Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. от знака второй производной ( — т/ . Если а приближается к Т, то АУ-и ее, что действительно имеет место и — ! в идеальном газе прн о,— е- — нн когда на адиабате Гюгонио р -т се; Тч. и отвечает отрицательному давлению и тому подобным, яе имеющим в данном случае никакого физического смысла, условиям. Для слабых волн легко найти теперь предельные законы изменения энтропии в ударной волне. Произведем расчет, разлагая все выражения в ряд по степеням Де= о — п, и оставляя везде только старший член, дающий отличный от нуля конечный результат. Уравнение адиабаты Пуассона ~д ) 12 ''-) дР 1 дР а де 2 дет (Х1-10) Составим выражение изменения энтропии, пренебрегая площадью треугольника АВС в (Х1-5, б, 7): 1 Отметим, чти тт ( еь так что е (О.
Второй индекс указывает, что значения производных взяты в состоянии У (точке А рис. 29). Обозначая Лп, = от — и, ==- а, найдем' давление р'т в точке С (рис. 29), опуская индексы у производных: ТдД Р1+-Рз ( ) )' ~„) 1 ~д Р) (Х1-11) 12 Сопоставляя уравнение адиабаты Гюгонио в форме ( 2 )(~х (Х1-1г) с выражением Ы= Тг1Б-ь-ег1р, мы можем во всех предыду- щих рассуждениях переставить р н тл При этом мы получим результат:т т Может бмть, стоит еще раз отметить, что расчет площадн трапеции, ограниченной прямой АгВ (рис.
29), осиовая иа выражении адиабаты г юговио, следующем из законов сохранения, приложенных к состоянию до и после волны. Этот расчет ни в какой связи не яаходнтея о вопросом о Форме линии, по которой в деиствительности меняетея состояние В волне (сю й ХЩ. х Нужен невероятно быстрый рост тепловмкости для того, чтобы зв удр'1 р счет падения а=о /ег абсолютная величина ( — ) = — й — падала е ро(ди/я о етом температуры. В слабой ударной волне изменение энтропии пропорционально кубу амплитуды. В начальной точке адиабата Гюгонио касается адиабаты Пуассона; в втой точке кривые имеют общую касательную и общий центр кривизны (касание второго порядка); касание сопровождается пересечением (см. продолжение кривых при е >и, на рис. 29).
Более сложным путем, не прибегая к геометрической трактовке, эти результаты впервые получил Жуге1581. Так как более полная работа Жуге опубликована ранее сообщения Цемплена 1991 (во второй заметке в 142-м томе Цсмплен Отмечает, что ему следовало бы цитировать Жуге), принятый обычай называть доказательство невозможности разрывных волн разрежения „теоремой Цемпленаи совершенно несправедлив. Рассматривая (Х1-11), мы устанавливаем, что для идеального газа адиабата Пуассона, везде выпуклаях к осн абсцисс, приводит к тому, что энтропия растет в ударной волне сжатия; напротив, в резкой волне разрежения, к которой были бы применимы уравнения сохранения, энтропия падала бы, откуда сразу видна невозможность распространения в идеальном газе волны разрежения с тонким фронтом, подобной ударной волне сжатия.
Для слабых волн из рис. 29 мы можем в совершенно общем виде, т. е. для произвольного уравнения состояния вещества, сделать заключение о соотношении между скоростью распространения ударной волны н скоростью звука в веществе до и после сжатия. Для того чтобы сжатие распространялось по газу в форме ударной волны с весьма крутым фронтом, необходимо, чтобы адиабата Пуассона имела выпуклость книзу, т.
е. имела вид, изображенный на рис. 29. Однако в этом случае геометрически ясно, что наклон касательной к адиа- бате в точке А должен быть Р меньше наклона секущей АВ. Напротив, наклон касательной в точке В, изображающей конечное состояние, илн наклон касательной в весьма близи. кой к В (с точностью до величнн третьего порядка) точке С больше наклона секущей.' Таким образом, мы получаем ! элементарный вывод найденного ! впервые Жуге соотношения, согласно которому сжатие раср пространяется в виде ударной волны, если скорость звука до Рис.
30. Адиабата Пузе на с о - сжатия меньше скорости расрезком с аномалвной выпуклостью пространення ударной воднгз вверх. На этом отрезке возможяы ударные волны разрежения. найденной нз законов сохра- нения, а скорость ввука в веществе после сжатия больше скорости ударной волны относительно сжатого вещества.' В случае адиабаты Пуассона, имеющей обратную вогнутость (рис. 30, участок АВ) сжатие в ударной волне сопровождалось бы падением энтропии, ибо ограниченная адвабатой Пуассона площадь больше площади, ограниченной секущей, вертикалями и осью абсцисс.
В веществе, в котором адиабаты Пуассона имеют обратный знак вогну- !бр 1 Измсксккс всличкяы ~ о ( „ст которой зависит скорость звука прк ~ до,(з" переходе от А а С илн от А к В,— первого порядка в о~ — ох„изменение ~ — ) при переходе от С к  — третьего порядка. (др 4 ~б (я т Величины ((, с1 н ст при малой амплитуде отличаются на величину, пропорпиональную амплитуде.
Скорость движенив и также проиорпионалеиа амплитуде. С точностью до величин, пропорпяональных квадрату амплитуды, скорость ударной волям равна среднему арифметическому скорости вв ка в иачальяом состоянии с1 и скорости распространеяия возмущения в направлении волны в сжатом, движущемся ~азе от ч-ю с, -+- ст-+- и 2 84 тости, волны сжатия не будут более резкими. Вызванное в какой-нибудь части вещества, например, движением поршня> сжатие будет распространяться волной, постепенно расширяющейся наподобие волн разрежения в идеальном газе, разобранных нами ранее.
Напротив, в таком веществе волна разрежения будет распространяться с чрезвычайно крутым фронтом, крутизна которого не будет уменьшаться со временем и будет определяться малыми значениями теплопроводности и вязкости. Этому соответствует обратное соотношение между скоростью ударной волны и скоростью звука. Действительно, в распространяющейся волне разрежения, в которой исходное состояние представлено точкой А, а конечное состояние вещества представлено точкой В (рис. ЗО), скорость распространения волны разрежения АВ относительно вещества в состоянии А определяется наклоном прямой АВ и превышает скорость звука в состоянии А, что видно из характера пересечения адиабаты и секущей в точке А, где касательная к аднабате Пуассона идет более полого, чем прямая АВ.
Напротив, в точке В, описывающей состояние вещества после прохождения крутой волны разрежения, скорость звука превышает скорость рас пространения конечного возмущения. Существуют ли в природе вещества, у которых, хотя бы в какой-нибудь части р> и плоскости, аднабаты Пуассона имеют выпуклость, направленную вверх? Мы можем ожидать появления таких состояний вблизи критической точки жидкость — газ. Действительно, еще задолго до критической точки изотермы имеют перегиб (в самой критической точке перегиб изотермы становится к тому же горизонтальным); для вещества с достаточно большой молекулярной теплоемкостью, у которого нзотермы и адиабаты отличаются достаточно мало, мы можем ожидать, что вие области двухфазных систем, в состоянии, в котором вещество совершенно устойчиво находится в виде одной фазы, у адиабаты также получится обратный знак второй производной.
Соотношение между структурой волны сжатия и волны разрежения станет обратным по сравненяю с соотношением между резкой ударной волной сжатия и размытой волной разрежения в обычных газах вдали от критической точки. Нарис.31вплоскостир„одля случая с>=-40 кал.(град. моль '~ з>р1 проведена линия Н, отделяющая область с ( з э ) ( О, адиабата, д»'-' я проходящая через эту область, и линия 1, отделяющая заштрихованную область двухфазных систем (последняя не зависит от величины с,). Вычисления проделаны при участии инж.
Ф. Е. Юдина (лаборатория горения ИХФ). В уравнении Ваи-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры, во всей области однофазных систем; энергия однородного вещества, подчиняюще- 85 гося уравнению ван-дер-Ваальса, может быть представлена в виде суммы двух членов: Е= Е,( Т) -+- Ев(о) = ~ с. И Т вЂ”вЂ” Это обстоятельство существенно облегчает расчеты, так как энтропию ван-дер-ваальсозского газа также удается пред- .8 ту Ь7 ' и ае Рис. 31. Аднабхты е аномальной выпуклоотвю в ваи-дер-ваальеовом гале е тепло- емкостью гч = 40. Заштрихована облаеть двухфазных еиетем~ кривая И ограничивает область еоетояиий Ю аномальной выпук- 1 дт р У лоетвю аднабат.
Под крявой 11( —,— ) (0 пот я ставить в виде суммы функцаи температуры и функции удельного объема. Весьма интересно было бы исследовать экспериментально ударные волны и волны разрежения в газе с большой теплоемкостью в той области, где можно ожидать бб указанных выше аномалий. Для этой цели можно взять высокомолекулярное органическое соедянение, при том такое, которое еще не разлагается при критической температуре. Установление в общем виде связи между скоростью звука в веществе до и после прохождения ударной волны и изменением энтропии в ударной волне существенно и доставляет большое удовлетворение> так как ясяо (см.
замечание Томсона, цитированное в статье Ренкнна ~78~), что соотношение между скоростью ударной волны и скоростью звука определяет механическую устойчивость волны. Необходимо, чтобы ударная волна распространялась со скоростью, превышающей скорость звука в газе, подвергающемся ее действию, для того чтобы вызываемое ударной волной возмущение не ушло вперед со скоростью, равной скорости звука.
Необходимо, чтобы ударная волна распространялась относительно сжатого газа со скоростью, меньшей скорости звука в сжатом газе, нбо только в этом случае можно представить себе причинную связь между движением поршня, вызывающего ударную волну, и распространением ударной волны, так как перенос возмущения от поршня фронту ударной волны совершается через слой сжатого газа. С теми же критериями с,(и» с,) иа мы встретимся, исследуя возникновение ударной волны. Глубоко удовлетворителен тот факт, что этн непосредственно ощутимые критерии механической устойчзвости ударной волны удается совершенно строго связать со знаком измененяя энтропии я ударной волне, который в общем виде говорит о возможности нли невозможности распространения ударной волны, удовлетворяющей законам сохранения вещества, количества движения и энергии.
Связь анака Л5 и неравенств, касающихся скоростей звука, нарушится только в том случае, если в рассматриваемом интервале изменения давления осуществляются оба знака д' р/доз, так что адиабата Пуассона имеет больше двух точек пересечений с прямой. Рассмотрение возникающих сложных режимов, в которых одновременно имеют место н разрывы и прщаыкающие к ннм размытые волны, выходит за рамки настоящей книги. $ ХИ» Структура фронта ударион волны Мы приступаем к исследованию того тонкого слоя, внутри которого в ударной волне происходит переход из одного состояния в другое, — слоя между контрольными поверхностями А н 8 рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
