Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В предло>конки ХХП! «Коне>щон п сфорондсн» донннывеетсл, что об«,омы сегментов пнраболоидн вращения, отсочевнь>х плосностямп, проведенными как угодно, будут равны, сеап раним осн стах сегментов. Л тан кан все диаметры параболы параллельны, я то поверхность ссчспнй пнребононда (огибекнцан плоскоотсй плавания, отескаю- Ь щнх рт>и»т объомм) будет таки»> жс пе- г> рнбшн>идол, лишь сдвинутым ндшчь оси * 3 на расстоннне ОА = —, а. В сечении этого 2 параболокда с плоскостью чертсл>а получится парабола АХ>'М, уравнение которой будет: уа=-2р н -- —, а 2 (5) По сущсттву, нам нужна аешь часть А)у втой> пнраб !ы ось до точки О' д В касания с проведенной кв К прямой; прп днньлсйшсм врнщсннп парабслоила умш его в' ногрузнтсн в жидкость к глоду>о>ная часть поверхности се'>еннй уже пс буд>п' параболондом Л))'35.
Так как центры та>костя согместон параболе»дн >поинт на осях ва расстояниях двух тратой от вершины, то поверхность центров н псрсссчепнн с плоскостью чсртснч даст параболу С>мчь, нотеймп будет продсгнннять основную парей>озу, сдвнну. а> ту>о варено ю> расгтонннс ОС> — — а; ее Ь уравяснно будсг> К у«=2р(к — н); (2) Рис.
3. нам нужна ли>оь часть ео, соответствующая дуге С>Е'. Тнк ннк вкжв осп Оэ мы будем кмс>ъ такую же снмметрнчнуи> фвгуру, то достаточно рассметрнннть лншь шшунлсскнсть с шжонштсльнымн нонрдпнатнмн у. Чтобы найти полон>соня равновесия, мы дол>нны ин центра тяжести С» сегмеата провести нормали к лпвпп центров С>В', и:п>г нэ пвх лв>пь то, которые пересокают дугу С,Ь", а таин>о сй симметричную, нюксщую пнн>о оси Ов. Двффорснцпрун уравнение (2), получим: тннгонс угла наклона касательной и параболе будот ранен —, а угловой коэффнциепт р у у нормали —— р Уравнение нормали, проведенной пн тачки С», в текущих координатах х', у' буден н у' = — (в' — Ь).
Р иомыпытлрки Решая ото уравнение совместно с уравлслнсм (2), ваходнм коорднпаты точек лересечевнл нормалн с параболой С,К'. 'Хак как в точке пересечения у=у', х=х', то мы будем кметы уз=О, ( хз=Ь вЂ” р, хз= — а, уз=+ )' 2р(Ь вЂ” и — р). Первая пара рсл~епнй соответствует положению раваовесмл прн вертеяальпой осн ОВ, сгорал пара (гшв, лучше сказать, дво пары) рсшоввй будет соответствовать позожсюко равновесия, когда ось ОВ сегмевта откаонится от вертикали в ту ил в друтую сторону на вского)лай угол а.
Нужно помнить, что В вторая пара репювий колют иметь агссто, точько если лроведсшжя нз Сс нормаль пересечет параболу С,Ю' между С, л Ю'. Одно нз веобходвмых условий суще,т ствозапвя положения равновесия, соотвотстиующого второй наро рсшспнй, будет заключаться о том, что подзорснное вырар ьчепио длл у, довлспо быль вол<внитозьвым (зсзн ово равно пулю, то первая и вторал пара решепвй совпадают): Ь=а) р, ичи 0 В Ь вЂ” р а. В прздложеппп 11 мы кмеем О)У= й 3 =ОВ=- —. Ь пе превышает — р, инымк 2 2 слонами, Ь~р. Это покзшзввет, что в 1ессматрнвасиом случае возмшкпо лишь лачожслле равновесия, в котором огь сегмента вертикальна. у Будет лн зто равновесно устойчквым7 Имеем~ часто фнзпческого доназатоаьства Лухнмсда мы моглк бы воспою волатьсн поплтнем мстацовтра, шцкжелеть родвуо ирнввзны ллпвв центров илв основной параболы у'=2рх в ее еорпив, которве.
4. рый, лак нзвсство, равен парамсгру р. Еслн от тОчки С, отвшнпм отрезок С уАХ= рм то расстояние ОМ мстипентра будет равно а+Р, так как Ь<Р, то кРп любом значения а отРезок ОМ бУдог болыие отРезка ОСз= Ь, попив словами. мстацснтр будет лежать льнов цевтра тювсстп С„ссгмслта. (5( В прсдлол свив 111 Лрхямед ршюмзтрвсает случай, когда сегмент плавает, нмсн основзвио цеалксзз вогружеивым п жадность. Объемы сегментов парабозопда оращевнп отвослтсл, кзк квадраты их осей (з14оноиды н сферондыэ, ХХ)Р), Если еоносташггь зто а" ОАз с первым предложением рассматриваемой второй кингк, то отношспио —, равное Ч Ь ' ОВ (рвс.
3), даст лам отяошспие плотвостсй плавающего тела и жадности. 11усть сегмент опущен основанном КК в жидкость тзк, чтобы ось ого ОВ быта вортпкальяа, и урововь жндкосхя пойдог по прямой Ь'Ь' (рас. 4). Объем сименса Ь'Ь'й й будет аз Равен объсмУ есгмснта Оа'а'1 если мы обозначим отношепно — з=йз п пРнмсм объем Ьз всего сегмента ОКК за еднннцу, то объем ссгм. Оа'а'=объем ссгм. Ь'Ь'КК=И', а объем сегм. Ь'ОЬ'=1 — Ьз. рассмотрим сепигвт ОЬ'Ь', находюцнйся над поверхностью водьь Длл оск ОВ мы писем: ОВз 1 Ьз ОВз 1 О ПЛАВАВ)ЩЕХ ТИПАХ Ье — ее Ь» — а»е Г б ОВ»= .О2) =. ~~.
Ь ~ ь» ' ь» ~ х .г' в, лакоаец, й ов„= — '. р'ь* — -. » Огкбающал последонательвых положений поверхпосги оеавалия будет параболой РВ»Р, ураанолио которой у» — ор ~х — '- ) Ь» — иа б (4) Я Е г Цеатр тшкеств сегмелта ОЬ'Ь' яаходатсл ва оси ОВ» на расстоевии ОС»=- б ОЮ»= =Ь/Ь~ — а»; при качапии согмовта около вортвкальлого положелкв равновесия ок будет аерсмогаатьсн по параболе Ь'Се)у, ураелсеес которой будет: у»» -2р (х — )» Ь» — е») (б) 'Гсперь мы можем занятьсл построением ливии, по которой будет неремшцаться пестр тяжести сопаспта Ь'ККЬ'. Абоцисса ОС стого центра ьме»чп быль ив«дека ие соот- кошелвл (1 — «») ОС„+«".ОС»=1 ОС», 3 Ь вЂ” (1--«») угь~ — еа 1 — (1 — «е)3 ОС вЂ” Ь 3 1 — (1 — «»)т С.С„=Ь( — ",—," — Ь=-„'„(1 «)(1 — р 1 «).
Алалогвчио С„С, = Ь вЂ” )ГЬ~ — е»= Ь (1 — )/'Г:Р) Ураввевие етой параболы, шли лачало координат венть в точке Се, буды у'=2р (С С вЂ” ). то есть у»=2р ~ — (1 — 3/1 — *»)(1 — «») — х~ (1--«») Г Ь «» ) «а (б) Ураеневве"корпели к етой параболе, проведеввой из качала координат С„ полу- чится, как к раньше: у у'= — Х'. (д — «3) Ф Ь» Отсюда видно, что отаошслие фф1 — «» — ~И— С„С, «а то есть обратлому отлошслшо объсмае глответстеуяллих ссгмеатов, как и слодовало ожидать.
Чтобы получать аужиую нам всгеь К С» ливии цоатров, иорссгровм параболу ЖС„»»' около цолтра пособил Се так, чтобы расстоаавл ѻѻ увоакчилигь в 'отссшеавм (1 — «»): «'; в результате получится лролодащая чорсе точку С» парабола, параметр 'которой увыичлтсв в том же самом отлошсевн, то есть будет равеи 1 — «» Рь= р — ° «а комыкнтагпы Так как е точно керссечеппя нормали с параболой (6) у=у' и х=.х', го получаем двв рсшсвип: 1) У=О, 1 — Аь 2) х=р Первое отвечает вертпкальпому положению оси ОВ, а птороо — вовможному наклонному положепшо. Соответствующая орднната у онрсделитгя котле подстановки х в ураалсппе (6): уе~2р „ь ~Ь ь (1-. )Г1 Ьа ) р ., 2р (Ь(1 — )Г 1 — йт) р) (1 — Ат) Г (1 — Ьц — (1 — й") Ъ (1 — ЬД)а (у) Условия действительности значения и требуют, чтобы < ь(1 — )~1 — ь ), РС.
СеСв- (6) Тан каг Архимед рассматривает только те положения равновесия, и которых оспопанне согмопта находится целиком в воде нлв вне ее, то нам понадобятся лишь часта Сф, н Сьл' парабол центров, которые опрсдохятсп тан: Иоскохьпу в обоих слуГанх нлаванин а наклонном положепвк яовсц основании сегмента в пределе дол'пгв лсхшть аа поверх поста воды, то на К нужно построить каса- тельные к параболам ЛЬГ и В Р и их точки касании параллшп во осн Ох щювсстн прямые до пересечения с параболами центров, имеющим н вер1опны еоотшпогвенно в С, и СЫ точ- ки Г., и Е» и будут коацамн пужпмх ван дуг.
Есан вершима О сегмента погружеаа в воду (рнс. 3), то мы найден крайнюн~ точ- ку ГГ, лнпнп центров, осли построим касательную ХЮ' к пвраГпьте А))'ЗГ м проведем В'Е" параллельно Ох. Уравнение параболы АЮ'М будет 3 уь=-2р(х — — '. а~, ) ~ координаты точки К, лежащей па параболе уе.— 2рх, 3 х= —, Ь, у=)гзрь ° 2 Искомое уравнение касательной будет: — Р/, 3 „— )/зрь= — ( ' — —:ь); рошан оба уравнении совместно и полагая, как и вмшс, х= х', у =у', будем кисть: и'=-2, ~ —,'„е Г' 3 э Пе — Г ЬГЗрЬ.-Р ( х- -,—, Ь~~ . Дхя пскаючснвп х умножаем второе уравнсяпе на 2 и иа рсаупьгата ьычкпюм первое: ит — 2П $ ЗРЬ=Зра — Зрз, откуда уь е=)l зрь -'- У зрь-; (зре — зрь) Р зр() ь ~ Уе).
Так как на точки ГГ мошно нроессти к параболе две касательные — вправо и влево от ГГ, а нам нужна только лопая, то берем длл у меньший корень: у =- )/ зр ( ьгь — ') а). ЬГекснмальнае значение кпадрата ордипаты, соответствующей положеввю равно весна, будет. рама„=-Зр(Ь+е — 2 )~оь); о пллнлюЩИХ ТЕЛАХ для точки пересечения нормали иэ Се с лнпкей центров Сл'б ыы писля *= Ь вЂ” р. Подставив ото эпачонпс и уравнение (2), получим: уз=2Р(Ь вЂ” — Р). разность зтнх величин должна быть полсекительла: У~ — 1Р=Р(3Ь+ 3 — б )/ас — 2Ь+2а+2Р), Ь-~ Ьа+2Р— б 1/ ~>б, илн 2р>61/аЬ вЂ” ба .
Ь=б()/аЬ вЂ” а) (Ь вЂ” )/аЬ)=5'1/а(1/Ь вЂ” )ге) — Р Ь()/Ь вЂ” )/а)= =()/Ь- )/а)(б)/а — )/(7)=Ь(1--1/ — '1) ( 3 г/ -'- — 1) . Таким образоы, есля припять во вопыапие условна (3), то длв эознсакпости плаванпп сегмонта в пак:пшпоы нолжкечжи ыы должны иметь: — >Р> 2 С1 — 3/-,") Сб 1/à —."- Э (В) Случай, когда сегмеят плавает е целяком погруженным оспопаппем, можно прп- 3 3 вести к предыдущему, если вместо ОО= —,' а на рио. 3 взять ОО = —, а' (рис.
4); тогда 2 1 — 2 аналогичное услопис еоээгожеостн плавать е наклонном положении паппмстся так: где а =Ь)/'1 — Ьэ. Мы устажюиля гледуэпцне иозможяые положсняя реевовоепя: 1) деа соответствукицвх вертикальному положенпв равновесия оси ОСч 2) дза наклонных положения с верн~пней О сегнепге в жидкости, 3) лза паклопшех положоеия с веревкой О впе нгндк~нпм. Кроме этого, омоются ощо две потмкснпя, когда одпк лз утлое гоген>пта К,й' паходплся вне жидкости; опи соответствуют лнпнпы, соединяющим точки Р; в Рэ. Этн полола:ннп Лрхпмод соворпгеппо пе рассматривал.
Дап выяспопкя условий устойчивости найденных положглнй равковосня нужно определить радиусы крнвиэеы апоян цонтров н соотзетствуею1кх точках. В точках С, и Се главпап нормаль сешалает а осью параболы цонтров и раааа ее параметру; слолова- 1 — Ьт тельно, расстоннно ыстацентра от линии центров будет р в точно С, н Р' = р — в точке Сэ. Ье '1ак как нрп устойчнвом раввовогпи центр тпжеоги С должен лакать неже метацевтра, то мы будем имать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
