Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ниже, углубляя теорию ударной волны, мы покаЯ жем механизм роста энтропии в волне сжатия и связь его с неравенствами, ~7 с, 1 относящимися к скорости волны и„ив и скорости у звука с„ св. Для идеального газа постоянной теалоемкостн прн большой амплитуде ударной волны рв)) р„ формулы значительно упрощаются: мы уже отме- Р ж ЗУ ЗР «У Рг чали, что плотность после У у Сжатия находится вопреде~й'..11 ленном отношении ~ — 1 'М-1) к плотности до сжатия. Отношения между величинами, характеризующими Таблинв 2 Рис. 26.
Зависимость плотности рт и скорости ьвука ст в сжатом веществе ст давления, в тех же условиях, что я на рис. 25. рт/р, ' отаром Т(р, Я= совку) дУ м/сек Тв сК и м,'сек 2 ' 1.63 5 ~ 2.84 10 ' 3.88 50 604 100 7.66 273 336 482 705 2 260 3 860 330 0 452 175 698 452 978 725 2 150 1 795 3 020 2 590 273 330 426 515 794 950 ! б 570 5 980 9210 ~ 8560 12 900 ~ 12 210 15750 ( 15 050 500 11.15 ~ 12 200 1 000 14.3 ~ 19101 ! 2000 18.8 ~ 29000 ' 3 000 | 223 ~ Зб 700 Цифры киже линейки неиалемнм. 1 433 1 710 2 070 2 180 достигнутое после сжатия состояние, стревмгся к.определенному пределу при — -~ ск ш Р~ .0: и: сз=й-+-1: 2: ~21(7с — 1). (1Х-4) В предельные формулы входит начальная плотность, но не начальное давление или температура, от которых конечное состояние не зависит в пределе, при большой амплитуде.
Распространение ударных волн в жидкостях в малой степени являлось предметом исследования. Беккер в своей работе об ударных волнах приводит данные об ударных волнах в спирте и эфире. При вычислении он пользовался приближенным уравнением состояния Таммана. Принимая во внимание важность изучения ударных волн в воде, в связи с действием подводных взрывов мин н торпед, представляет интерес оценка основных параметров ударной волны в зависимости от давления. В следующей таблице даны результаты расчета распространения ударной волны в воде, проделанного Лейпунскнм и автором 11251.
В отличие от Беккера, при вычислении мы пользуемся непосредственно табличными данными для сжимаемости, ковффяциента расширения и теплоемкости воды, не прибегая к мало надежным уравнениям состояния. Измерения Бриджмена доведены до весьма высоких давлений, поэтому в расчете не приходится пользоваться экстраполяцией. Для удобства расчета выбраны были такие начальные условия, чтобы конечная температура сжатой в волне воды равнялась 40'С: при этой температуре, согласно Бриджмену, коэффициент теплового расширения воды х не зависит от давления, что облегчает расчет. В уравнение ввергни (ЧШ.61 входит энергия воды при высоком давлении. Ее мы вычисляем с помощью термодннамическнх соотношений ИЕ=- ТйБ — р<Ъ= Т( —,) ИТ-ь- Т( — )„г(р — раап (дТ), Т' (др)г ~дТ)г ЫЕ = сг ЙТ вЂ” о Ти 1р — рсЬ. 70 Интегрируя цоследнее выражение по пути, ведущему из состояния с известной внергией в состояние, энергию которого мы определяем, найдем Е.
В первых четырех столбцах табл. 3 приведены величины, характеризующие начальное, до сжатия, состояние вещества, в следующих четырех — состояние вещества после сжатия, далее следует скорость распространения ударной волны относительно несжатой воды, () = и„ и скорость движения, приобретаемая водой при сжатяи, и = и, — и, (ср. обозначения 4 ЧП1).
Таблица 3 г, ~т,,С! т . "с 1 40 11.0081 1530 1 31,511005 ' 1500 1 22.5 1.002 1470 1.0 1.000 1410 1' 40 3000 40 6 000 40 12 000 40 71 В последнем столбце приведена величина, характеризующая днсснпатввные процессы и затухание ударной волны в воде; величина Т'~в представляет ту начальную температуру, которая необходима, чтобы нээнтропическим сжатием от р, до ра достичь показанного в таблице состояния р„, Т„ о,. Разность Т'вв и величины Т„ приведенной во втором столбце, представляет собой ту часть повышения температуры, которая достигается за счет необратимых процессов во фронте ударной волны. Представим себе ударное сжатие с р, до р„ча которым следует изэнтропическое расширение до давления р;, в результате после прохождения ударной волны заданной амплитуды давления (ра, пятый столбец таблицы) н следующей за ней волны разрежения температура воды повысится с Т, до То ° Такое повышение температуры воды произошло за счет необратимого расходования механической (кинетической и потенциальной) энергии ударной волны и, следовательно, непосредственно связано с затуханием волны.
Мерой затухания может т' — 7' служить отношение а — Тв Легко убедиться в том, что и в данном конкретном случае выполняются общие соотношения: скорость распространения волны больше скорости звука в невозмущенной воде, Й ) с„. скорость распространения волны относительно сжатой воды меньше скорости звука в сжатой воде, Й вЂ” и ~ с,. Остановимся здесь на некоторых формальных свойствах адиабаты Гюгонио. Весьма любопытен и имеет глубокий смысл тот факт, что уравнение адиабаты Гюгонио нельзя записать в виде; > (>в>> 01) ЛР2> 02)' В етом отношении адиабата Гюгонио, очевидно> отличается от таких простейших кривых, как изотерма или адиабата Пуассона.
Уравнение последней гласит: 5= 5(р, р) = сопзй, что, например, для идеального газа даст .>= с 1п р — с„!и д ->- сопя!; рр '=сопя! е'>. (!Х-8) Для того чтобы исчерпать все кривые Пуассона, нам достаточно пройтн одномерный ряд значений энтропии Ю. Для того чтобы исчерпать все кривь>е адиабаты Гюгонно, нам необходимо построить „бесконечность в квадрате" кривых, отвечающих всем возможным значениям р, и рг Тот факт, что уравнение адиабаты Гюгонио не может быть представлено в виде ~(р, р)=сопя!, виден хотя бы нз того, что, сжимая, например, двухатомный газ два раза двумя ударными волнами, одна из которых распространяется по второй, мы можем достичь сжатия до 36 раз, тогда как прн однократном сжатии мы не можем увеличить плотность больше, чем в б раз.
Таким образом> при двукратном нлн вообще многократном сжатии ударными волнами мы приходим к состоянвю, к которому нельзя притти однократным сжатием. Между тем, прн изэнтропическом сжатии конечное давление полностью определяет конечную плотность вещества, независимо от того, на сколько этапов мы разбили достижение данного конечного давления> что следует из возможности представления адиабаты Пуассона в форме (1Х-б).
В плоскости р, б> или в плоскости р,о аднабата Пуассона представляет собой кривую, все точки которой эквивалентны. Ни одна нз точек не представляет какой-либо особенности. С аднвбатой Гюгонно это не так. Начальная точка рм р, (илн о„ р>) является особой точкой адиабаты Гюгонно. Мы выявим характер особенности в следующем параграфе, рассматривая окрестность точки рн о» описывающей исходное состояние вещества до сжатия. Уравнение адиабаты Гюгонио запишем так> р=>Ч(о; »и о,).
Из симметрии уравнений сохранения, из которых нслучено уравнение адиабаты Гюгонио, следует, что если (1Х-10у Ри=~Ч(Рб Рп Р~) то и обратно (1Х-11) (ср. ниже стр. 80, рнс. 28). $ Х. Истерия вопроса еб ударной волне Уравнение.связи между давлением и плотностью в веществе, подвергшемся действию ударной волны, выведенное нами из элементарных соображений и рассмотрении законов сохранения, привело к неожиданному результату в росту энтропии при сжатии идеального газа ударной воляой. При атом рост энтропии получается непосредственно из сопоставления начального и конечного состояний вещества, которые связаны между собой уравнениями сохранения.
Мы не рассматривали процессы, протекающие между контрольными яоверхностямн А и В (рве. 28б), которые привели к росту внтропии. Формально одни уравиеняя сохранения, как мы уже указывали, симметричны относительно до р, и д„рк Уравнениям сохранения мы могли бы удовлетворить также, рассматривая обратное движение — волну разреження, в которой разрежение происходило бы внутри какого-то, ближе не рассматриваемого, малого интервала АВ в согласии с уравнением Гюгонио.
Однако такое движение в действительности является невозможным, как это следует нз того, что в нем имело бы место падение энтропии (упомянутая выше так называемая теорема Цемплена (99)). Вот эта особенность результата й 1Х, в котором мы, не рассматривая диссипативных процессов, пришли к изменению энтропии, создает определенные трудности в понимании теории ударной волны,. которые могут быть полностью устранены лишь в том случае, если мы рассмотрим процессы внутри самой области нзмекения состояния (между контрольнымн поверхностями А и В рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
