Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как я /з, то это условие равносильно тому, что — 2а'/йл р, или 1/дз = р(1 — /е). Надлежащим выбором начала координат н шкалы времени последнее условие можно свести к я = 1/ У ( и, следовательно, к условиям пе(х; ()==А(Х) и Р= —" ° ~Х= — ~ ° (52) 1 р(х) г х 1 ~А +Хз — ) +/а — + — — =з Д~ —. (52') 1г дЛ1 дЛ 1 д„к~д~, джаз ) дтз З, дт, Й дтпл Итак, в поясках более общего типа симметричных решений мы снова снизили число независимых переменных на единицу) Рассматривать соотношения (52') сами по себе здесь мы не будем ').
') Нз кзоскости условяе (60) зкввввлеятво сушестяовзяизо фукккян тока, э вз соотаоизевяя (62') можно ясклзочнть р. ясяользуя ю( (атзд р) О. Прн этом урзввевяе четвертого иорядвз в частных яров»водных (6) не нзмеяяетсн. Э 92. Обратные методы Это соответствует инвариантности уравнений Навье — Стокса относительно преобразования 1-г.к/ и х- рх прн условии, что число Рейнольдса Йе = игу/т (р/к) р, (т = сопв1) не изменяется, так что р — 'г' а.
Решения (52) — в точности те течения, которые инвариантны относительно этой группы. Уравнение (51) имеет также «вырожденные» решения. Например, рассмотрим течения, параллельные оси х, тогда можно записать равенства: (55) и,=й(1К(у, я), и,=и,=Р=О. В этом случае условие (50) всегда удовлетворяется. Так как /г = 1, то Рз = 0; из р = 0 следует Рч — -О. Большое значение имеет то, что Ое /!диг/дх = 0 при всех 1; поэтому для Рз нет ограничений.
Остается удовлетворить условию 27! = «В(У/!/дух+ + УЦдИ), которое, поскольку я завискт от 2, а /! зависит от х (у, г), сводится к равенству й'/я — й и соотношению Дту и,=е '~!(у, я), где —,~ —,'+ р г = — 1Д. (53') аут рлг Последнее соотношение определяет хорошо известное') экспоненциальное затухание параллельных вязких течений, например, течения в двумерном канале — а~~у~(а прииг=а-вгсозиу/2п и й = кт/4азт. ф 92. Обратные методы Предыдущие примеры характеризуют метод «разделения переменных» как обобщение «метода поиска симметричных решений». В свою очередь метод разделения переменных представляет собой частный случай более широкого класса «обратных методов», систематически изученных П.
Неменьиз). Положение в этом вопросе нестрого можно описать следующим образом. Всякий раз, когда теория групп указывает на существование течений с разделеннымн переменными или течений, обладающих каким-либо другим свойством Р, априорно постулнруя свойство Р, мы получим по меньшей мере те же решения, но, возможно, и какие-либо другие. ') См. Тву!ог О. 1., РЬП. Мал., 46 (1999), бт! — 674. Анвлогнчиое зкспокевпнвльяое затухание возможно н длв круговых течениз, когда р'(г) доствточио велико для создвияя иеитростремительного ускорения; ср. 1ТЦ в В ег!ге г Д., Знг Чне19пев свв б'!пзбигв!!оп бев Ьргвпопз бн пгоитапеп1 б'пп 1!нме тки!псих !псовргевв!Ые, 1.!!!е. !936, ') И е м е н ь и П. Ф., сб.
Проблемм мехвняки, ИЛ, в!., !996, стр. 294 — ЗЬУ. 1См. твхже 1441. — Прин. ред4 Гл. Р. Теория грвлл л гедромекелике Например, согласно теории групп, существуют (локально) волны расширения Прандтля †Мейе, для которых Векторная скорость постоянна вдоль всякой прямоА я«которого одяопярлметрячесхото семеастяе. «Обратный метод» состоит в нахождении всех стационарных безвнхревых течений сжимаемой невязкой жидкости, обладающих свойством Р1.
Это получается следующим образом. Мы знаем ($ 5), что уравнения движения в случае стационарного безвихревого потока эквивалентны уравнению Бернулли и92 + 1Ыр/р = С, Поэтому с помощью численного интегрирования для каждого значения «давления торможения» (т. е. постоянной интегрирования) получим одну и только одну пару функций р(и) и р[р(и)), удовлетворяющих как уравнению состояния, так и уравнениям движения. Кроме того, течения сосвойством Р1 — это течения, у которых такие р(и) и р[р(и)], что викри отсутствуют и уравнение неразрывна- Р пс.
26. Коопдппаты для волны Рал- сти (т. е. закон сохраРеменпя Йрандтля — МейеРа. пения массы) удовлетво- ряется. В рассматриваемой задаче можно достаточно хорошо разобраться геометрически, используя специальную систему координат, связанную с нашим однопараметрнческим семейством прямых. В качестве специальной системы координат рассмотрим угол 6, образуемый осью к с прямыми, и направленное расстояние И вдоль линии, ортогонально пересекающей прямые н отсчитываемой от некоторой фиксированной кривой, как показано на рис. 26. Если вспомнить, что заданные прямые представляют собой, «вообще говоря», касательные к некоторой плоской кривой Г, то сразу видно: (1) линии 6 = сопз1 суть данные прямые; (2) линии И сопз1 образуют ортогональное семейство эволют кривой Г„(3) г(зт = ттйт + гтг(6т, где г = И + з (6) есть радиус кривизны эволюты, а з означает длину дуги вдоль Г.
В втой естественной геометрической системе координат легко записать условие незавихренности и условие сохранения массы. По определению, незавихренность означает, что циркуляция по любой замкнутой кривой 6 равна нулю. Если а обозначает Гл. Ч. Теория групгг и гидромеланика Предыдущий пример является часпгым случаем более обшей <обратной задачи» нахождения всех течений с одномерными годографамн, т. е. таких течений, для которых векторы скорости описывают одну-единственную кривую '). (В общем случае годографом называется геометрическое место всех векторов скорости потока.) $93.
Общие замечания Очевидно, что метод поиска симметричных решений как раз является одним из таких методов, при которых задаются произвольные функциональные соотношения и затем находятся удовлетворяющие им течения. Другим таким методом является разделение переменных.
Таким образом, класс «обратных методов» включает в себя в качестве частных случаев метод поиска симметричных решений и метод разделения переменных. Большим преимушеством метода поиска симметричных решений по сравнению с остальными двумя является то, что для него мы располагаем теоремами существования симметричных решений, по меньшей мере в малом (ср. $89). А когда разделение переменных приводит к нетривиальным решениям, то последние обычно связаны с теорией групп. Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа чт(/ = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца 37тУ + + йт(l = О.
Выло показано е), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер„т. е. в одну нз систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических нли сферических координат. Это наводит нн мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод копформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы.
Однако утверждение, что всякое разделение переменных в гндромеханике связано с группамн (внутренняя симметрия), ') Случай несжнмаемой вязкой жнлкоспг см. М 011 е г тт'., ЕЫ!йнгопя !и гйе Тьеог!е дег гйайеп Е!йаз!яйсиеп, (.е!рмя, 1932; также 2е!!а аяя. Мо!й. Мегй., 13 (1938), 395 — 403. Случай сжимаемой невязкой жплкостн см. (72) а также С ! еае 3. Н., Оиаг. Арр!. Май., 9 (1951), 237 — 246. е) См.
(70], а также Мо о и Р., 5 реп се г О, Е., Ргог. Алг. Май. 5ог., 3 (1952), 635 — 642 н 4 (1953), 302 — 307 н прнведенную там лнтературу. 189 5 94. Метод годограФо было бы преувеличением. Несмотря на то что решение ') Кармана уравнений Навье — Стокса для течения вблизи вращающегося диска не изменяется прн аффннном преобразованнн г-ь аг, л -+ а, и, -ь аи„ие — ь аие, и, — и и„ уравнения Навье — Стокса не инвариантны относительно этого преобразования. Аналогично «обратные» допущения относительно постоянства величины скорости нлн завнхренностн на линиях тока и т. д.
не имеют никакого отношения к группам т). Было бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. ! 88), все снстемы коордннат. в которых решения уравнений нестацнонарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных. й И. Метод годографа С помощью преобразований годографа можно значительно упростить уравнения сжимаемого невязкого течения.
Мы уже видели (гл. 1, уравнение (10)), что стационарные безвнхревые плоские течения сжимаемой невязкой жидкости взаимно однозначно соответствуют потенциалам скоростей У, которые удовлетворяют нелинейному уравненню в частных производных: РтУ= —,'„(У.У„У,„+2У,У„У,„+У„У,У„„). (55) Здесь индексы означают днфференцнрованне по соответствующнм переменным, а с' есть местная скорость звука. Напомним' ), что уравненне (56) эквивалентно одному нз следующих лине!!ныл уравнений в частных производных: либо уравненню «Ч/е +«(1+- «;) 1' +(! — «,))те!=О, (57а) либо уравнению «'«+«(! — —,) «е+(1 — — ст) «я=О. (576) Здесь )т — функция тока; «е" — комплексный вектор скорости, так что У = «соз8 и У„= «з)п8; с' — однозначная функция ') К а г тп а п ТЬ., 2АММ, 1 ( 1921), 233 — 252; В а 1 с )г е ! о г О., Г>иог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
