Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 19
Текст из файла (страница 19)
23б. В предыдущем изложении мы не рассматривали процессов внутри этого слоя на том основании, что толщина слоя, которая определяется диссипативными силами, весьма мала и результаты процессов, происходящих в этом слое>нам удается определить из уравнений сохранения беэ детального рассмотрения самих этих процессов. 87 Здесь нас будут интересовать именно процессы внутри слоя и его толщина. Мы рассмотрим раздельно два предельных случая: 1) случай весьма малой вязкости и 2) случай малой теплопроводности; более сложный в математическом (но не в физическом) отношении случай совместного влияния вязкости и теплопрозодностн мы рассматривать не станем н для него приведем лишь окончательное выражение толщины переходного слоя.
Первый случай замечателен тем, что уравнение (Х1-1) д аР Р1 ч — ~ связывающее между собой изменение плотности, изменение давления и скорость распространения волны, оказывается пригодным не только для конечного состояния, которое достигается в ходе сжатия, но и для всех промежуточных состояний внутри слоя. Действительно, это уравнение является следствием первых двух уравнений сохранения — сохранения вещества и количества двнження. Уравнение сохранения вещества в простой форме (ЧШ-1) и ~ и = — =сопМ Ю выполнено всегда при распространении плоской волны; при распространении волны в трубе необходимо, чтобы сечение трубы было постоянным; кроме того, на стенках трубы не должно происходить поглощение или выделение вещества.
Для выполнения уравнения количества движения для начального и конечного состояния в простом виде (Ч111-2) р -ю- ци-' = сопз1 необходимо, чтобы на вещество не действовали внешние силы; прн распространении в трубе необходимо пренебречь силами трения о стенки трубы. Наконец, прн рассмотрении промежуточных состояний, интересующих нас здесь> для выполнения (Ч111-2) необходимо, чтобы были малы силы внутреннего трения (вязкости).
В ударной волне, в среде, в которой имеют место только процессы, учитываемые в уравнении энергии, например выделение энергии химической реакции (детонационная волна— см. (81, (591 [60)) или теплопроводность, уравнение (Х1-1) применимо ко веем промежуточным состояниям. Прн распространении ударной волны как целого скорость, с которой каждое из промежуточных состояний движется относительно ЕР сл Р=Рг +' зо. В плоскости р, о (рис.
32) состояние меняется по соединяющей точки, описывающие начальное А и ко состояния вещества. Зная связь между давлением Ю и плотностью, Которая имеет место на всем протяжении фронта ударной волны, мы сможем найти ее ширину элементарным интегрированием. Можно показать, что вдоль прямой АВ энтропия достигает максимума где-то посередине (точка М рис, 32) между начальным и конечным состояниями вещества.
Действительно„ в точке А скорость волны относительно вещества больше скорости звука, в точке В скорость волны меньше скорости звука; в какой-то точке М скорость волны равна скорости звука. В этой точке прямая А8 касается адиабаты Пуассона н, следовательно, энтропия максимальна.' В сделанном пргдположении об отсутствии вязкости изменение энтропии происходит лишь за счет теплопроводностн. В стационар. ном режиме, в системе координат, в которой сама ударная полна покоится, от субстанциальной производной по времени мы легко перейдем к прон по координате.
В етом случае излишен также знак производной, поскольку рассматриваемый процесс в ной системе стационарен, от времени не зависит. тельно: прямой, нечное В Рис. 32. А и В ивчзльное и конечное состолние го*в, сжзтого ударной волной. Сплоюяые врявые — вдизбзты Пувсеонв, т. е. линии постояяной знтропии, зозрвствющей от од в ОВ и ЯМ. В отсутствии вязкости, ио пря наличии теплопроводноети состояние изменяется по прямой АВ, на которой зитропив достигает мвнсзмумв з точке несения Лу. В отсутствии теплопроводиостя при наличии низвести состояние меняется по пунктярной врввой АВ, вз во. торой витропив монотонно рвстет от А в В.
Адивбвтз Гюгояио яе ярозеденв ив рисунке (онз тввже проходит через А и В,но не ссвпздеет с пунктирной линией). вводной частной выбран- Оконча- ~И с1 ВГ . ~УзТ оТи — =- — д — = л— У. Ух Ых Ввз (ХП-2) г Нз рисунке 32 вдввбвты Пузсеояс, проходящие через точки А, В, ЛУ, отиечеяы внсввми Рг, Рз, Ря. исходного состояния, одна н та же. В уравнении (Х1-1) величину 22 мы должны считать постоянной; таким образом, это уравнение приводит к линейной связи между давлением и объемом где л — теплопроводность вещества.
Температура, по крайней мере в слабой ударной волне, монотонно меняется вдоль прямой АВ. Искомое решение †распределен температуры и энтропии как функций от координаты †име вид, изображенный на рнс. 33; точка, в которой внтропин достигает максимума, совпадает как раз с точкой перегиба зависимости температуры от координаты. Из оценок предыдущего параграфа легко найти порядки величин (считая изменеяие объема при сжатии величиной пер- т Рис. ЗЗ. Виутренивн структура ударной волны небольшой амплитуды при наличии тепло~роволности, но в отсутствие вязкости.
Обозначения см. рис. 32. - Ти(Б — Ял) = Л( — ) = Л вЂ” . ° (ХП-3) Из наших оценок следует: Ах-Л дт те Л вЂ” Ййт 4~ (ХП-За) Определение зух, отвечающее последним формулам, см. на рис. 33. Порядок величины коаффициеита оценим из размерности л оз ззх .— — > Р сйо (ХП-4) где Р— газовая постоянная — размерности теплоемкости кал~градус ° грамм, степени е и с подобраны так, чтобы дать величину размерности длины. 9Э ного порядка малости): пр, АТ вЂ” первого порядка, пропорциональны ззьй Юя — Ял Вк — 5в — втоРого поРЯдка, пРопоРЦиональны (ззе),в .ля в за †третье порядка, пропорционально (ззо)а. Легко произвести оценку ширины фронта ударной волны, интегрируя (ХП-2) до точки Лй (ХИ-5) Согласно последнему уравнению, энтропия под действием вязкости монотонно растет; изменение состояния на диаграмме р, е изображается кривой, заключенной между аднабатамн Пуассона, проходящими через начальную и конечную точки (пунктир рис. 32).
Введем снова понятие аффективной ширины: ди из — и, дх сх 1 (ХП-б) сю дЮ Я,— Я, сй дх ох (ХИ-7) Из уравненвя (Х11»5) легко найдем (отождествляя 17 н с по порядку величины), замечая, что из — ил=/7 ° с$о/о, ох чет дсс (ХП-8) Изображенное на рис. 33 распределение представляет собой конкретизацию идей Ренкина 1781. Любопытно, что при сильном сжатии возникает своеобразная принципиальная трудяость, именно на линии АВ между точками А н В достигается максимум температуры в том случае, если давление в ударной волне рз превышает 1.5 рд (при ср/с.=т/и для двухатомного газа).
Прй этом максимум температуры лежит при более высоком давлении, чем максимум энтропии. При наличии максимума температуры оказывается невозможным построить непрерывное распределение температуры и энтропии в пространстве, которое удовлетворяло бы основному уравнению (Х11-1). Как показал Рейлэй 1791, эта трудность указывает на необходимость введения в рассмотрение также вязкости. Однако при действии молекулярной вязкости изменяется не только уравнение энергии, но и уравнение движения (наше уравнение (1/Ш-2)1. Таким образом, в этом случае траектория системы в р, е плоскости отклоняется от линии АВ.
Позднее этн же соображения, без упоминания Рейлэя, были приведены у Беккера)381 (со ссылкой на частное сообщение Прандтля, см. также (761). Во втором предельном случае, прн отсутствии теплопроводности и действии одной вязкости, изменение внтропни в волне происходит только за счет превращения в теплоту работы против сил вязкости 1см. формулу (1-18)1 Отклонение состояния от прямой АВ происходит благодаря импульсу сил вязкости. Уравнение стационарного движения по одной координате гласит: ыи ° йр ы /2 ни 1 рп — = — — — ~ м1 /. Ых Ых Их 'т 3 а~в/ (ХП-9) Интегрируя,найдем 2 тГи Рч-ап ' 2 ц ц" =Рд' цд ил'=Рв ч цвив~~ (ХП-10) но из уравнения неразрывности мы найдем: по = — "=М= сопз1; — '=М -'-~ (ХП-11) р-~-Мп-+- -з- ОМ~ = рд-+.Мед= рз-+ Мол — — сопз1.
(ХП-12) 2 сЬ 2 сЬ Без члена — ц М~ уравнение дает прямую АВ. Если, согласно рнс. 32, ~ — т~ )О, то пунктирная линия, заключенная между адиабатами 5=Яд и 5=5з, целиком лежит ниже прямой, так что в волне (ХП-13) р+ Мох рд + Мод. а'и т В состояниях А и В, очевяано, — =О; при интегрировании надо Ых учесть, что ои = соааФ ио уравнению сохранения вещества. Ж В этом случае из уравнения находим ОМ вЂ” — ч О, в волне о уменьшается, происходит сжатие; волна разрежения требовала бы отрицательной вязкости. Рассмотренме структуры фронта при действии вязкости привело нас к тем же выводам относительно связи возможности волн сжатия или разрежения у зар1 со знаком ( —,~ ~ к которым мы пришли иным путем раньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
