Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть:!РОХ (рнс. 8) — сечение сегмента плосхостью черточка, Ао — поверхность нп1дкосгн, ОФ вЂ” ось параб!юы. !!роаедем касательную ВР, параллельную Аб, н УР„ параллельную ОЬ; точке Х рааделнт АХ шшолан. Пуеть Р будет центр тяжести всего сегмента; прп равновесии псрпепдикуллр Рй к касательной должон пройти черве Н вЂ” центр тюкостн погр!чкеклой части. Так как ггб есть орднната точки касания, то Р/ Рйищставлает параметр р. Ымссы Ор=-. ь, РЛ= .
По докааанной лемме мм имеем РН А!2 †.3' —. Рl 20 ' Всрсч предельный случай равенства и пе- реписываем в наших обоапачонинх О плАВАющих тжллх 9,, б Так иак А>Р= — ОЛ', то 1>Е= — ОХ>', а 20= — ОА>, иными стонами. отношение 15 15 15 >Гй > 20=3: 2. Поскольку РХХ: РХ~ЛЗ> 20=3: 2, а расстоянио РТ центра тяжести Т погруженкой части удовлетворяет пропер>пп> РТ: РУ вЂ”.3: З,то РТ ." РН„инхп>к словаки, центр тяжести Т будет нли совпадать с РХ (случай раепонсгвя), пли выкать меищу ХХ и Р, то оогь сегмент будет всплъюать так, что сто основание будет над поверхностью воды.
То же самое будет иметь место, когда К«2= р Г>удог больше — ОЬ>, иными словамн, >> 15 Гб когда ОА> меньше — р; в етом заключаетсн теорема, сформулированная в предложении Ч1. Моще> случнтьгн, что перпендикуляр ХН ( ЙК на рис. 15«етр. 542) пересечет параболу п реево точки касании П, а ось 1Р ногружоннсй части — н точке Н, по>пещей правее П (второй частный случай, отме к>ееый Архимедом). Тогда перпснднкулвр ПР пересечет ародол- Р женно!П в точке 1', лсжепюй е>це правее П, и очевидно, что центр тяжести >> погруженж>й часта, находшцийсн левее Р па расстоянии 2 ТП = —,1П будет и подавно левее пормалн ФР, 3 « Ь е так «по тсчка А псдммотсл еед поверхеостьх> жидкости.
По сущжпюу, ею> равносильно тому, что прп малых плотностях плавающего тгяа наклонное по>ожееио равновесна, орк котором я угол А л>екнт па поверхности >кндкоопг иля р р > Р> б С >1 А шоке ее, является н>моемовк>п>м. (Щ Про>чложенее УП докаеывеотся совершенно еньпогичео; второй упомянутый Архимедом неучей равносилен тому, что прн плотности плавок>п>его тела, приближающейся к едвонцо, нонсенс>кно поло>кение равяоеосня, когда верхний конец ог>юванкя сегмента будет находиться на поверхности жщм кли енто ее.
Но представит болъп>гго труда пайти предглюпей угол, мрн котором тело будет плавать, касаясь поворхностн жидкости ли>нь одной точкой основании; для отого требуется определить угол наклоне оси ссгмопта к поворхпостн н>ядкоп>н при пла- 3 Пуон. (рис. 9) ОЬВ будет парабола сечеав> сегменте г осью ОЛ.=-,'- Ь, точка С пред- 2 сгавляет центр т>ввести сетке>гга (ОСм й), расстоняяо СМ равно параметру р, а кривая ХОХ" предотавляет параболу плавании; отрееок ВХ>=ОХ вЂ”.- —, а, а точка К вЂ” центр е тяжести ссгмеита ВВХХ (РХ>= —, ); череп точку Р проходит парабола центров. В поло- — 2) жевпя равновесия СР должке быть нормалью к параболе центров, а параллельная гй примак ОА> — нормалью к перебило плавания (Х> — сечение нов>рхсостк жидкости).
Прямую ХК вЂ” абсциссу точки >есенин — обоаначвм черен х. Так как Х»г'=СЗХ = параметру р, то. обозначал у>ол КХ>Р> черна ц„можно аеппсат>и Л 13 >у==в у' По так же гп ч>= —, Л СК 11о ОК=.2Х,К, а тХГ=-ОА' — К>>> — ОХ=ОС )-РХ>-КХЧ вЂ” ОХ=А+ —,— Л вЂ”. е Š— Р— е. а 3 2 2 ИОИИКНЧ'АРИИ Таким образом, окопчательпо Эта формула даст всллчнау угла ни<лона аск, нрм котором сегмеат будет <шавать с основанием, пахаджцнмов впе повархиости жидкости.
Она одк<ап<ово п(ажспима и к случаю, когда сегмент плавает, будучи погружен основанием в жмдкастгл только в атом свучвс пад а ну)кмо подразумевать дас трети сои сегмента, находящегося мад поверхностью жвдкости. ()радел<,пзп велики<ж угла наклона сои к нозархиссти жидкости врп клевании сегмеатс, когда основание его квсзе<ся поверхности жидкости только в одной точке, определится очень просто. Мы имеем< (б <р= — ° Р У Но мы вплели вы<ос (стр э84), что иамбочьа<ел величина ордипаты в, соответствующая плаванию в указанном положсжп<, рева» р=.Р'3Р ()ГЬ вЂ” Ь а). Следовательно, (12) Н предложениях т'111 и (Х Архимед апред<шкет аелкчмпу таю енса угла плаввннв. Для возможности плавания в кавполком положении необходимо неравекство Ь вЂ” акр< пли ах,Ь вЂ” Р.
ав Плотность <) плавахзцега тела по откол<синю к жидкости равна —, но <)х — = (Ь вЂ” р)з . С2'3 илн, васко«ьху ось сегмента О<<<= — Ь< 3 2 11ссбходвмос построение на аск Архимед производит отдельно. Отрезок ВР=О<< предстааллст ось сегмента, К вЂ” центр его твжсстм, АР— параметр р, отрезок ТХ>=- 3 3 = — р *); тогда отрезок ВТ.— -Оду — —,Р представит линие, ставшую в числителе прз- 2 2 кой' части перавенствв для <(. Так как плотмссть тела отвоснтельма ип<дкости <( определяе<сл формулой О««ОЛв и ВТ.—..— ', ВР, то «тоюдз следует, чхо Ф<ОР.
Лрхкв<сд полагаотФ равнай отрезну Р<р. 2 < зто буд<п паше а. *) Л<Е ос<аглае Мазтватз аа Езвлткж<а< СесбРВВ<Ваза. КСЛВ НГ=т ВР = — (ВП вЂ” У<П вЂ” К<') 3 3 2 2 З, ОМ 3 3 =Х (Ом — —.— — КР) ОП вЂ” — КР. те )'Л=)<П вЂ” Пг, вввю<ввюю, бттмт раввзтвсл пКР. Том<2 т 3 2 прав<в аслтввтв, встала. мз тетки и, арм асме<ам вмввтввмв аслттврвсго аарвметрв кр. о Бяапасощих телйх Затем Архнмад сгрсжт угол ср по формуле 1 1 — КР.
Вср —.Лт РЧ'" 2 2 2 — Р йЧ'~ Всуе ВР— Рср (Ь вЂ” р) — а ' Восле етого Архимеду остается лпжь дакааать, что при такам угла наклона равновесие будет имась место и что опо будат устойчивым. Ои достигает обсжх налей, докаэывея, по равновесие ве асожст иметь мсюта нн нря болысспх, нн прк меньших венчаниях угла наклона, Вго данахатсзжство сводится к тону, что центр тнсксстк l шн ружснной чагли пе есажст лежать нн правое, пн лаасо пернаадсжулнра ГН, опущенного иэ центра тяжести Г на насатсжьссую ПГ, паравлельную поверхности жидкости ЯХ. (12) 11рачлажснпо 1Х неляажл аналогичным прадлонсесжвм 1с и И1; в нем также фвгурирует предельаан велнчяна плотнжстя З чс ОЛ' (ОЛ вЂ” —, «) — 2 ) Ола с той только рехницер, что таперь плотность сшавасощего тела должна .быть во мевьсве, а бсжьжа этой вюсичиныс 3 Одса-(ОА — — ' р 2 l с(„л ОЛе В соатве*станк а этим произойдут кекогорыа иэмааеппн в формулировка теоремы.
Так вак таперь пласность плавающего тела прадполагаетсн равной ОЛе — ( сР) ( — Ь 1 — ( —.' ) (~ ь) то нано, ста Ф представляет, как н выпса, длину а, саотиасствунлпую наум третям асл сегыонта, выступасасцаго вад поверхностью жидкости. Гели вести рассускдсння прнмснптюпжо сс этому сагмокту, то нас данаэатальство будет развиваться аналогично докаеательатву прсдлонссписс Ъ'Ш. (14) Обвсирпоо и)с а д а о ж а п и е Х рассматривает положения равиовеаня стра парассстре р, ыспьпсем — сан сагмжста,— значении, прн котором еще воамоясно плавас ' ., 14 нис а основанием, касахвцпмсн новсрхпости жидкости в одяай точка. В этом случае в эаесжнмости от плотности плавнющаго тала возмоасяы слссдуквндс псссть положений равновесия, обоссссвчсссспъж в наспсвс нсреводс Лрхимеда цнфрамж 1) Ось сегмента стоит варганаажю.
2) Ось сегмента наалоква; основание впс поверхности акнднаатн. (З) То жа; основание ана поверхности нсндксстп, касаотся погледнсгй н одной точка. (4) То же, основание рассанвстся поее)схностьса жидкости. (5) То же; основание вне жпдноагн н касается поаерхшютп последней в одной точке: (6) То же; осаавепяа целиком ане снндкогтн. (уб) Для понвмассин дальнайвсега пэнжо представить сабе фиапческий смысл обоеначенин рис.
22 текста (стр. 348). Точна К представляет цаптр тяжести сегмента ЛОВЛ (ВК=2КЛ); прямая КТ, равпан — ВЛ, предатавлнст паибольспую воличсшу параметра р, 15 Если полсвкить ВЛ.=1бь ЛК=В н КТ=4, то ТВ будет раева 0; ссными славамн, ВТ вЂ”.--ВЛ. Точка Е палучастсн прн помощи построении В —.— „', В1: отрсаон .'.Л.— 2 5 =ВЛ вЂ” ВŠ— — —, (ВК вЂ” ВР) = — , 'КР вли полуторному параметру «. Таким обреаом, Вй 3 > 3 2 2 Ц(а- ) $" представляет величину —, (6 -«], аходюную в выраженно,; если атноспение — ь) ;Щ лрханса комьткнтлрим илотиост»й ссгмсч<ти и жидкости больше этого зиачеикя, то возном<го плавание асгиси та и вертикальном иоиожеиии(случай 1). Параболы ЛВЛ и АЕ! представляют накоторую а<галаги<о с сав!ишеииывгк параболами плавания (сечений) п центров; однако тш в<уж«о забьиишь, что точка А предпалагастсн лежащей па поверхности жидкости н провед»ивы» через паа прнмыю ЛЛ, ЛХ и друзчш прюдстанляют основания сегмшжов, <>бъаны ноторых, будучи заполнены жидкостью, могут уравновесить иес плавающего сегмент» ирп раз- личаых еслп*шиах отношений плотностей сегмента и >индиости.
заи иак параметр р=-КР меиыпю КТ, то нраюеданиан чсрсв Р горизонта<<ь перв сечет параболу центров в диух тачках Г и ); проведенные через шзх вертикали опргщю- лшот и псросечстши с параболой пзивипни точни В и Ф, а с параболой АПОА точки О и П. Пряиыо АХ и ЛФ (последняя ии рис. 22 иа вравсдеии) определят соответствующие сача«ни сегмента паворхиостью зиидкостн; т<гшз< О н П будут ьшртиптизии нагруженных сегментою АОХ и ПАФ, а проз»данама в них т<асатш<ьи>ва ОС( и !!Чг аир»д<лят аоот- иетсгюующиа рзвиаюссшо углы наклона (случаи 3 и 3). Идея оную><иченпя положений раины<секи сегмента очаиь проста; отношение <г илотпостей гегмоити н жадности Архимед выражает в вш<ю квадрата очною»иин н<жоторой примой Ч' к оаи сегмента ВЛ и определенную таким об!>юзом иримузо вставляют люнду параболами ЛПОА и ЛОЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
