Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Относительно пространства, заполненного газом, в котором происходит распространение вызванного движеннем поршня возмушения, мы полагаем, что зто пространство неограниченно простирается в сторону х) 0; при етом начальные условия не содержат никакого определенного значения длины, граничные условна формулируем только на поверхности поршиш "гам оии содержат только задание скорости движения поршня ш. Мы рассмотрим отдельно в конце параграфа вопрос о том, в какой мере решение, зависящее от хй, которое мы ищем, может быть использовано для задач с конечной протяженностью заполненного газом пространства.
Сопоставляя выписанные выше уравнения сохранения вещества и движения, мы получим отвечает р, с, Ь и=сопз1, т. е. движению всего газа как целого; второй вид решения требует (и — $)о = ~ ~/ — = ->- с с>р ф > (Ч1-о) (Ч1-9) сс/с=ос/и; рсйи=с/р. Оба уравнения зквивалентны,так как Ыр=скс/р. Связь и, р> р совершенно та же, что и в акустической (слабой) волне й 11> распространяющейся в положительном направлении.
Отсюда мы сразу найдем связь между приобретенной газом скоростью и его состоянием: р (Ч1-10) аа Ра Для идеального газа с постоянной теплоемкостью, обозначая с /с„=>с, легко вычислить интегралы: Р=ро'1 ) > с =к =со ~ ) (Ч1-11) Замечательна следующая форма решения: имея что к — 1 а>с к 1 ос 1п с — 1п о -$ — сопз1 — = — = > с 2 в виду, (Ч1-12), 55 где с в скорость звука. Выберем в последней формуле знак и — с= — с; ~=с-+-и, отвечающий рассмотрению движения с правой стороны от поршня, т.
с. возмущения, распространяющегося вправо. Значение $, а следовательно, и все значения р, р, и, зависящие от одного 5, постоянны на линиях 5=с-о-и,«=(с+.и)1, иа так называемых характеристиках уравнений газодинамики. В рассматриваемой вадаче все характеристики суть прямые, выходящие кз начала координат «=О, о=О, т.
е. из точки, в которой произошло возмущение (рис. 17). Используя найденное соотношение и — $= — с> в котором с полностью определяется состоянием вещества, преобразуем уравнения движения (Ч1-4) и (Ч1-5): получим: и= )' == — ~ г(с= — „— (с — с,). (Ч1-13) Для того чтобы найти распределение в пространстве интересующих нвс величин, т.
е. структуру волны, мы должны использовать алгебраическое х Ф соотношение, в которое входит пространственная коор-' дината с, и — б= — с. В случае более сложной связи р я р проднффереицнруем последнее соотношение по ьв: у -+-у = 1, (Ч1-14) 2 Подставляя в (Ч1-14) гЕи = — гЕс, найдем: а'и 2 . <й х — 1 Й1 й-+.1 ' а6~ х'-г-1 (Ч1-15) Скорость движения и скорость звука в волне линейно связаны с величиной б †скорост распространения состояния. При заданной скорости движения поршня вся картияа движения (рис. 18) в целом конструируется из двух тривиальных областей невозмущенного газа (Е) н газа, прилегающего к поршню и движущегося с постоянной во всей области (ЕЕЕ) скоростью, и области вовмущения (ЕЕ) — того, что можно назвать волной, в которой все величины меняются от своих значений в одной тривиальной области до значений в другой тривиальной области.
В каждой тривиальной (Е, ЕЕЕ) области ях ггр г(и гге М Ф й д1 — = — = — = — = О и — нечг= с. Напротив в волне возмуще- 56 Рие. 17. Характеристики уравненей газодинамики: лияии в плоекоети координата (х) — время (г) ОА, ОК, ОЬ, ОВ.
Вдоль нит еотраияютея все величины, характеризующие двювеяие н еоетоянне газа, в рассматриваемом елучае возмущения, вызванного движением порыва. Двйжение норыяв нзобраяаетея ливией П, движение отделения чаетив газа — яунктнрными линиями. и, подставляя и=и(р) с = с (р), получим выражение для гЕр~~Еб (с тем же успехом можно, впрочем, сразу искать уравнение для другого параметра, например р нли с). В отмеченном случае идеального газа постоянной теплоемкостиуравиения чрезвычайно просты. иия и — $= — с, и к ней относятся формулы (%-8), (Ч!-14), (Ч1-15). Нетрудно сконструировать режим для любого заданного значения скорости движения поршня в том случае, есля скорость движения поршня отрицательна.
Картина распределения скорости и давления в пространстве, представленная на рис. 18, соответствует распределению в переменных Ф, х рис. 17. Рнс. 18. Волна равреженяя: мгяовеняое распределсняе давленяя р я скорости и в вавясямостя от коордяяатм д. С ростом времеяя д е момента начала движения яоршня все распределенне пропоринонельно растягивается по осн абсинсс. Штриховка слева — поршень >7. Все масштабы вдоль оси хрис.18 со временем растут в согласии с видом решения, зависящего от отношения х,й Собственно волна заключена в области АВ (В). Вправо от А простирается невозмущенный гаэ в состоянии, в котором весь газ находился до начала движения поршня (7).
Между поршнем Пи точкой В находится область газа, движущегося со скоростью поршня, причем давление и скорость в интервале П вЂ” В постоянны (втривиальная область" И). Точка А движется со скоростью со вправо. Точка В движется вправо со скоростью с-+.ш, где ш есть скорость поршня, равная скоростя газа в точке В; напомним, что ш < О> а с в скорость звука в газе.
При большой скорости поршня величина с — а> может стать отрицательной (в случае идеального газа это произойдет 2 пРи ~п>~)Л вЂ” 1 со), и точка В окажетсЯ слева от оси оРДинат. В точках А и В свми значения скорости и давления непрерывны. Однако их производные терпят разрыв. Поэтому точки А и В называют иногда точками (поверхностями в трехмерном пространстве) слабого разрыва, волнами ускорения. На рис. 17 представлено в плоскости 8, х движение поршня и линии, вдоль которых сохраняется постоянное значение давления и скорости, так называемые характеристики задачи; к ним принадлежат плинии, отвечающие перемещению 57 точек А и В в зависимости от времени.
Наконец, пунктиром показаны траектории отдельных частиц газа. В построении рассматриваемого режима, в котором все величины зависят от одного отношения х/Р, мы исходили из того, что яадача не содержит никаких величин размерности длины или времени. В частности, существенно было предположение о неограниченном простирании газа в область х) О. Характер найденного решения позволяет смягчить это требование: если нас интересует движение газа в течение первых 1о секунд после начала движения поршня, возмущение (крайняя точка А) успеет распространиться лишь на расстояние сото, и для пригодности нашего решения нужно только, чтобы вторая стенка, ограничивающая газ справа, находилась на расстоянии, большем со1о.
Таким образом, в любых геометрических условиях наше решение представляет интерес для описания начального состояния движения газа. Связь р-г Рд Для двухатомного газа (ср~с„=1А) максимальная скорость равна пятикратной скорости звука в исходном невозмущенном 58 между скоростью и давлением Рие. 19. Схема винта иеетавио газа н прямолинейность харакиариого втекаиив газа в вакуум. теристик сохраняются и в более общем случае при любом движении поршня в сторону х.е О (влезо, если газ находится справа от норшвя, ср. 8 Х1Ч) с непостоянной скоростью, при котором (движении) ускорение направлено в ту же сторсну, Рхп(йкм О. Это показывается методом характеристик, в рассмотрение которого мы ие можем здесь входить.
Связь (Ч1-11) сохраняется до тех пор, пока в результате отражения отдругой стенки или нного возмущения не появляется распространение волн в обратном направлении, для которых(ср. формулы выше нли 8 П) имеет место другой знак в выражении йсИи= + с(р. Любопытно полученное нами значение максимальной скорости движения газа при его расширении: для идеального газа 2 нз нашей формулы — и= — (со — с) мы видим, что скорость =д т о 2 движения не может превысить — и = — с;, давление на поршеяь при скорости, меньшей предельной, дается формулой .з'= сопз1; Рис.
20. Зависимость безразмерной скорости т от безразмерной скорости звука у для двузатомного газа, Ус=1.4; (У1-17) для стационарного истеченяа; (Ч1"1б) для втеквния в онмте рис. 19~ МА и нунктир — дла втеквния в онмте рис. 21. при )с = 7!5 — = (7, ) =(,".)'"= ЮГ'. В качестве переменной, характеризующей состояние вещества, удобно выбрать величину у=с/со. Отнесенная к начальной скоРости зиУка скоРость движениа 9т= и/со выРажаетсЯ в волне разрежения (см. т1-13) уравнением: ф = —, (1 — у); 1=1.4, у= 5(1 — 7).
(%-16) 2 В стационарном истечении 1см. формулы (П1-12) и (!!1-18)] т=у — -с — 1) й=ьс,т=~5~т — т) ° (м'17) На рис. 20 последние два уравнения для К=1.4 показаны графически сплошными линиями. Пря малых изменениях скорости звука (при у, близкой к 1), т. е. при малом иаменении 59 газе. Нетрудно видеть, что при втой скорости поршня давление на него в точности равно нулю; иными словами, данный режим описывает истечение в вакуум газа, который был ранее закрыт перегородкой, внезапно вынутой в некоторый момент — и1 т (рис.
19). Для воздуха найдем р=ро (1 — 0.2 — ) Любопытно сравнить весь ход кривых связи скорости движения и состояния вещества в стационарном истечении (з !11) и в волне разрежения, расширяющейся со временем, рассмотренной а выше. В обоих случаях расширение каждого элемента объема идет при постоянной энтропии, так что связь между различными величинами, характеризующими состояние газа, одинакова: давления, скорость в стационарном истечении значительно больше, чем в волне разрежения. Соотношенке становится обратным прн малом у,малом давлении. Наибольшая скорость получится, если скомбинировать стационарное и нестационарное истечение так, как показано пунктирной линией на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
