записать в виде 0 = д (Рги,)+ дз (Рич)=-Ри +(Рив) =Р (и„+ ие)+Р ие д д !70 Гл, Р. Теория грека и гидромеканика Оно легко интегрируется в замкнутом виде, причем качественно характер решений в адиабатическом случае т > 1 совершенно отличен от характера решений при т = 1, прн — 1 < т < 1 или при т = — ! (круговое течение). В общем (неполитропиом) случае уравнение (22) и соотношение с = +-8' остаются справедливыми.
В силу симметрии достаточно рассмотреть случай с = д'. С помощью уравнения (21) мы получаем сначала 1п р = ф(с) = ф(д'), а затем уравнение (8+8")+8'8"ф'(8') =О, (23') которое интегрируется численно ((14), раздел 7.1), (Если и'ф'(д') = — 1, то имеется особенность.) Следовательно, волны разрежения 1грандтля — Мейера математически возможны для общего вида уравнения состояния. $85. Конические течения Тейлора — йбаккола В пространстве и измерений (физически, разумеется, представляет интерес случай п = 3) уравнение неразрывности для стационарных осесимметричных течений принимает вид О= — (рта 'СОЗ' ~би,)+ — дб (рг ЗСОЗ" ~биг)= д д дг ргл-з(созе-тби1) + 1(и 1) ри, + р~и1) та т созе-з 0 Разделив все члены уравнения на выражение рг -тсоз -зб и воспользовавшись соотношениями (19) и (20) (напомним, что уравнения (19) — (21') справедливы для пространственных течений), вместо уравнения (22) мы получим следующее уравнение: (и — 1)я — (и — 2)8'!и 0+бе+8'( — ) =О.
(24) Уравнение (21') в данном случае все еще справедливо, оно эквивалентно уравнению (21') в политропном случае, и учитывая уравнения (21) и (21а), мы получаем соотношение ) (+ ) (+в)~ ( + ~) Подставив это соотношение в уравнение (24), которое можно записать в виде (д' -(-8) -1-(и — 2)( — 8' 1й О.+ 8) + Ы'( †', ) = О, (24') Гл, 'г'. Теория групп и гидромехаиика 172 предсказывает существование течения с «отошедшей ударной волной». Подобные течения будут рассмотрены в 9 88. Здесь достаточно отметить, что теоретически вычисленные границы конического режима, давление на коническую головку и угол присоединенной ударной волны (как функции числа Маха и угла при вершине конуса) ненамного отличаются от экспериментальных данных.
(28) ') Г]о поводу расходяшнхся плоскнх воли (гпентрнрованные волны разрежения») см. [6], й 46. О волнах давления. возннкаюшнх прн расширении сферы, см, Т а у! о г О. 1., Ргоа мор. Зог., А 166 11946], 273 — 292. г) См. [62], [72] н [74]. О ннх идет речь н в [57], гл. 1Ч. В [57], гл. Н, $13, приводится ссылка на более раннюю работу об автомодельных гравптапнонных волнах Н.
Е. Кочина, Труды Мат. Института нм. Стеклова, 9 11935); см. также [7], и. 277. й 86. Расходящиеся волны давления Существуют также важные семейства нестационарных течений, обладающие внутренней симметрией (18). Из таких семейств особенно заслуживают упоминания расходящиеся волны — плоские, цилиндрические и сферические.
Плоские расходящиеся волны возникают, например, когда в ударной трубе рвется диафрагма н области позади слоя взрывчатки, взорванного с одной из сторон, или позади поршня, который мгновенно начинает двигаться с постоянной скоростью в бесконечно длинном цилиндре ').
Сферические волны возникают при равномерном расширении сферы. Интересно отметить, что с расходящимися волнами давления связано одно из первых сознательных применений метода поиска симметричных решений т). Мы рассмотрим их лишь с математической точки зрения. Здесь удобнее перейти к переменным Лагранжа.
Обозначим через а массу, определяемую путем интегрирования от какой- либо фиксированной материальной точки (например, от стационарного центра симметрии). Для ллоскик волн, если определять положение координатой х = /(а, /) и обозначать плотность че. рез р = р(а, 1), уравнение неразрывности эквивалентно соотношению о = д//да между удельным объемом о = 1/р, величиной к н массой а. Поэтому допустимые для данного уравнения состояния р ро — Р(п) = ро+ йрт течения соответствуют реше. ниям уравнений движения. Последние сводятся к уравнению дзу дгу гдул т 1 дзу — = г.т (о) — = йТ Я дез даз (да / даз ' 173 В Вб, Расходящиеся оолнн даоления как указано в [6[, $18.
(Легко проверить, что и = д//д1 есть скорость, д'//д/с — субстанциональное ускорение и что правая часть представляет собой — др/рдк.) Так как скорость и = д//дб то автомодельность относительно преобразований (18) эквивалентна соотношению /(аа, а/) = = а/(а, !) для всех а > О и, следовательно, соотношению [(а, а!) я/(1, г) = ай(/).
Полагая т = 1/а, получим равенства: х = / (а, /) = а/~1, — [ = ай (т), (26') Таким образом, равенства (26') служат выражением инвариант- ности относительно преобразований (18). Подставив формулу (26') в уравнение (26), получим соотношение О а-со'(с) [1 тйрс~сст[ (27) так как прямой подсчет показывает, что дс//дая = !спо(//а)/а'. Итак, «центрированные» плоские волны, обладающие симметрией расширения (18), представляют собой решения обыкновенного дифференциального уравнения (27). (Парадокс Эрншоу утверждает, что таких решений, обладающих симметрией переноса, нет.) Уравнение (27) имеет два семейства решений. Если дн = О, то / а [С, + Ся(!/а)[ = С,а + Сед Это тривиальный случай, когда имеем равномерное течение с постоянными и и а.
Во втором случае, 1 =Тйрс+'со, откуда следует соотношение Согласно формуле (26'), д//да = д(//а) — (!/а)а'(//а), и, следовательно, получаем условие в виде а — К'= [тй '!'""н (29) если т Ф вЂ” !. Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка легко проинтегрировать формально. Его общее решение имеет вид 8(с) =С.-+А.ыт+с1, (29') где А=[(7+1)/(Т вЂ” 1)[[7й['Я'+и, а С произвольно при условии, лишь если !т! Ф!. Если т = — 1, то решения не существует, так как тогда ввиду соотношения (28), т = сопз1. Если 7 = 1, то общее решение имеет вида(т)=Сс — )/Тй т1п с. Аналогично можно разобрать случаи центрированных цилиндрических и сферических волн. Для случая пс + 1 измерений 174 Гл Ю Теорееч грини и гие>ролетаника уравнения движения записываются в следующем виде: д'г д г н дгт,„дг —,=г Р'(о) — ~г — ~, а=г (30) Условие автомодельности относительно преобразований (18) эквивалентно следующим соотношениям, аналогичным формуле (26'): г=Ьд(т), т= —, Ь= а'к ">.
а ' (30') Подставив соотношения (30') в уравнение (30), мы снова получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решения которого представляют собой цилиндрические н сферические волны. Как и в $ 84 и 85, можно получить волны, аналогичные описанным выше для общего уравнения состояния„не требуя условия политропиости'). Г-+~у, П-э(4' 'ц, ( Ро) Речи гнн '>(Р Р ). (32) х — р х, ~Я1 -зжт-з>р ее ') Относительно материалов $86 сн. оригиналы<у~о литератур> на р>с. скоп языке [8'], 114*], — Орин.
ред, В 87. Политропная симметрия В политропном случае р — ро = Арт (ср. гл, ]Ч, теорема 9), а уравнения сжимаемого невязкого баротропного течения обладают двухпараметрической группой симметрии. Она представляет собой подгруппу трехпараметрической группы преобразований: х-+ их, г'-ь рг', и — (иур) и, (31) р +ЬР. (Р Ро) «о (Р Рс). Политропное уравнение состояния и уравнение неразрывности др/дт + е]]ч(рп) = 0 инвариантны относительно всякого преобразования вида (3!). Уравнения движения (иевязкой жидкости) инвариантны относительно группы (31) тогда и только тогда, когда Ьт ' = ае!Де. Отсюда, двухпараметрическая подгруппа группы (31), сохраняющая неизменными уравнения движения Эйлера, определяется условием 8 = (и/8) "' Эа исключением тривиального случая 8н— м 1, во всякой однопараметрнческой подгруппе группы (31) справедливо равенство при некотором постоянном показателе т.
Поэтому, если уравнения движения Эйлера инвариантны относительно такой подгруппы, то 8= Реп 'жт '>, и мы получаем следующие соотношения: 175 й ла. Кои<>«сс«ие те«слил Автомодсльным течениям из 6 84 — 86 соответствует выбор т 1, н тогда вторая строчка нз соотношений (32) сводится к р- р, р- р, так что соотношения (32) вырождаются в формулы (18). Орбитами группы (32) (ее «множествами транзитивностн») н системе координат пространство — время называются кр1<вые, на которых постоянна величина )( = х/!т. Следовательно, не- вязкие сжимаемые течения, которые группа (32) переводит самих в себя, определяются соотношениями а,(х; !)=!' Г>()[), р=гз<' нлт "е(х), (33) а также и зависимостью р — р,=.йрт, Сделав подстановку в урии~ения движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
