Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 22
Текст из файла (страница 22)
8 Ч)), при отсутствии ударных волн (при постоянной внтронни) иногда легко 2 получить в явном виде ( идеальный газ и= — (с — со)~. Эту связь всегда можно найти прн известном уравнении адиабаты р =р (р, 5= сопа1) а параметрическом виде (и = и (р), с=с(д)1 — см. ф-лы (Ч1-10). Преобразуем ее к виду и =у(и-+- с), (Х1Ч-12) где,~ есть как раз функция у уравнения (Х1Ч-10). л Вее раечетм отноентен и еоетоннию до вовнивновеинн ударной волам т < ем т. е. б < О.
Двювеиие проаеводнт в волости х < хь где х' < О. 102 методы расчета, которые, однако, слишком сложны для нашего курса (см, 111]) Аналитические методы до снх пор удалось найти только для движения до обравования разрыва 1371. Значительно легче найти такое движение поршня, при котором все характервстики пересекаются в одной точке, т. е. все волны одновременно н в одном месте нагоняют друг друга. Зададимся местом н временем образования ударной волны (соединения всех слабых волн), которые связаны между собой условием х, = со р,> получающимся из рассмотрения первой слабой волны, распространяющейся по невозмущенному еще неподдижному газу.
Перенося начало координат в х, ~ плоскости в эту точку (нозые координаты х', г'), мы заметим, что состояние газа постоянно вдоль прямых (характеристик), проходящих через начало козой системы координат; иными словами, состояние газа зависит только от отношения х~~р'" .В частности, только от отношения х'/р' зависит скорость газл и равная ей око ость движения поршня.
аким образом, дифференциальное уравнение движения поршня является однородным и =я 1(с со)= 5 (с со) = б (с.+- и — со) (Х!Ч-13) 2 5 (Х)Ч-14) Введем безразмерный параметр у —,=Ус; х, =соб У; — „, =сохо — -+-с,У (ИЧ-15) Согласно (Х!Ч-14)> получим уравнение: ь ой 5 со М вЂ” -ь- со у — (усо — со). (Х(Ч-16) Переменные разделяются: ьоу 1 5 1 — = — — "— — ° ьь'Ь' б У б (Х!У-17) Начальные условия: 4ь = бь! хо»= ль= со~ь=со~о'! Уо=! (Х!Ч 1й) Решение имеет следующий вид: ь(б 6) (Х!Ч-19) Возвращаясь к системе координат, в которой в начальный момент поршень находился в начале координат, подучим следующее уравнение движения поршня в параметрическом виде: х„= х, ~1 — у ( — у-+- — ) 1 ь (Х!Ч-20) г= Ь ~1 — ( —,у.+- б ) ~ (ИЧ-21) В явном виде уравнение несколько громоздко.
103 Так, для идеального газа в случае ьо=с /с,=1.4 имеет место Кривая (Х)Ч вЂ” 20) — (Х)Ч-21) вычерчена точно на рис. 371 на кривой помечены скорости поршня в разлияиых точках; пунктиром проведена первая характеристика. Амплитуда разрыва плотности, скорости и давления в месте встречи зависят от того, в какой момент движение поршня отклоняется от только что найденного закона.' В момент соединения всех волн в месте соединения образуется конечный разрыв; легко видеть, однако, что этот разрыв не может распространяться дальше как одно целое, без изменения, так как в распространяющемся без изменения разрыве †ударной волне †име место другие соотношения между плотностью, давлением и скоростью.
Так, до момента Рис. 37. Движение поршня (сплошная лиани), ври котором все характеристики пересекаются одновременно в одной точке А в верхнем правом углу чертежа. В отдслвямх точках помечена скорость поршня. се — скорость внука в гале до сжатия. образования разрыва градиенты везде были невелики, действием диссипативных сил можно было пренебречь, энтропия не изменялась, связь между давлекнем и плотностью удовлетворяла уравнению адиабаты Пуассона. В ударной волне выполняется уравнение Гюгонио, энтропия растет. Рассмотрение движения, возникающего в момент образования разрыва, мы отложим до ф ХЧ)1 в ближайшем и ХЧ будут приведены некоторые опытные данные, касающиеся возникновения ударных волн. х При 1-ь1с уравнения (Х1Ч-20) и (Х1Ч-21) приводят к ха-мхе, что отвечает бесконечному сжатиш (консчяое количество вещества с отреака 0 — хь сжимается в стремящийся к нулю иятервал между х„и хс), бесконечному давлению и скорости.
104 ф ХЧ. Ударная возжи н колебаниях большой амплитудна В 60-х годах прошлого века было замечено образование странных линий на закопченной пластинке, вблизи которой проскакивали сильные электрические искры лейденской банки. Предполагали электрическое происхождение этих линий. Рядом остроумных экспериментов Мах и его сотрудники [66,67,68, 69,82) показали, что линии эти представляют собой след столкновения волн, распространяющихся от отдельных искр, отражающихся у бортов пластинки, и.
т. д. Располагая у пластинки два искровых промежутка разной длины, соединенных последовательно, Мах заметил, что место встречи волн находится всегда ближе к слабой искре; так была показана зависимость скорости распространения сильных возмущений от их амплитуды. Применяя теневой метод для наблюдения распространения волн, стробоскопирование и моментальную фотографию с освещением отдельной искрой, Мах показал сверхзвуковую скорость распространения и резкость фронта возмущения. Он отметил также, что распространяющееся в пространстве возмущение затухает гораздо быстрее, чем возмущение, вынужденнсе распространяться в одном измерении, в узкой трубке.
Опыты по нндицироваиню ударных волн, возникающих в трубе при разрыве перегородки, разделяющей газы разного давления, производил Вьей около 1900 г. [961. Вотье [1231 исследовал распространение импульса, вызванного выстрелом из пистолета. В первом случае с удовлетворительной точностью была подтверждена следующая из уравнений Гюгонио связь между давлением (амплитудой волны) и скоростью ее распространения.
Во втором случае волны были сравнительно слабы и при возникновении имели размытый фронт без разрыва. Однако на протяжении километров (была использована только что построенная, но еще не пущенная в эксплоатацию водопроводная линия) удалось отметить постепенное характерное увеличение крутизны, образование разрыва во фронте волны. В кратком обзоре, отнюдь не претендующем на полноту, мы остановимся на последних, особенно тщательно проведенных опытах [87, 701. В связи с исследованием колебаний газа в выхлопном и всасывающем трубопроводах двигателя внутреннего горения [871 были проделаны следующие опыты. Труба длиной 12 м и внутренним диаметром 7 см присоединялась к цилиндру маленькой поршневой машины того же диаметра (7 см) с ходом поршня 6.8 см.
В пяти сечениях трубы были установлены измерители давления и скорости движения газа. Давление замерялось пьезокварцем, скорости газа в шайбочкой размерами 2 Х 3 мм, укрепленной на оси. трубы. 105 Прн движении гааа шайбочка движется по осн, закручивая стержень. Поворот стержня регистрируется через окошко с помощью зеркальца, прикрепленного к стержню. Особое внимание было обращено на высокую собственную частоту (малую ннерцвонность) нзмернтельных приборов н хорошее демпфирование собственных колебаний.
Рис. 38а. Схема опыта (крайняя слева труба) и запись кривых изменения давлеяия (слева) н скорости гааа (справа) в 7 сечениях трубы в зависимости от времеви прв вовбумденни колебаний девмьнвем поршня с основ ной собствеявой частотой трубы 14.4 герц. Поршень приводился в гармоническое воввратно-поступательное двнженне злектромотором. Прн частоте, далекой от резонанса, амплитуда колебаний была мала. Изменение давлення н скорости в каждом сечении также происходило по гармоннческому закону, в полном соответствии с обычными акустнческнмн представлениями.
Однако прн резонансе характер движения резко менялся. На .рнс. 38а н 386 схематически представлены запнсн прнборов крн возбужденнн основного тона трубы. Частота колебаний поршня 14.4 герц (14.4 колебаний в секунду). Как н сле.довало ожидать, весьма велика амплитуда движения газа: 10б скорость движения поршня при частоте 14.4 герц не превышает м 14.4 /т, где Ь вЂ” ход поршня, т.
е. 3.14 ° 14.4 6.8см)сек.= =3,1 м/сек. В резонансе скорость газа достигает 25 м/сек— почти в 10 раз больше. Для нас особый интерес представляет вид крявых изменения скорости и давления, свидетельствующий о возникновении ударных волн значительной амплитуды Ю сс'аж Р тм Й~ Рис. Збб.
Мтвовеивме респредслеиия девлевии и скорости по длиие трубы в реялиевме момеитм времеви (обреботке яеписев рис. дба). при гармоническом возбуждении сравнительно медленно движущимся поршнем. Теория ударной волны позволяет легко сделать приближенные, но весьма важные выводы относительно амплитуды волн в резонансе в условиях опыта Шмидта. Рассеяние энергии вследствие трения и теплоотдачи газа вблизи боковых стенок трубки (Кнрхгофф(бЦ), при отражении от конца трубы и поршня (Константинов [131) — все этн обычные для акустики причины поглощения звука в условиях опытов такого типа невелики; рассеиваемая в единицу времени энергия растет пропорционально квадрату амплитуды (т.
е. пропорционально энергии колебаний) н при большой амплитуде, когда возникают раз- 107 А=-~ Р'е)рп>е(б 1 Ф о (ХЧ-1) В резонансе' приближенно оценим А, замечая, что в Ьв. А= ЛРЬ вР. (ХЧ-2) Поглощенно энергии найдем, составляя выражение А> = пйРТЬБ, (ХЧ-3) где алрос есть количество вещества, подвергающееся ударному сжатию в единицу времени; .0 — скорость распространения ударной волны — приближенно заменим скоростью внука с; ЛЯ вЂ” приращение удельной (на грамм) внтропии; Т вЂ” абсолютная температура, ТАУ вЂ” необратимо превращенная в тепло работа на грамм вещества. Согласно формуле (Х1-13), Т1~=-; —,"," (,2Р) . 12 дрт Для воздуха Ь=1.4; — 1С ра А>= ~0 ~'Т~1~= 1б ср Ре(2Р)'~Р'= —' ,Π— "т ° (ХЧ-4) Р' л Вдали от резонанса е)р и ш меииютеа со >ианк>алиным сдвигом фалы, овеяна (ХЧ-2) была бы иеиоавильиа (завышена).
106 рывы> может отступить на задний план по сравнению с другим механизмом рассеяния внергии. В В Х1 мы установили> что в ударной волне происходит рост энтропии, пропорциональный третьей степени амплитуды давления, плотности нлн скорости в волне. В стационарном режяме этот рост энтропии должен быть скомпенсирован автоматически устанавливаюшимся соответствующим отводом тепла нз газа в стенки трубы. Рост энтропии описывает необратимое превращенве механической анергни в тепловую, описывает затухание волн, незначительное при малой амплитуде, но растущее быстро (как куб, вместо квадрата в линейной аку стикс) погдощевие.
Приближенно, вводя эффективное значение амплитуды давления >1р, обозначая частоту в, длину трубы 1> ход поршня Ь, скорость порш я в, площадь поршня, равную сечениютрубы Г, найдем работу, совершенную поршнем в единицу времени: Приравнивая работу поршня поглощению энергии, получим: (ХЧ-5) В рассматриваемом случае возбуждения основного тона трубы частота колебаний поршня в резонансе связана с длиной трубы с о>= — (длина полуволны равна длине трубы). Подставляя> найдем простую формулу (ХЧ-б) В опыте Шмидта Л=б.8 см и 1=12 и найдем — = ~/5 — '=0.17 ор 0,17 ага ~я 12 в разумном соответствии с наблюденным порядком величины (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
