Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В пслщкснин С, высота мегацоптра равна р, высота центра твяквти Се будет СгСе- Ь вЂ” а. Углоеяо устойчивости трсбуот: то есть 3 3 3 — Ьч. —, р+ —,а. 2 2 2 3 3 — Ь< — , 'р, 2 2 то это равенство будет иметь место независимо ог а, то сыть и от плотности плаввощего тола.
В етом состоит прслложспнс 11 второй кпигн. В положосии С параметр р' будсг. 1 Ье Р ='Р яз коыыкнтлвии расстояние С„Сз центра тяжести сегмента (см. стр. 583): С С =Ь вЂ” (» — рГ» — Ле). Усзопвя устойчивости требуют, чтобы СеСз < Р. —,Ь<-.' Р+ — Ь |/'» — Л'. 3 3 3 Е. Е 2 -Ь< — 'Р-) — 'о. 3 3 3 Е Е Е (»о> ю, Преобразуем ого так, чтобы выдезкть глубину с: 3 3 — ь — —,р г 3 2 а* Разделим обе часты на Ь я возведем в квадрат, помня, что — =е — плотиостиплааеющего тела: : Таким образом, вертикальное положенно равновесия останется устойчивым, если паст~а>сть ылаоающего тела с будет раева илн больше отношения, стоящего в левой части неравсостеа: 3 Яь~ »» етом состоят предашкеяые 1т Архимеде.
) Й 1» огда сегмент ыаазает в вертикальпом положении основашюм кверху, условием устойчивости будет: 3 3, 3 — Ь~ —,Рпг —,Ь~~'» — Лз, Е~Е'Е (»о > 3 — — 3 где — 'Ь ф㻠— йз= —.)гзз — а*= —, а' прааставляет, кшс мы видели выше, высоту части г е сстмеята, аахсдящойся вко ягядкосты; объем потру;копной части будет, как ыы видели, . 3 равыым объему сегмеата параболоида с высо~ой —,' (е — а*). г Написакноо выше равенство мы моя<ем преобразовать так: 3 3 3 —.ь — — . 'РС.—,Р'сев Е Е Й )~3~) 3 3 — Ь К вЂ”. Р Е Е то рааыозеопс будет устойчивым ыезесысымо от плотности плавающего теда Ле; в етом состоят прсдложсыис П1 второй аныгы.
(7) Более обжас случаи устойчивого раваопооея требуют рассмотрении плотности илавающсго тела, иными оловззш, глубныы е сто когружезпж. Усаовие устойчивости пишем н ееде О ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛАХ /3 Разделив обе части неравенства па ~--Ь > . подучим: (В. ' В левой чаетн етоитпаотпость <[плашпощего тела по отпинелюо к жидкости; в праз з з вой —. Ь будет огь зотыч>па, а —, Ь вЂ” —.
рпредставлиет разность между осью и поау- 2 ' 2 2 торным параметром. Мы получаем результат, о[>орл<улировваемй в предложении Ъ'. Полон<онпз ризпозоскя ссгиспта ияреболонда, обращенного верш«пой впгрх и е вер- тикально напраиленпай огьх>, будет углойчпиым, если паотлогть плевашп<его тела будет не больше ото<алонии разооети нведратон оси ее>мента п избищ<а оси над полуторным параметром к'нвадрату осн сегмента. Доказатааьство У преллон<сния у Архимеде строится еоворшенна аналогично дока- зательству 1у; надо только учс<ят., что прямая П<р ранна; П' Ь" — и".
2 Опроделии облаеть устойчивости раапоессил се>мента параболоида при вортикаль- ном положении осл. Если ось пе более полуторшно парамнгра, то равновесие бучет устойчивым в вер- тикал<.ном пол<и<сики, Г>удст ли основание сегмента и<>зикоь< вае клн нлу<ри жидности. Ееаи ось болео полуторного парзмотре, то положение уот<>йчнвого равпонегил запи- лит и от ш<отаоетп пзаее<ощего толе. Если припать плотность >ж<дкостн за сдкнппу, то р~з плотаость теаа будет меняться от О до 1. Обозначим отлов<ение <У вЂ” ~ черее е.
Тогда, Ь если плотность сопзепта булот больше а, то устогшнвмм будет вертикальное положение осноздннсм вверх; осли же плотность будет меньше 1 — е, то устойчивым будет п<ьт<внсопе равновесна основанием лпвз. Моя<но поставить вопрос: при неких соотлошс<шлх Ь н р вообще вержпп<льное положение ссгисптз будет у<чойчилоу 1 Если е= —,, то прн И >е уетойчивое равловесие будет з поло>кенмя оеловаяием 2' .вверх, а прм И» е — основанием нииз; при « =е воаможлы оба положения равновесия. Если е» вЂ”.
то ноя область измопеиип «разделяетсл па три части: первмй интервал 1 будет ог 0 до е, второй от е до 1 — е и третий от 1 — е до 1. В первом интервале устоячи- ньн< будем положенио ословапиои зпнз, во в~ором пози<аким оба положения равповеслш, л третьем будет устойчивым аношкин><о основанием из< рх. 1 Если е ~ —,, то интервалыбудут отбдо1 — е, от1 — еде е н от е до 1, причем еред- иему интервалу ие будут соответствовать никакие вазмов<ные положения равновесия .с портике<и ной олью. [0[ П предтожепклх у[ — 1Х Архимед опрсдсзлст положения равновесия, когда ое<, оегиента респаложена паплоп<ш.
Покажем, что осли резповосне возиожпо, то оно -ееегда будет уетойчнв<аь<, Для втой цели ием нужно определить высоту метацонтра, иными азоззмн, радиус кривизны сечении нонерхпооти центров; как мы видели, ага линия будет параболой, одлнаковой е параболой, получолпой в лечении параболоида врзщглин. Если уравнение втой параболы уз =2рл, то, как мы знаем из математики, радиус кривизны о н точке, ордината которой равна у, будет (уз+а ~з ре Рассмотрим положение равновесна, соответствующее случаю, когда основание сегмента будет цш<нном неходнтьгн впе поверхности >инакости (рие, ЬП Пусть А1>0Ь предотевзнот соченко параболонда пл оекостьш чертежа, точка 0 будет 2 е>ершпной параболы, 0А> — осью ее, точка Я, лежащая на расотоякии О[«= —, ОА<. будет КОММЕНТАРИИ центром тяжести всего параболического согмеыта.
Пусть ЛЗ представляет сочоаиа поверлмости плаваыыя, Угл — параллглг ная ей касатсльаая к параболе в Р; тогда ГР прадсгв- 2 вит ось погружгиыого в жкдкость сегменты. а точка В, лшкащая па расстоыиык ВР = —, РР, 6 будет цсытром тжкостп сегмента АЗОР. Точка  — центр тгокестн погруженной части— припадлежыт паегрхпоати ветров, сотские которой будю параболой, одинаковой с параболой АРОВ.
Примоя юя должыа быть пср- Ь пондыкулярыа и касательной СВ в В к атой параболе, параллеаьпой ссчавию повархиостя пласаыия АЗг етого требуют условия равиовеглгг, Равновесие будет устойчивым, если расстоыяис ВВ будет мелыие высоти мстацслтра илы радиусе кривизггы параболы АРОВ., одиыаыовой с липкой центров. Мы вмоомг ВВт=.
ВВг+ВОг. По ВВ, каы субяорыааь, раппа параметру р, а ВО=..РВ праггстаылйат ордыиату в. точки В касания прямой ОН ы аквып центров. Такиы обрааом, а емсота мотацелтра (ут+р') Ь у'-гр' е= 0 а Рггс. б. уа+ ра Так ыаы мпокгптсль ' больше единицы, то о ) ВВ, то есть устойчивость равяора веспя обсела гена. На гсртшка впдыо, что ОВ) В — .
'РВ=ВУ+ВР, квп в иаших обоспачепиях Ь) Р+а, Обратимся к случаго, когда сьччгеыт плавает, иман осиоваоие целиком ыогру. 4 гггснггьыг в жалкость (рис. ЬН Пусть ыри обозыачоеиях прсдьгдущсго чертежа та жа В прсдатааляст цеытр тяжести часты сагмспта ЬОРА, паходнщейгл вад ыоварлио- 2 8-— стью АЗ жидкости, расстояние РВ= —, РМ. Точка В, люкащаы аа рассгояаыи ОВ=Ь, будет центром тяжести всего сегтгеита, в точка С представляет цсытр тлнгости погружовиой части; оаа лежит иа ливии (ыарабгыгег цжкрав для этой последиай. В ыоложеыиы раегговссигг точви В, В и С должны легкать ыа псрпгвдикуляре к липки плаааиыя ЛЗ и пара.алщы.пмм ай касателыпгы КЯ и Сгг.
Рассуждсыыы, акалогпчяыа ырадмлущыы, убеждают ыас, что ВВ есть параметр р параболы АРОЙ, а ВΠ— па- рис. 6. раыатр р' параболы цеытроа (дайстаительыо, ВО г В В = В С: ГГВ = от ноше ы иго обжгмов ссгмеетов А РЗ гг Л ГЯ. Так как СВ представляет ордыпату тонш касапыи С примой СН с гггггпгсйг цаытров погружаппой часты, то ВС= что даат геометрически ужо вывсдсвнос паки условие ыоаможггости равиовесии ырм ыаклоипом воложаиил осы ы Ь вЂ” -а)р. О ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛАХ =у'уз-)-р'4, что, очевидно, будет меньше радиуса кривизны и' линии центров в точно бт е'= Р" (УЦ Предложении ч'! и чП посвящены определашпо напбольптсй полячкам Ь, мрк которой сегмент но>кот плавать так, чтобы сто ослованио яо пересекалось повсрхоостьа )кидкостк.
Мрн устьновзсник стого прииска Аркнмед 8 полы~уютен ленной, доказательство которой ае сохранилось в дошедшем до ластексте, Эта ленка заключается в следукннеьь Пусть через какую-нибудь точ- ку параболы В проведена секущан ВВ и параллельная сй касатсзьяан ЕЯ, перси точку касания К проведена прямая ЕУ., параллельная оси, к в какой-нибудь точке 1' оск восставлон перпендикуляр 1'Ь: тогда отножспио ЕЕ: КЛ будет больше яли разно отношашпо АГ: ГО, где А есть основание порпспаикулира, Рис.
7. опущоппого нз точки В на ось (рис. 7). Приседям доказательство этой тоорсиы, данте Хизсон. Вз точки касания Е опускамч перпендикуляр ЕМ па ось ОЛ; тогда по свойству касательных к параболе будок иметь: МО=ОВ, гдо В есть точка пересечения касательпой ЕВ с ссгпо. Нам нужно доказать поравспогво ЕЕ:ЕЛ>ЛГ:ГО ЕдяГО >АГ ЕЛ, ЕЕ*ГΠ— А1'. ЕЛ > О. АГ =. ОА — ОГ, ЕЛ = 01' — ОМ. таким образом, ЕЕ Оà — АГ-ЕЛ=РЕ Оà — ОЛ.Оà — ОМ.ОГ+ОГ'+ОА-ОМ= =ОГз — ОГ (ОА — 'ОМ вЂ” ЕУ)+ОА ОМ. 1)о ОА+ОМ=ЕО+ОА=ВЛ, з ВЛ вЂ” ЕЕ=.ЗА. ВВ=АВ7 следовательно, Е2-Оà — АГ.ЕЛ= ОГз — ОГ.АЭ+ОА ОМ. Затем из подобия треугольников ЕМВ и ВАЭ имеем: АЭ: АВ=-МБ: ЕМ. или АВ: А —.-20М: ЕМ.
" Но ОМ=н, ЕМ=у; сели уразпепие параболы будит уз=2р*, то АВз=2р.ОА, з ЕМз=2р ОМ. Возведом обе части вашей пропориаи в квздрзы АВч: АВз=40Мч: КМз, АВз: 2р.ОЛ =40Мч:2р ОМ, откуда после сокращений: АО'=40Л ОМ. комыпнтлРии ЕЕ.Оà — А!' ЕА=ОГа — ОГ-Л8+ —, 3 й ° ЕЕ.О!' — АГ ЕЛ=~Оà — —, АН ~а ,г .1Н =' —, н А'Р= —. — 'а !а=~ —,+ р) !(ь — р), откуда З(ь — р)=2~ «+р) и окончательно 2 р= — ь. 5 Р .8.
Ископав предельное соотпошепне можно получить другим пугсн. Вмнснкн возможности плавания сагмопга в положепнн, ковда поверхность кспдкоетп нс перееекаег оенованин сегмента, мы вывели неравенство (8) (етр. 585): О|гределвм максимальную возможную величину правой части; для этого пам придатся искать максимум выражения (1 — е)(5г — 1). ДнФфрепцируя, находим 5 (1 — а) — (5З вЂ” 1) = !), 6 8 откуда а= —,.
Прн атом апачепии а паше проиаведсвие будет равно —. Таким обрааом„. 1!У 1!! * 4 2 права п часть нашего неравенства при всякой плотности жидкости будет болыпо — Ь = — Ь 10 5 и мм получаем: 2 р> —,ь, 5 что будет илв больше нуля при ОГ чь —,, илн жс равшан нулю, если ОГ =- —, А6 АО 2 Па основании втой теоремы Архимед находит предельную величину отношения Ь: р, соотаетствуюп!ую плаваншо сегмента, когда поверхность жидкости проходит черен край оеиоааппя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
