Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы, факты, подобие (1123998), страница 38
Текст из файла (страница 38)
получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы течение было автомодельным относительно этой частной группы моделирования по числу Маха. Важныл! примером такого течения является асимптотическое течение газов в результате взрыва в стволе орудия при со- оГ>шепни ускорения снаряду постоянной массы ').
Пользуясь переменными Лагранжа, можно исключить уравнение неразрывности. Кроче того, как и в первом примере из 9 80, имеется особая «точкз конпентрации» начальной энергии при ! = О. Это соответствует случаю высокой концентрации взрывчатки в «длинноствольном» орудии; в данном случае можно предполагать, что течение адиабаги <на. Указанный пример связан с примером чрезвычайно интенсивных сферических н ш<линдрических взрывных волн, когда люжно пренебречь давлением вне области взрыва'). В этом случае энтропия зависит от силы ударной волны н убывает со временем; чтоГ>ы сохранялась величина полной энергии, нужно положить тт Окончательные фзрмулы для этих случаев читатель может найти в литературе, па которую мы ссылались.
8 88. Конические течения Течения, которые мы до сих пор рассматривали, обладают достаточной физической симметрией в пространстве и времени, так что все характеризующие их величины каждый раз можно выразить фуикцкями одной независимой переменной. В этих условиях уравнения в частных производных механики жидкостей >) [. о т е А. В . Р ! <( >( и с(< Р. В, Ра(!. Тголт., А222 (!922). 167 — 226; Кеп1 й.
Н., Раут>сз, 7 (!9261, 319 — 324. Ускоренно и !' т. См. также 161. 6 !60. >) См, [61, 6 161; такую модель двл Т ву1от О. 1„Ргос. Иоу. Юос, Л201 (19501, !59 — 166. Относительно дальней>и>ж результатов см. [571, тл !Ч [В русской лктерэт>ре такие волны назывиютсн «сильными улврныии волнвми», — Прим. Ред.[ Гя. Ю Теория гррлп и мгдромехаиика сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой «конические течения» без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А.
Буземан '). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) н=ц«р, 0). (34) Подобные течения получаются, например, около дельтавидных крыльев, так как такие крылья обладают конической симметрией. Более аккуратное применение метода к расширяющемуся автомодельному течению необходимо при рассмотрении входа в воду клина или конуса с постоянной скоростью (см. рис. 25), Р и с. 25. Вертикальный удар конуса о воду. сг (х у' г) = рр (-у- г ) ° (36) ') См. 1УАСА ТесЕ. Мети.
1100 (1947) и данную там бнблнографню! см. также (10), $10.5; Ферри А., статья в книге Общая теория аэродннамнкн большнк скоростей (ред. Сирс У. Р.), Военнэдат, !962 т) Этот вопрос был исследован Л. И. Седовым [14'). — Прим. ред. причем скорость должна быть достаточно велика, чтобы на входе преобладали силы инерции.
Сначала мы рассмотрим случай клина'). Как и раньше, преобразование: х,-+«хо б-ьну, величины р, р„ит не изменяются (35) оставляет инерциальную гидромеханику неизменной; мы даже можем считать жидкость сжимаемой! Поэтому метод «поиска симметричных решений» в случае клина предсказывает нам выбор решений вида 177 4 89. Локальные и глобальные решенил Этот метод сведения трех независимых переменных к двум использован в известной работе Г. Вагнера об ударе гидрЬплана прн посадке на воду '). Рассуждая, как в гл.
Ш, 9 2 мы можем свести задачу к функциям одной комплексной переменной, но прн этом усложнится краевые условия. Очевидно, тот же метод применим к задаче о конусе, входящем в воду с постоянной скоростью, н решение имеет внд (37) (7(х, у, х; 1) = 19~~ —,, —,, т.
е. мы перешли от четырех независимых переменных к трем. В случае прямого кругового конуса, вертикально входящего в воду, задача имеет осевую симметрию и решение можно построить с помощью функции т. е. одной единственной функции двух независимых переменных. В случае несжимаемой жидкости теорию потенциала можно использовать для создания поля течения с помощью распределения источников на свободной поверхности, положение и интенсивность которых являются искомыми функциями одной переменной (длнны дуги). Использовав эту идею, Шнффман н Спенсер ') показали, что условие постоянства давления на «свободной поверхностиз приводят к системе интегральных уравнений относительно функций одной переменной. Значительным достижением, которое принадлежит Хиллману, было приближенное численное интегрирование этик уравнений для конуса с углоь4 В 60 .
9 89. Локальные н глобальные решения Приведенные выше примеры показывают, что во многнк случаях для задач, имеющих данную симметрию в пространстве н времени, существуют автомодельные математические решения. Однако сформулировать и доказать общую теорему существования гораздо труднее. Когда имеется симметрия, достаточная для того, чтобы общие дифференциальные уравнения течения жидкости сводились к обыкновенным днфференциальным уравнениям, мы можем использовать стандартные локальные теоремы существования. ') % з 9 лег Н., ле)4з. ала. Магд МесИ, 12 (1932), 193 — 215.
г) Сотт. Риге Арр!. Ма))г., 4 (1951), 379 — 4!7; з етой же статье изложены результаты Н11)лг з и; см. также [17), гл. Х!, й 9. !тв Гл. ц Теория груня н гидролеяаника Однако существование глобальных решений, удовлетворяющих соответствующим краевым условиям, предсказать гораздо труднее. Ярким примером встречающихся здесь трудностей может служить сжимаемое невязкое плоское течение с симметрией вращения (спиральные линии тока). Как впервые показал Ринглеб'), такое течение невозможно в «большом», поскольку его радиальная составляющая меняет свое направление на противоположное вдоль «предельной окружности», Такую неопределенность наглядно можно продемонстрировать на течениях Тейлора — Маккола (9 85), для которых режим конической симметрии типа присоединенной ударной волны ограничен условием достаточной малости угла при вершине конуса (при данном числе Маха).
Для общего класса стационарных осесимметричных течений, удовлетворяющих уравнению (25), очень трудно строго определить существование решения в «большом», и опубликованные результаты не всегда надежны '). Подобным образом, хотя существование безударных центрированных волн разрежения возможно, волны сжатия связаны с ударными волнами, из-за чего весьма усложняется исследование существования решения в «большом» для автомодельных волн взрыва.
Другой интересный пример трудности определсния глобального решения представляют собой осесимметричные струи (ламинарные, вязкие). Как показано в 9 83, уравнения Навье— Стокса можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если использовать автомодельное поле скоростей, имеющее в сферических координатах вид п=т г2(В). (38) К сожалению, как показал Беран'), результирующее обыкновенное дифференциальное уравнение (17) не имеет глобальных решений, удовлетворяющих естественным краевым условиям для струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской стенке или из какого-либо другого конического отверстия, Вопреки некоторым опубликованным результатам, по-видимому, только струя, вытекающая из труб с параллельными стенками, математически совместима в «большом» с требуемой симметрией (38) и естественными краевыми условиями.
Локальная теорема существования Даже общие локальные теоремы существования нелегко доказать. Один ') 2Ал454, 20 (1940), 195 — 199; см. твкгке (15], тл. Ч $4 и ЧП 4 В. ') Наиболее аккурвткое исследовакие проаелево автором и Усищем, '!с а ! я Ь Л. М., Ц!аЬоисЫпаьу зиш)ее Чо!шве, Рагпь 1954, 1 — 12, а) В е г а и М., лиат. Арр!. Ма!Д, 1Я (1956), 2!3 — 214, Э 59. Локильные и глобальные решения 179 из положительных результатов формулирует следующая ') теорема (мы просим прощения у читателя за абстрактную математическую терминологию, которой мы воспользуемся ради краткости). Теорем а 1.
Пусть Х = Г Х Е есть прямое произвебение своих подпространств Г и Е и пусть для каждого фиксирован. ного а ~ Е группа 6 преобразований пространства Х транзитивна ') на множестве (Т, и), где переменная ТЕ Г. Если дифференциальное уравнение Р [и] = О, определенное в Х, инвариантно относительно 6, то на Е суи(ествует дифференциальное уравне-. ние А[У] = О порядка не более чем Р[и] = О и такое, что и(х) = = и(Т, 5) = У(5) удовлетворяет уравнению Р[и] = О тогда и только тогди, когда П(9) удовлетворяет Л[П] = 0 для 5 Е Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В окрестности каждой точки х = = (Т, 5) из Х можно ввести в Х локальные координаты , т, и 5„..., 5„,. Всякая р-я частная производнаяХпо[и] по этим координатам будет иметь простой вид Г'"'[и[Еге ']и], где Г' ' и Е>л "' — частные производные по координатам 7>, ..., 7> и (о..., 5„, для Г и Е соответственно.
Отсюда всякии опе. ратор в частных производных Р= Ф (Х>(л ), „Х(л«1] порядка д на функциях и(х), определенных на Х, можно записать в виде соотношения Р = >у (Г( д,, Г( ); Е(>я> '), > Е("««)11, (39) которое представляет собой функцию частных производных иа Е порядка не больше д. Но те функции У(5) = и(Т, 5), значение которых в любой точке х = (Т, 9) зависит только от Т (т. е, функции, инвариантные относительна 6), оператор Е; переводит в другие функции того же класса, а оператор Г; (группа 6 транзитивна) переводит их в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
