Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 21
Текст из файла (страница 21)
рие. 34). т — время вовбумдеиия. Рие. 356. Струитура ударной волны большой амплитуды (АС) в газе е замедленным вовбуидением (ер. рие. 34). частоты. Оценивая по формулам Прандтля (761, Рейлэя 179], Тэйлора 1931 и Беккера(38) (8 12) ширину такой ударной волны в воздухе, зависящую от теплопроводяости и вязкости, мы получим при атмосферном давлении 8 ° 10 ' мм н при давлении 15 мм ртутного столба 0.4 мм. В углекислоте зти величины были бы еще меньше.
Между тем, ширина ударной волны в углекислоте, зависящая от замедленного возбуждения> составит по грубому расчету при атмосферном давлении 12 мм; при давлении 150 мм ртутного столба ширина достигает 60 мм. Такое резкое изменеяие ширины ударной волны может быть замечено прн изучении структуры фронта методами теплеровской фотографии, при сравнении фотографии в газах, у которых этих эффектов нет, например, в воздухе, и фотографии в углекислоте.
В случае сильной ударной волны (2 на рнс. 34) мы должны ожидать более сложных режимов (ср. рис. 356): разрыв АВ, ширина которого определяется вязкостью и теплопроводностью н соответственно весьма мала, распространяется без заметного возбуждения внутренних степеней свободы, точка В лежит на соответствующей аднабате Гюгонио (знак ш= оо). Следующее за разрывом возбуждение сопровождается плавным (на длине порядка ЕЬ) повышенлем давления н увеличением сжатия до точки С Рис. 35а и 356' иллюстрируют распределения давле- 7 я. в. з 97 ния в пространстве во фронте ударной волны, которые мощно ожидать в этих двух случаях.
т.,'свершение аналогичны не- показанные распределения температуры, плотности и скорости. Фотографическое изучение формы ударной волны должно стать, по нашему мнению, удобным прямым методом исследования замедленного возбуждения внутренних степеней свободьь Увеличение ширины фронта естественно, если вспомнить> что замедленное возбуждение дает большой второй коэффипциент вязкости (В 1). Однако замена конкретных представлений формальным введением второго коэффициента вязкости возможна только в ограниченных пределах и, в частности, не позволяет найти более сложный режим рис. Збб (ср. $ Б> а> )) 1(т). Подробные расчеты содержатся н статье автора, находящейся в печати в Журн.
зкспер. теор. физики. Е >ЦЧ> Вовникновеиие ударной волны Мы подошли к теорви ударной волны> рассматривая движение, получающееся при сжатии газа поршнем, в определенный момент (4=0) начавшим двигаться с постоянной скоростью. В ятом случае мы пришли к режиму, в котором ударная волна сразу образуется у поршня в момент начала его движения к дальше распространяется с постоянной интенсивностью. При конечной массе поршня такое движение требовало бы преодоления бесконечно большой силы инерции в начальный момент прн мгновенном изменении скорости поршня. Рассмотрим движение газа, возникающее при постепенном ускорении поршня, сжимающего гав и покоящегося в начале движения.
Мы можем легко сконструировать движение, заменяя непрерывное ускорение большим числом мельчайших скачков скорости> т. е. заменяя плавную кривую в плоскости х — г ломаной, составленной из хорд этой кривой.' Рассмотрим подробно первые этапы движения. Поршень начинает двигаться и дзижется в течение времени ~> с малой постоянной скоростью тяг В течение этого времени по газу распространяется ударная > Мы ограничиваемся здесь ссылкой на работу Кавьяра (43], рассматриваю>пего движения с малой амнлятудой. В отличие от всех остальных работ, Каввяр с самого яачала расематрввает уравнения движения, содержа.яве вязкостные члены, так что расчеты ояисмвают яе только образование ударной волны, ио н стайвояаряую структуру фроята волны. Физяческнй иятерес такого рассмотрения невелик, так как до образования ударной волны действие ввзкостя ничтожно, а стайковарная структура может быть более аффективно найдьва ярямыми методами, в которых заранее предиолагается ставиояарвоств волны.
волна постоянной интенсивности, причем скорость движения вещества, подвергшегося действию ударной волны, постоянна и равна скорости поршня шг. Иными словамя, относительно непосредственно примыкающего к нему газа поршень покоится. В момент, когда произойдет следующий скачок скоростк до величины п~ж повторится то же самое, и по газу, примыкающему к поршню и сжатому первой ударной волной, пойдет вторая ударная волна, характеризующаяся скачком скорости нгт — пгг, и т.
д. На рис. 36 показана картина распределения скорости в пространстве после трех таких скачков. Совершенно аналогичный вид имеют графики распределения давления и плотности в тот же момент времени. Рис. Зб. Распространеяие ряда яоеледовательнмк инпульсов. С течением времени точка 3 догоняет 3, осе догоняют 7. По оси ординат отложена скорость движеяиа гаиа. Фундаментальное значение приобретают сейчас показанные в общем виде Жуге ((58, 60), см.
также Дюгем(48)) свойства ударных волн; скорость распространения волны 1 относительно сжатого в ней газа в отрезке 2 — 1 меньше скорости звука в состоянии 1. Напротив, скорость волны 2 относительно состояния 1, которое для этой волны является начальным, должна быть больше скорости звука н состоянии 1 и, согласно Жуге> тем более превышает скорость распространения волны 1. Отсюда видно, что волны догоняют друг друга, имеют тенденцию кумулироваться (накапливаться), объединяясь в мощную ударную волну.
Гюгонио связывает с этим обстоятельством устойчивость ударной волны[561. Адамар(54) и Беккер(38] рассчитывают момент и место начала кумуляции в зависимости от ускорения поршня. В плоскости х, 8 кумуляцни соответствует пересечение характеристик (линий, кзображающих движение отдельных ударных волн) впереди поршня. 7" 9р а -ь-то с +. ы д1 г= — ° 1г= Лс +- Лю Ль Аи — -+. 1 Ле (Х!Ч-1) После предельного перехода получим: 3~ 1 1 лиг <ы,ат я (Х)'т"-2) где й есть ускорение поршня. 4а ~~с ~~а йа ~Ми (Ьо с~у ~йи В случае разрежения (движения поршня от газа) характеристики расходятся веером, не пересекаясь, и найденное решение (ср.
й Я) остается правильным неограниченно долго. Уменьшая отдельные скачки скорости и увеличивая нх число, мы придем к непрерывной плавной крявой движения поршня и к непрерывному распределеняю плотности, давления, скорости в газе перед поршнем вместо ступенек. Однако в случае сжатия тако". реш ние будет правильным только до момента пересечения характеристик, т. е. момента, когда одна волна догонит предыдущую. При уменьшении величины скачка скорости ш„— ег„„ с одновременным пропорпнональиым уменьшением интервала времени между двумя последовательными скачками время и место соединения двух волн (точка пер сечения в плоскости х — г) стремятся к вполне определенному пределу. Найдем этот предел.
Скорость растростраиения весьма слабой волны не отличается от скорости звука. В движущемся газе к скорости звука добавляется скорость движения самого газа, равная скорости поршня, так что скорость распространения слабой волны в пространстве равна с-+-ш. За время ог волна уйдет на асстояние (с -~-тс)~М. ели за вто время скорость поршня изменилась на величину Лш и вызванное изменением скор сти поршня сжатие изменило скорость звука на величину Ас, скорость распространения увеличилась на с1и-+-Ас. Сумма Лто-+. Лс и представляет скорость, с которой одна волна догоняет другую (разность их скоРостей), так что встреча прсизойдет через Используя найденные в акустике законы изменения состояния в слабых волнах (мы могли бы получить их н предельным переходом от уравнений ударных волн), мы легко вычислим последнюю величину: В акустике мы нашли: »'и = — ' с>*р! Так как скорость газа и равна скорости поршня а>, получим »Е е .
с>с >!е р >й с!ес (Х1Ч-4) >Ы ' др с>>о с >щ И!о Е Для идеального газа легко найдем: с тТ р; — = — > > и!ос Д вЂ” 1 (Х)Ч-5) >!!ар й= ' ~ — = — — (с-+- ). (Х1Ч-б) 1-> ' — ' 2 >>с Е с>с 1 Г»с — -+-1 = — — -+-1 = — (2рз с — -+-2рс ! = ,! с гр 2Е. ! !Е Ы 1р р> с> — р> 2есс До 2ес> Ие Ие (Х1Ч-7) Переходя к более удобной переменной в удельному объему 1 >К > с> е= — — =р' — > найдем: Е' 1с 1Е (Х1Ч-8) и в пределе при и> -» О с> 1 =и(д>р!д >)с х (Х1Ч-9) Таким образом, сама возможность одной волне догнать предыдущую и возможность возникновения ударной волны связаны со знаком (Ур!оо>)с, роль которого в термодннамической теории мы отмечали раньше в й Х1.
Общее рассмотрение всей картины движения ври произвольном задании движения поршня представляет большие трудностн154, Щ Возникают ударные волны конечной, но переменной амплитуды, после их прохождения изменяется энтропия газа; только в самое последнее время Кибелю> Франклю н Хрнстнановичу удалось развить аффективные графические 101 В случае произвольного уравнения состояния преобразуем внаменатель (Х1Ч-1) следующим образом: (Х1Ч-10) н элементарными приемами интегрируется в квадратурах (см. Смкрнов, Курс высшей математикй, т. П, стр. 80), Внд функции у найдем, замечая, что наклон характеристики х' —,=и-+-с. г' (Х1Ч-11) Связь и н с прн изменении состояния газа волнами, распространяющимися в одном направлении (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
