Архимед, О плавающих телах (1123992), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отложение по тяжести сегмен- о г>лАВА>сщых твг>АХ та и жидкости равно отношению погруженной части ко всему сегменту, как уже докивоио (и ггродложешт !), а отяог>генис >>сгруженной частя ко всему сегменту равно тг>а>у, которое выест квадрат па ПФ к квадрату пн г «О; действительно, в книге «О лспондах» доказано, что если от прямоугольного нопоида отсечь два сеглгепта произвольно проведонныии плгюкостнми, то ити сегменты будут вновь друг и другу то же самое отяошоппе, что м квадраты их осей («О ко>соилах», предложение ХХ17). Такллг образом, квадрат яа ПФ к квадрату па ЬО а>мсот огяотегшс не меньшос, чем квадрат на НО и лиадрату на ХО; позтсагу ПФ пе менее ЯО, и ПП не мелос МОе); значит, осли нз Ы провести перпсиднпуляр 116 и Е>О, ти оп упадет между В и П. И таи лак ПФ параллельна диаметру, Ый! перпендикулярна даамотру н 1'М раина параметру, то прямая, соедаияюггга>г 1' с 6, будучи иродтокена, образует ирямыо угла> с ласагвльпой в Пса); значит, она обрагуот прямыс углы и с 1Х, и с соответству>о>цей 1Х поверхностью жидкости.
Если через В и Г провести прямые, параллельиыс Р9, то у поверхности жидкости получатся прямыо углы и закяючениая в жидкости часть сегмента лалонда пойдет вверх по прямой, проведенной через В параллелюи> Р(з, паходшцався же вие жидкости часть пойдет вниз по проведенной через 1' парал>юли н РО, и так будот всо время, пола сг>гмснт коленда не станет прямо «7). Вели прямой сегмент прямоугольного коноида легче жидкости и осо его бсмее полуторного парам>апра, а по вегу он ил>вега к жидкое>пи отиошение не большее, чем разно>час между квадратолг оси и квадратом равности между г>еью и полупюрным гьараметром имевгп к квадрату оси, то бугдгрги оп>го!ег> в жидков>>гь так, чтобы его от>ование было г!еликом поаружено в воду, и поставлен наклонно, он ггв останется наклонным, но встанете так, гто его ось будет направлена по отвесу. Опустим такой, иак сказано, сегмопт и жидкость, и пусть ого осноианио будет целиком и жидкости «рис.
14); есл к рассечь его через ось плоскостью, >горист!и>гул>грггой к ловсрхности ьхидиости, то в сечении по. лучится парабо.га ЛПОЛ, осью сегмента и диаметром параГ>олы будет прямая )т«О и сечопнем поверхности >ггидгссст>г прямая П. И тал лак ось ссгмопта но будет о весной, то «а«О не образует с 1Х равньгх углов. Проведем К11 — иасательпую л иарабо;гс ЛПОЛ в точке П, параллельную 1Е, а через П прямую ПФ, параллсльпуго >аО, и возьмем центры тяжести; пусть у сегмента ЛПОЛ центром будет Р, а у части его, паходягцейсв впс жидкости,— В; соединяю>цую прямую ВР продолжи»> до Г; пусть Р будет центром та>кости части, погру>пенной и жидкость.
Позьагсм РЧ равной параметру и сдоласм так, чтобы ОМ была вдвое болыяе НМ, н пусть все остальное будет сделано таи же, как и вышо. '1'еперь, поскольку предполагается, что сегмент поти>гессти имост к я>си>!коста оглашен>го не Г>ольшее, чем разность лвадратои на 1чО и ОП имеет к квадрату на >"!О, а г>тиотенис по тяжести сегмента к равному обче»>у жидкости равно отлов>опии> по>ружепной части тела гго всему этому толу (иаи доказано в первой теореме), то, значит, потру>нов часть сеглгента ко воому сегменту иисст отношение, не Г>ольшее указанного; значит, *> действитсльио, алий«итра тии>асти В сетие>та гпсх инееи Вп= — Фп и мо = — он.
г г =з *> дойотаитсльео, рм есть с»био»пель. а еи — орию>ата точил иасаиил и. агхимгд вась сегмент к чаотн, находящейся вне жидкости, имеет отновтеннс нс большее, чем квадрат на МО к квадрату на 110. Но весь сегмент к своей части находян1сйся Впс жидкости~ отпо" снтсн как квадрат 1чО к квадрату ИФ; аначит, квадрат на г10 к квадра- 1вас.
Ы. ту на 11Ф имеет отношение не большее, чеи квадрат на ИО к квадрату на НО. ко' но' пе' по' Следовательно, 11Ф будет не менее 011 и 11В пс в|соне МО. Значит, отвеснее линия, проведенная из М и РО, пересечет В11 мснрау П и В; пусть она нересечет се в 8. И тан кан в параболе праман Пдд параллельна РО, а МО перпендикулярна кдваметру, и, наконец, РМ ранна параметру, то ясно, что проаеденнан прямая Р6 образует врнмые углы с К1111, а апачнт, и с !2;. Оледоеательпо, 1тО перпендикулярна к поверхности жидкости, и нрямыс, проведенные через точки В и Г параллельно Р8, будут церяендннулнрны н ноесрхпостн жидкости; значит, часть тела, паходягдалсн ннс жадности, войдет кппзу н ."нндность по исрнондннуляру, проведенному через В, паходшцаясн же в жидкости часть пойдет вверх во ворисндикулнру, проведенному через Г, и сегмент АПОЛ ие останется в понос, ао будет двнгатьсн в лгидкостн, пока ХО пс сд лестен отвосной Щ.
Ъ'1 Коли прямой сегмент прямоугольного коноида легче жидкости и имеет ось, отноигение которой и пара. метру более чем три к двум, ко менее чгм пятнадцать к чегпмрем, то, будучи опуоген е жадность так, гтобы е.о огноеание касалось жидкости, сегмент юм огтанетея наклоненни и так, чпгобы его осноеание имело одну обиую точку с жидкостью Щ. Пусть будет сегмент такой, как сказано: пусть оп, будучи опуоаен н жидкость, установятся, как показано (рис. 151, так, что его основание будет касатьсн >инакости в одной точке.
Если рассечь его через ось плоскостью, перпендикулярной к поверхности исндкостн, то сеченнсм сегмента будет парабола А11ОЛ, сечением поверхности жидкости— Агхимт>д Еслн П1 но пересечет прямой КО, как нзоб>рюкево на кторов фнгуро 1рнс. >6?>, то ясно, что точка 9 — цен?р тяжести погрупюнной часта — будет лежать между >? П н 1; все жо остальное будет доказано так же ИО!. ч?П Хсяи арх.вой сегг>е?ьт нря моугояьного коноида легче лсидкости и имеет <>ель большу>о полуторного паром?вара, но .н6??ыиу?о параметра, уееяиче?>ного в отношении кятнад??а>яи н четырем, п?о, будучи о>?уи?сн в жидкость так, чтобы все они>вские его цеаиком находиаось в жидкости, сегмент ?шкогда нв с?пакет. так, чтобы его ос??осанне каталогов) поверхности жидкости, но ус?оаноги?вся ?иак, что есе основание его ?>овнов с?п ью будеп>?Ыходит вся в жиех Рис.
>6. кости и ни в одной точке нс коснев?ся ее поверхттспиь Иусть будет такой, квк сказано, сегмент; пусть ок, будучи опущен, как сказано, в ж??д??ость, установнтсн так, чтобы его основана касалось повсрхпостк жвдкостн. ТреГ>устоя доказать, что ок не останотся в покое, но наклонится твк, что ого основанне ппв одной точке ио коснется поверхности жадности.
х Если рассечь ем> икооностью, перпендикулярной к поверхности жидкостп, то сечением ы ч его будет иарвбола Л11ОЛ (р??с. 17), сече- нном иоворхаостк >вн>т- Р кости — прямая ХЛ, а осью сегмента н днамет- ф ром параболы — ирвмав Р ! >й>. Опвть разделам Пй> в точно Р тан, пабы Р1! была вдвое больше Р?Р, а в точке Я так, чтобы Я ФИ виола н РЯ отно- ?ч?е. ??. тенко пнтнадцатн кчетырсм; >?роведев? перпендикуляр ЙК: тогда Рй будет меньше параметра.
Отложкм РН, равную параметру, и пуюведем ТΠ— касательную к параболе в О, параллельную ХА, а затем МО, па- > каеааеее, т. е. >г>е»е ебмтв чачах, о пыав»ющпх твльх раллельную ПФ. Пусть спи шла 1чО иересочет КП н ~очке 1. Тогда подобно продыдущому докажем, что КО будет илн в полтора раза или более чеи в полтора раза больше 01; (в последнем скучав) О1 будет моньше удвоенной Пч. Пусть ОВ будет вдвое большо ВХ, и все остальное сдоласн таи ннь каи и раньше; подобно (предыдущему) докажом, что РО образует пряные углы с ТО н с поверхностью жидкости, а нрнмыо, нроводоппыс через В и Г параллельно Рй, буд)"г перпендикулярны поверхности жидкости.
Тепорь находящаяся нис гнидкости часть сегмента пойдет инна в жидкость ко перпендикуляру, проведенному через В, а часть, находящаяся и жидкости, пойдет вверхпопорнепдикуляру через Г; »спо, что тело наклонится так, что его основание нс будет пи в одной точке каситьсн поверхности жидкости, потому Л что часть, (касавшаяся поверх- Рис. 18. ности жидкости) в одной точке (Л), опустится (внкз) со стороны Д. Также ясно, что то же самое можно будет доказать и в том случае, когда Ог! не будет пересекать ЙК (рнс. 18) (И]- Ъ'111 Ьсли прямой сегмент прямоугольного коноида с осью, болыаей пагулюрного параметра, но .иеныией етого параметра, увеличенного в ото ношении пятнадцати к четырем, имеет по тялсести и жидкости отношение меныиее, чем квадрат разности оси иполуторноео параметра к квадрату оси, то, будучи Р опуи1ев в жидкость так, чтобы его б основание не касалось жидкгюти, се»мент.
ке возвратится в отвесное К Я Ю положение, а останется в наклон- Ф ном положении, причем его ось абрагу т с поверхностью жидкоппи угол, равный тому, который бу- К дега указан. Пусть будет сегмент такой, чр Р ТК как сказано; пусть ВЬ (рнс. 1Щ раина его оси, ВК вдвое балы не КЛ, и К Р равна параметру; пусть также ТВ в волторн раза болъв|о В1', аТЬ вполгора раза больше КР; пусть отношение, котороо сегмент но тяжести имеет к гкидкости, равно тому, арх нквд которое квадрат на >1>+Х имеет н квадрату па ЛВ, и пусть >1> будот вдвое больню, чем Х.
Исно, что Ф+Х имеет и с>В отношение, меньнгсе того, котороо ТВ имеет к ВЛ, ган как ТВ есть разностьч па которую ось болыпс полуторпогоиаранетраи); значит,Ф+Х меньше ВТ, так что и Ф будет меньше ВР. Иусть Ф равна РЧ', перпепдньуллрио ВА проведем Ч'Е, квадрат на которой раиниетсл полови>т>> прямоугольника мс>нду КР и ВЧ>, и проведем сосдинлющую прикую ВК. . Тробустся доказать, гуго упомянутый сегмент, опущенный, как сказано, в жидкость, уствиовитсн в наклонном положении таь, >сто сгв ось образует с поверхность>о и>идкости угол, равный ЕВЧ"**).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
