Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Опустим в жидност>, нскоторай сегмслт, и пусгь сто осиоваиис ле будет касатьсл поверхности ж>щности; при эхом, сели возможно, пусть ось образует с позерхпостьа> жидкости угол, пе равный В, по сначала бслыинй. Если рассечь сегмент через ось плоскостью, перпендикулярной к поверхности и>идкости, то его сечением будет парабола АПОА, сечением поверхности жидкости — примни ЕЕ, а осью (сегмента) и диамотрон (нарабо»ы) — припая МО.
Г!арллле»ы>о БЕ проведен касательную П1 н парабола АПОЛ в точно П, затон лрсводен ПМ лараллел>.но )»О и Ш перпендикулярно 'ГО, и пусть ОГу> равна ВР, л РК. ранна ьнз, и !>1! пернсидлкуллрна к оси. Поскольку нрсдлолагаетсл, >то осьссгнснта обравуот с воверхносуью ж»дк»сти угол боиьюнн, чем В, то лспо, что в троугольпике ГИ Т угол прн Т будот боль>ле В; тогда квадрат нй Ш к квадрату па 1Т Г>удет плоть отношение болынсс, чем квадрат ла ЕЧ' к квадрату иа Ч>В. Н» квадраг иа И! к квадрату па 1Т нь>ест то жс отиса>сине, что КР к П; отношение жс >сиадрзта па ЕЧ' к ива>ц>ату иа Ч'В равно отиошсн>по половины КР и Ч'Р>; значит, КР к Т! будет иметь большое отиошенис, чем половина КР >2 Ч>В; > КР 2 ГУ "ИВ значит, Т! будет мевыис удвоенной Ч>В.
Ио 11 вдвое более 01; значит, 01 меньше Ч>В, с> < ч>в н 1Й будет Г>ольшс Ч'Р***). > и ис>бнк»»и>оз>ое о неиг гна двхе чоо нгаглз — буннааы«>. ела лаковую ось более че» в в/ рл:ы болыае лврвиегра >ириной ло осй». 3' "*> В ал>ан» абовначанлях: Вб ОН вЂ” 'га, ВК-.>ь Кр=р, стооеюнис С н.аакяоегеа тела. а >анан>юкн б>аег: е <ФЕХ>в > 2) Го (4 ')в (-~- Ь)* в з > палов т —, ВР= — >ь — р>, Ф+Х Н ВтнФ .-Ь вЂ” р ВР, Полвгаси Ф=рч> и Ч>Я' —.о-ВЧ> 2 —., кр ир, гас ич"=В>' — Рр=ь — р — >аь вели обовначаи угол КВр чарва В, го >Г> р р' з "вч *» ниеаи ое >ь ео -р и.
алсдовачелыю, оя в — Р.=ВР. Рслн угол г>гу) В, га П>в ВЧ» лв »в' . волн в н ироввлеи норнвль, го лачина>о>нанси н > субнориааь будет рни>в ввраиегру р к>'. в тн«ои саучас >пг кр-ти О ПЛАВАЮН!л!Х 'Гк'!АХ ь4в! Но Ч'Р равна Ф; зкачпт, 1Н больше Ф. Н таи как, согласно прсднололгснто, сегмокт ко тнжостк имеет к л!идкосгя Отпошенно, как кнадрат на Ф+Х и кпщ!рату на ВЛ, и отношенно ио тншесгн сегмента и жидкости равно отпошонню погружонпой части ко коему сегменту, а отношение и огру!лепной частн ио всему свгмоиту будят тем жс, что у (квадрата) нк ПМ к (квадрату) па ОХ, то, значит, лвадрат па Ф-1 Х.
к квадрату на ВЛ будет иметь то жо самое отношение, что нвадрат па МП и квадрату па О!"!; значит, Ф+Х будет равняться ПМ. Но ПН, соглабпо доказанному, больше Ф; значит, лспо, что ИМ будет мснтше ПН, взятой полтора раза, а Ш1 болоо чен вдвое болыпе ИМе). Пусть ПХ вдвое больше ХМ; тогда Н будет центром тяжеоти всего тела, а Х вЂ” цонтром тижости ого части, погруженной в жидкость; центр тян!ести остави(ойся части будет на проди:!женки соодш!яю!цей ирнмой Хй). Пугль это проиендикуляром я нокорхности !кидкостн н яахОдя- х г гднйся внутри н!идя ости л еогмонт пойдет нз жидлостн Г знсрх по иронодеииоыу че- *В 1кьт Х и! рпспдикуляру к !и1- зврхиости я!идности, а на- ! ходя!канек впе яи!диостп / часть пойдет вниз, в жпд- А ! О кость, ' по иериеидипуляру, проведенному через Г; Г таины образом, ирк уио-.. иннутом угле паклона сегмент но остакетсн в покос. Но ок также пе.вернетск и отвесное положонне.
Этв ясно нз слодуюгцого; из ироиеде!и!ых череп Х и Г порпопднкулнров тот, который проходит чорсз Х, уиа!!ег с той сторошл от ГХ ее), где находится А, а ировкденпмй через à — с той стороны, !;.(е Л, позтому испо, что, согласно вышесказанному, центр Х иойдот звери, а Г вниз, таи что прнлсгаюи(ая к Л !асть всего тала по!!лвт вниз. Это бьшо важно для доказательства. Пусть топорь ирн тех же предиочожепиях ось согмента образует с поверхностью жидкости угол меиыинй, чем В ',рис.
20); тогда ПГ! КР Гне 1"1 М ы пиес«! К1' ВЧы ! КР-ВЧ~ ! КР и Р ч'не з 'гв" з ч«н и, слака«стельке, г! «. зч«В. таи ка«вершияа О параболы налит пел«бек субе«и!еле 1'1, тв 01<!Рв и, м!епсваесл«!!с, !О = Ои — О! = !Ь вЂ” Ш вЂ” Ог > ВР— Ин = ИР. .Отиса!«ппс ~! ил«у«сыск тела и а!па«асти букет !ш ! х>е име "= — ~г-- Оиб т«к «аК ПА . ОК, К П М = Р еу Х. таи КаК !О- ПН > Е К Х =Е ж.
ЕС ПЬ1: —. НИ И ПН )ЛНИ. ! з .з Зтс пе«вливает. Чтс я -.- псптр еж«ест« псвружеписа евсеи сссиеиеа и«хани«си нажну и и Н «*) так в пал:!и«пес!е. Мы спасали бы «се Епи авхпмкд квадрат на П1 к квадрату иа 11' будет иметь меньшее отношение, чем квадрат на МЧ' к квадрату на Ч"В, в, значит, К1' имеет и Т1 меньшее отношенио, чем половина КР к Ч"В.
Тогда 1Г будет более чем вдвое больше ЧгВ, н, значит, Й1 меньше, чевь Ч'Р. Тогда и ПН будет меиь- ше Ф. Но МП ранна Ф+Х; испо, что ПМ более полуторной ПП, а ПН мешапе удвоенной ПМ, Пусть. П7. будет вдвое больше ХМ. Тогда центром тяжести всего сегмента будет Н. а части, находящейся в )кндкости, — 7; если провести соединяющую прямую ХВ и продолжить, то центр тяжести части, находлщойся вне жидкости, будет иа продолжении, Пусть оп будет Г; проведем через 7 и Г норпендииуляры к поверхности исидкости, параьтлельныс Не; тогда ново, что весь сегмент пе огтаьгется иеггогдгьижньгвь, но наклонится так, что ось ого образует с поверхностью жидкости угол, больший того, который опа образует теььерь.
Поскольку сегмент пе установится пи ири большем, нн прн меньшем чеи В угле наклона оси с жидкостью, то ясно, что оп установится толшсо при угле, раинсгм В; в таком случае 10 будет равна ЧгВ, Я1 равна Ч'Р н Ф равна ПН; значит, й[П будет в полтора раза больше ПН.
а ПН в два раза больше ПМ. Сльгдовательпо, П будет центром т»жести части, паходящейсн и игидкостн; танки образом, ггоследняя пойдат ввеРх по тому же самому перпендикуляру, по какому пойдет вниз часть, находьььнанся ннс жидкости, значит, сегмент останется нсподвижпыи, так как обо части будут тотпсать друг друга в протпвопололепые стороны [121. Если прямой сегмент прямоугольного коноида с осью, бельгией пагуторного парометра, но меньшей гтого последнего, увеличенного в отношении гиианадсьати к четырем, имеет по тяжести к жидкости отношение большее, четь равность квадрата оси и квадрата ивьишка оси над полутор»им параметром к квадрату оси, то огь, будучи опуг псеи е жидкость глаз чпигбы его огтьование целиком находилось в жидкоьтпи, и поставлен наклонно, не встаг".
А нет отвесно, но останется б Х и Р "Р" " г стью акгьдкости составит уго ь, равный тому свее, что и вмгае. рис. пс. Пусть будет сегмент та- кой, кан сказано; отлоноьи ЛВ т рис. 211 равной оси сегмонта, н пусть ВК будет вдвое больше КЛ, а К Р равна параметру, и ТВ в нслтор» раза больше ВР; пусть татсжс отногпепне, которое по тяькссти сегмепт нмсот к жидкости, будет том, какое разность квадрата на ВЛ и квадрата па Ф+Х икает к квадрату иа ВЛ, причем Ф вдвое больше Х. Теперь ясно, что разность, на иоторуит квадрат на ВЛ превьпиаст квадрат па ВТ, имеет и нзаярату па ВЛ неиьпгсе отиошеннс, чем то, нанос разность, на которую квадрат ВЛ превышает о ПЛАВлющтгх тгсллх кг алг са» х> квадрат па Ф+Х, имеет к квадрату па ВЛ, так иак ВТ есть разность, на которую ось больше полуторного параметра. Значит, квадрат на ВЛ больгпо квадрата на Ф+Х на (величину), большуто той, на которую квадрат иа ВЛ больше квадрата на ВТ, так что с1т+Х будет меньша ВТ н, с!гогсовательно, Ф.меньше ВР.
Пусть теперь 1'Ч" равна с1т; перпендикулярно ВЛ проведем ЧП1, кпадрирующую половину (прямоугнлсьпинаг' лтежду КР и Ч"В. Я говорю, что сегмент, опущенный в жидкость так, чтобы его основание было целиком и ясндности, установится так, что огь его с поверхностью жидкости составит угол, равный В. Опустим согиент и ншдкость, кан сказано, и пусть ось его не составляет с поверхностью жидкости угол, равный В, по сначала составит угол бочьппш, чем В. Если рассечь его плоскостью, иериетщикулпрыой к поверхности жидкости, то сечением ссглгеггта будот парабола ЛПОЛ, сечением поверхности жттдкости -- прямая Т1, а осью (сечения) к днаиотром параболы — пртглшя )ЧО; разделим иоследшою и 12, В тан же, как к раньше; параллельно Т1 проведем ТП касательную х параболе в И, а также ИМ параллельно )ЧО и Пт пер@анкину;гарно к осн.
Так как ось сеглюпта составляет с поверхностью жидкости угол, больший угла прн В, то и угол з'. ТП будет больше уг;та В; значит, квадрат на ПЕ н квадрату иа Е Т будет иметь больпше отношоние, чем квадрат на ЧтЕ к квадрату на ЧЧ3. Значит, К1' будет иметь к 2:Т отношение большее, чем половина К1' к Ч'Р; кв ч'и :шачкт, Х Т меньше удвоенной ЧгВ, а ХО иепьшо ЧгВ, тг, следовательно, Х1) будот больше Ртр и 1ГН больше Ф. И так нак осгмепт по тяжести относится к жидкости, кыс излишек квадрата иа ВЛ пад квадратом на Ф+Х относится к квадрату ка ВЛ, а отноптснке сегмента по тяжести к жидкости равно отногпеиию погруженной части ко всему сегменту. то поко, что погруженная гго часть ко иселгу сеглтенту будет иметь то жс отпошоние, какое излишек квадрата на ВЛ пад гсгга,гсрптолс иа Ф+Х имеет к квадрату па ВЛ; тогда и весь сегмент к своой части, нахо)[нщейся вне исидкостк, будет иметь то жс отношение, какое квадрат на ВЛ инсат и квадрату па Ф вЂ” .
'Х. Отпопшиие жс всого сегмента к части, находящейся пяе жидкости, равно отпогпенпю квадрата на )ЧО к квадра ту на ПМ; кол пи' значит, МП равна Ф+Х. Но доказано, тто ПН более Ф; значит, МИ будет мсяое Х: слодовательпо, ПН будет больша угсаоенной НМ. Пусть 11Е будет вдвое более ЕЫ; продолжим соединяющую ЕВ до Г; тогда центр тшкести всего сеглшкта будет тз, части, находящейся внг хпгдкостк — Е, а части, находящейся внутри ее, на ЙГ; пусть он будет в Г. Подобно предыдущему докажом, что ОН будет перпендикулярна н (поверхности гкидкостп и что прямые, ировсдепвьсе через Е н Г параллольпо Ы1), будут тожо перпендикулярны х поверхности жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
