Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 7
Текст из файла (страница 7)
" к ЕВ с В'М. Так как ЙВ' меньше удвоснпой В'Хесе), то ясно, что ПЕ будет мсныис удвоенной УВз Пусть Пье будет равна удвоенной Ый; проводя соединяющую прямую КЯ, продолжим ое до Е; точка К будет центром тяжести всего ссгмовта, Й вЂ” конуром тяжести части, находящейся в жидкости; тогда цснтр тяжести части, которая иис жидкости, найдется на лишп1 КВ; пусть он будет К. Но КЕ перпендикулярна к поверхности жидкости, а значит, будут перпвпдпкулярнми и прямые, проведенные через В к й параллельно КЕ. Следовательно, сегмент «) кслп Ан=их. то лрлыпп ь е булат ппаиетрсм лароболы Апоа. сопрюпаппии хоех|е Ах и, аеочпт, торпа Ах параллельпа пасателы1оа ех( а аерлохпе лааиетра.
"«) то есть чтобы к была центром таьчестп сепхепта, а кр — сараистрои. *) деастаатслыю, еф„зфн ерас. ззв авхымкд не остал»тон в понос, по »тавот так, что»го основа«псе нн н одной то п«с не коснется жидкости, кбо в наст»ищем положении оно касается жидкости только в одной точке. Ясно, что сегмент установится так, что ось его образует с нонсрхностью зпндкости угол больший, чем («. (Слу*«н й 3» Пусть согмент пи»от но тяжести и жидкости таков отношение, как квадрат па БО н квадрату иа ВЛ «рис. 25«с, н опущен в зкндкость в канлошсои зшлозкскни. 1'.глзз расс» «ь ого черве ось плоскостью, перпенднкулнрпой к новерхпости жнс(ности, то сочооием тела будет парабола АПОА «рнс. 26«, ссчспи»м новорхисстн жидкости — прямая О1, а осью сегмента н днамотром параболы — примак КА; разделки ВА так жс, как и раньше, пчраллелъпо 10 проведем лаоатольлузо ЛМ к парабо;ю Рз«с.
26 Рззс. 25 в точка П, аахен параллельно ВЛ проведем 116, а перпендикулярно к ВЛ нровсдсн 1Я. Тр«збу»тгзс доканать, что сегмент яс останется назпнзннын в таком зпжожсшш,з«обудетнаклоннтьсидо тех пор, нона езо осионассие ле носко/сзм жидкости в одной точке. Пусть будет перед «жми («»знгура) «рнс. 25» и »копано то жс, что к яа нрсдзнествунзщсй «»знгу«зе; нронсдем ТО псрпозздинулнрпо к ВЛ и сосднннющузо АЯ з«1«»дол«ням до Х; тогда АЕ будет равна БХ; ««р«зв«»сом тас«з««е О'~, наралл»льнув АХ. И так как предполагается, что с»гноит имеет но тзззн«зстз«к я«ндностн то жс отпопсеннс, что квадрат па ЕО к квадрату пн ИЛ, то такое отношение будет иметь н погружопиал часть ко всему телу, то есть квадрат на ПО к квадрату на БЛ, а значит, !10 ', ркс.
26» будет равняться ЕО «рнс. 25». Рй так кан у с»гмснтое 1ИО и ЛВХ диаметры равны, то будут раваы и сегменты. Далее, так нак в равных и ««одобиз«х овгз«ситах АПОА и АОХЛ «рнс. 25 к 20» проведены нрнмыс АХ и 10, отсекающие равные согмвптм, исходя одна о пллвьющих тнллх кз конца основания, другая ~не пв нз конца, то ясно, что меньший острый угол о диаметром всего сегмента составит та прямая. которая ировсдонн нз конца основания.
И так как угол С~ будет меньше угла г(, то значит,и ВТ(рмс. 25) будет болынс, чем БХ (рис. 2(>),а ТР (рис. 25) меньше, чем Рг'. (рис. 26); поэтому и Оо меньше, чем Пф, (и оЕ) ботьше, чем ЯЬН. И так каъ Оо вдвое больше пН, го ясно, что и Пф будет болыне удвоенной ф6. Пусть ПН будет'вдвоо больше Н9; проведем соединяющую ПК и продолжим до й. Тогда центром тяжести всего сегмента будет К, части, находящейся в жидкости — П, а внешней — некоторая точка на Кй; пусть она будет й.
После этого совершенно так же довалсем, что К~~Ь будет перпендикулярна к поверхности жидкости так жо, как и прямив, провсдешпле через Н и й нараллслыго Кф. Ясно, что сегмент ве остапотся поподвнжкын, по будет наклопнться л до тех пор, иова его основание пе коснется в одной точке поверхности 6 мащкости, как это показано ка треть- А и ей Фигуре (рнс. 27), относнгцейсн к рассматриваемой третьей теореме; и э таком потожепнн сегмонт установитсн иеподвюкным. з Действительно, в рзшгых сегментах А!(ОЛ (рис.
27) и ЛОХА (рнс. 25) от концов оснований проведены нрямыо ЛХ, АО, отсекающие одинаковые части; совершенно так Л, же, кзк и рапыпс, докажем, что сегмент ЛПХ равен ЛПО; следова- ил только, ЛО и ЛХ образуют разные острые углы с диаметрами сегментов, так как углы прн Х н С~ равны. Пусть праман Пф будет алисе больше ~Ь6; сслк провести совдпняющую прямую Я~К и продолжать до й, тс центром понести всего сегмента будет К, той его части, которая в жидкости,— ~, а центр тяжести внешней части (будет лежать) па линии Кй; пусть он будет й.
Дзлсо, КЯЬ псрпондннулогрна к пож.рхиостя жидкости. "1'еперь часть, находящаяся в ньщкости, будот шгднинаться, а находящаясн впо жидкости— опускаться по однои и той же ирннон; тазик образом, сегмент остакгсн нсиодниишым и основание его касается жидкой поверхности в одной точке. а ось сегмента с поверхностью кпшкостн образует угол, ранний нышв)ш а з 3 ином у. Р .Х7 (Случай 6) (46( Далее„пусть согмснт но тяжести имеет к жичкости отношонно непьшсо того, которое квадрат па КН имеет к квадрату на ВЛ (рис. 28); пусть опо будот равно отпогаснню квадрата на Ч' (к квадрату на ВЬ); тогда Т будет моныпс ЮЧ. Между сегментами ЛМЛ и АПОЛ встанем прямую П1, параллельную ВЛ и равнуго Ч"; пусть она пересечет промежуточную параболу в Т, а прямую ЕР— в Н. Тогда, так н<е кан было доказано, что ГО вдвое болыпе ГЕ (рис.
22), докажем, что П Т вдвое болыпс Т1. 23 ьзгинел лгхимвд Проведем П5?, касательную к АПОА в гочка П, затем ПŠ— перпспдикулариую к ВЬ, и сседшслющую 1Л (продолвтим) до Х; прямав А1 будст равна 1Х и АХ пара;ыссльиа 11(1. Трсбустсп доказать, что данный сегмент, будучи опус(еп в жидкость и наклонен так, чтобы его основание нс касалось живости, установится в наклонном положении гак, что ого ось с поверхностью жидкости образует угол, (мсныиий угла прк Ф (рис. 28), и основание его пи з одной точке пе коснетсн иоворхпости жидкости. Опустим его в жидкость н установим так, чтобы его осноеанис) в одной точке коснулось поверхности жидкости; если рассечь сегмент чсрсз ось плоскостьм~, псрпспдикулирпой к поверхности исвдиости, то сечеииен поверхности сегмента будет парабола АПВА (рлс. 29), сечением поверхности нсидкости — праман АЕ, а осью (сегмента) и диаметром параболы — ВЛ; разделим ВА и точках К к Р подобно предыдущему, затон проведом пара тлельио АЕ касательпу|о П1 к параболе в Н, про- Я Рлс.
28 ведем Нт) параллельно ВЛ и ПХ перпендикулярно ВЛ. Так как сегмент имеет к жидкости такое же отношение по тнжести, нанос ьвадрат на Чг к квадрату иа ВА, и отношение по тлжестк сегмента Рас. Зз. к всидкостп разно отиоигсшпо квадрата па П(э' к квадрату ка ВЛ по той ксе причине, что н выпш, то лспо, что ПО будет равна Ч"; поэтому будут равны и сегменты АПХ и АПХ (рис.
28',. И тан как в равных О плАВА1ощих трлАх к подобных сегмептах ЛПОЛ, ЛНУЛ из копцов осяовапий проведены прямыо ЛК, ЛХ, отссканнцио равные части, то ясно, что ош1 образуют разные углы с диамстрамп сегмептов. Позтому в треугольниках Н1Е, ПОЕ углы при 1 и Я равпы; следовательно, будут равны и прямые тВ и ЕБ, а зпапгг, будут раины и Е1" о ЕР, а также и 1ЦЬ с ПН и 'ус9 с Н1с). И так как П 1" Вдиоо больше Г1, то лспо, что Ну»с меньше удвооплой ~~1ОО. Пусть ПГ будет в1шос болыие 16; продолжим соедикнющ)чо ТКТ; центром тя'вести Всего ссгмонта бу»1ет К, части находящейся в жидкости — Т, а той, что впо жидкости, (точка) па ликии КТ; пусть она будет Т.
Тогда совершенно так жс, как в предыдущей теореме, обнаружится, что сегмент ие оста иотся пел одвижпым, по наклонится так, что его осповапие Єе будет ии и одиой точке касатьоя повсрх- л ности жидкости. Теперь докажем, что 11 оп установится так, что его ось с поверхностью гиидкости образует уго»1, г меньший угла Ф.
Действительно, пусть, если всз- 9 кожно, ок установится так, Б что будет составлять угол, не мекьший угла Ф; сдо- Рас. Зь лаем все остальное (рис. 30) так жс, как и ка третьой фигуре. Тогда соиершеппо так жс докажем, что ()П будет равна Ч", а, схедоватс»1ьио, и 1П (рис.
28). Так как угол Л по меиьи1е Ф, то, значит, ГБ пе будет более ЕБ, а ГР пе мопсе АР, и Н 3> пе мсясс 6с1сс). Итак как 1Пв полтора раза больше ПГ (рис. 28), ПГ же мскьшс 6(1, и Н6 (рпс. 30', раппа П1, а ПЯ':ие певшие 0"1, то ДЬ Н будет больше ПУ; значит, Н~Ь будет болыпе удвоенной ЯЬг). Пусть НГ будет вдноо больше ТО; продолжим сое;1ипяющую ГК; тогда подобно предыдущему обнаружится, что сегмопт ко останется иепо11вшкпьсн, по паплопится так, что его ось с поверхностью (жидкости будет составвлят1. угол, мсиьшкй Щ.
(Плучай 5) Подобно Отому докажем, что 1клв сегмент имеет по понести к жидкости то жс самос отношение, что квадрат на НО' (рис. 28) к квадрату па ВЛ, то оп, будучи опущен В жидкость так, чтобы его осповапие ве касалось поверхности жидкости, уотапоиится так, что его основанпо только В Ояясй тс'Пъс КОСПстСЯ ПОВЕРХИОСтп 1КИДКОСтт1» И ОСЬ ЕГО С ПОВЕРХПОСтЬ10 л1цдкости составит угол, раиимй углу прп Ф. *1 тр-н н12 н аннин гВ,ХР, пф, Ясе ссргтсн нс рнс. 89, с тр-л рзр, н нннлн Бв, кр, ПП и П1 — на рнс. 88. *ь) Линни ГИ, ГР, ПЯ Ссрутсн нь Рлс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
